江西省上饶市2023_2024学年高一数学上学期期末教学质量测试试卷含解析

这是一份江西省上饶市2023_2024学年高一数学上学期期末教学质量测试试卷含解析，共15页。试卷主要包含了本试卷分第1卷两部分， 已知一组数据等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答第1卷时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效.
4.本试卷共22题，总分150分，考试时间120分钟.
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接由交集的概念即可求解.
【详解】由题意集合，，则.
故选：C.
2. 命题“，”的否定是（）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题易求.
【详解】根据全称量词命题的否定为存在量词命题知：
命题“，”的否定是“，”.
故选：A
3. 函数的零点所在的区间是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合单调性和零点存在定理直接判断即可.
【详解】易知为增函数，又，
，故零点所在的区间是.
故选：B.
4. 若连续抛两次骰子得到的点数分别是，，则点在直线上的概率是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由古典概型概率计算公式求解即可.
【详解】若连续抛两次骰子得到的点数分别是，，则点有种可能，
其中满足的数对有，共5种可能，
所以点在直线上的概率是.
故选：C.
5. 已知是上减函数，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用分段函数是减函数，列出不等式组求解即可.
【详解】因为在R上是减函数，
所以，解得，即.
故选：D.
6. 已知函数在上是奇函数，当时，，则不等式的解集是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意先得表达式，从而分类讨论即可求解.
【详解】由题意已知函数在上是奇函数，当时，，
所以当时，，
当时，，，
当时，若，只需，，解得，
当时，若，只需，解得，
综上所述，不等式的解集是.
故选：C.
7. 已知a，b，c，d均为实数，则下列命题中正确的是（）
A. 若，，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，，则
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的性质、特殊值对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，若，，如，
则，所以A选项错误.
B选项，若，则，所以B选项错误.
C选项，若，则，
所以由两边乘以得，所以C选项正确.
D选项，若，，
则，所以D选项错误.
故选：C
8. 若关于的不等式恰好有3个整数解，则实数的范围为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先分析出时不成立，时两边平方后得到恰好有3个整数解，构造函数，结合、、对称轴得到3个整数解2，3，4，从而列出不等式组，求出实数的取值范围.
【详解】当时，显然不成立；
当时，两边平方得，整理得，
不等式恰好有3个整数解，得，结合，
可得，令，
因为，，
又为开口向下的抛物线，可得其对称轴，
若不等式恰好有3个整数解，则3个整数解为2，3，4，
则要求，解得.
故选：B.
【点睛】思路点睛：时两边平方，构造函数，结合、、对称轴得到3个整数解为2，3，4，从而列出不等式组，求出实数的取值范围.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知一组数据：3，4，4，6，7，8，10，则这组数据的（）
A. 极差为7B. 众数为4
C. 平均数为6D. 第60百分位数为6.5
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据给定的数据，利用极差，平均数，方差以及60百分位数的定义依次判断各选项作答.
【详解】对于A，该组数据的极差为，A正确；
对于B，这组数据中4出现了2次，出现次数最多，因此众数是4，B正确；
对于C，该组数据的平均数为，C正确；
对于D，由，所以该组数据的第60百分位数为第5个数，D错误.
故选：ABC
10. 下列式子中，使不等式成立的充分不必要条件可以是（）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】解一元二次不等式结合充分不必要条件的定义即可求解.
【详解】由题意，
对比选项可知，使不等式成立的充分不必要条件可以是或.
故选：BD.
11. 北京时间2023年10月31日8时11分，神舟十六号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，载人飞行任务取得圆满成功.某高中学校在有120名同学的“航天”社团中随机抽取30名参加一个交流会，若按社团中高一、高二、高三年级的成员人数比例分层随机抽样，则高一年级抽取10人；若按性别比例分层随机抽样，则男生抽取18人.则下列结论正确的有（）
A. 样本容量30
B. 120名社团成员中男生有72人
C. 高二与高三年级的社团成员共有80人
D. 高一年级的社团成员中女生最多有48人
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用样本容量的定义判断A，利用分层抽样的定义进行计算可判断BCD.
【详解】对于A.从中随机抽取30名，则样本容量为30，正确；
对于B.设120名社团成员中男生有人，因为按性别比例分层随机抽样时男生抽取18人，
所以，解得，所以120名社团成员中男生有72人，正确；
对于C.设高二与高三年级的社团成员共有人，
因为按社团中高一、高二、高三年级的成员人数比例分层随机抽样时高一年级抽取10人，
所以，解得，所以高二与高三年级的社团成员共有80人，正确；
对于D.根据选项C可知高一年级的社团成员有人，故高一年级的社团成员中女生最多有40人，错误.
故选：ABC
12. 德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet.1805-1859）是解析数论的创始人之一.以他的名字命名的函数“狄利克雷函数”改变了数学家们对“函数是连续的”的认识.已知狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集.则下列关于“狄利克雷函数”的命题中，属于真命题的有（）
A. 方程的解为
B. 对任意，都存在，
C. 对任意，恒成立
D. 存在三个点，，，使得为等边三角形
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据狄利克雷函数的定义对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，若，则，
若，则（舍去），
所以，A选项正确.
B选项，对任意，都存在，，B选项正确.
C选项，若，则，
此时，
，C选项错误.
D选项，为等边三角形，则高为，则边长为，
如时，为等边三角形，D选项正确.
故选：ABD
【点睛】解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 函数（且）图象恒过的定点坐标为___________
【答案】
【解析】
【分析】由，令即可求解.
【详解】令，解得，所以，
所以函数（且）图象恒过的定点坐标为.
故答案为：.
14. 若函数是上的偶函数，则的值为____________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意先得，结合偶函数的性质得，检验后相加即可求解.
【详解】由题意首先，解得，
即函数是上的偶函数，
由，解得，此时，经检验符合题意，
所以.
故答案为：.
15. 据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之.”围棋，起源于中国，至今已有四千多年历史，蕴含着中华文化的丰富内涵.现从2名男生和2名女生中任选2人参加围棋比赛，则所选2人中至少有1名男生的概率为______
【答案】
【解析】
【分析】利用列举法得到“从2名男生和2名女生中任选2人”的基本事件总数，及“至少有1名男生”包含的的基本事件个数，从而利用古典概型求解即可.
【详解】记2名男生为，2名女生为，
任选2人参加围棋比赛，则可能情况有，共6个，
所以“至少有1名男生”的情况有，共5个，
故所选2人中至少有1名男生的概率为.
故答案为：
16. 定义：如果函数在区间上存在满足，则称为函数在区间上的一个均值点.已知在上存在均值点，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】先求得，由此列方程，再利用换元法以及零点存在性定理求得的取值范围.
【详解】根据题意，函数，则，
函数在上存在均值点，
则在区间上有解，设，则，
则有在区间上有解，而二次函数的对称轴为，
故有，即，解得，则m的取值范围为.
故答案为：
【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤：
(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.
(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.
(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知集合，，.
（1）求，；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1），或
（2）
【解析】
【分析】（1）根据并集、补集、交集知识求得正确答案.
（2）根据列不等式，从而求得的取值范围.
【小问1详解】
依题意，集合，，
所以，或，
所以或.
【小问2详解】
由于，若，
则.
18. 已知函数.
（1）若不等式的解集为，求实数的值；
（2）求不等式的解集.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由题意知道是函数的两个零点，由此即可求解.
（2）首先因式分解二次式，进一步分类讨论即可求解.
【小问1详解】
由题意若不等式的解集为，所以，
所以，解得.
【小问2详解】
由题意，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
综上所述，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为.
19. 某校在上饶市期末数学测试中为统计学生的考试情况，从学校的1000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间（满分150分），将统计结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，……第八组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.
（1）求第八组的频率，并完成频率分布直方图；
（2）用样本数据估计该校的1000名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）和中位数（保留小数点后面一位）
【答案】（1），频率直方图见解析
（2），
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，建立方程，求得频率，补全频率分布直方图，可得答案；
（2）先根据平均数计算公式求平均数，然后利用中位数的定义列方程求解即可.
【小问1详解】
因为各组的频率和等于1，故第八组的频率为：，
则第八组对应矩形的高为，补全频率分布直方图如图所示：
【小问2详解】
用样本数据估计该校的1000名学生这次考试成绩的平均分为：
（分）；
因为，，
所以中位数在内，
设中位数为x，则，解得；所以估计中位数是分.
20. 甲、乙两人组成“博学队”参加上饶市中学“博学少年”比赛，每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.
（1）求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率；
（2）求“博学队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据相互独立事件的乘法概率公式计算即可；
（2）两人分别猜两次，总共四次中有一次没猜对，分四种情况计算可得答案.
【小问1详解】
设甲两轮至少猜对一个数学名词为事件，则 .
小问2详解】
设事件“甲第一轮猜对”，“乙第一轮猜对”，“甲第二轮猜对”，“乙第二轮猜对”，
““博学队”猜对三个数学名词”，所以，
，则，
由事件的独立性与互斥性，得
，
故“博学队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率为.
21. 随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.上饶市医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台.每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
（1）写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）；
（2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大?最大利润是多少?
【答案】21.
22. 该产品的年产量为35（台）时所获利润最大，最大利润为2050（万元）
【解析】
【分析】（1）由已知条件，根据销售收入和成本计算利润；
（2）由利润的函数解析式，结合函数性质和基本不等式，求最大值.
【小问1详解】
由题意可得，
所以.
【小问2详解】
当时，，
当时，取最大值，（万元）；
当时，，
当且仅当，即时，等号成立，即（万元），因为，
故当该产品的年产量为35（台）时所获利润最大，最大利润为2050（万元）.
22. 已知，.
（1）求函数在区间上的最小值.
（2）对于任意，都有成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】（1）由指数函数值域以及基本不等式即可求解.
（2）由题意将原问题转换为恒成立，首先由初步得出的一个范围，进一步利用对数函数单调性，得到对于任意恒成立，由此即可进一步求解.
【小问1详解】
由题意当时，，
所以，等号成立当且仅当，即，
所以函数在区间上的最小值2.
【小问2详解】
对于任意，都有成立，
则只需，由（1）可知，
所以只需恒成立，
首先有，即，
由得，所以，
进一步可以化为，
所以恒成立，即，
即对于任意恒成立，
因为，
所以对于任意恒成立，即对于任意恒成立，
所以，
综上所述，实数的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：对于第（2）问中双变量求解参数取值范围问题，由于双变量是针对不同函数而言，因此可以对不同函数分别求最值进行单独处理，不需要得出之间的关系式.