浙江省湖州市长兴县2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷（解析版）

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一、选择题
1. 下列各式是二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】A、被开方数是非负数，故选项正确；
B、当时，二次根式无意义，故选项错误；
C、被开方数为负数，二次根式无意义，故选项错误；
D、是三次根式，故选项错误．
故选：A．
2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、该方程中含有两个未知数，故本选项不符合题意；
B、该方程是分式方程，不是整式方程，故本选项不符合题意；
C、符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意；
D、当时，该方程中未知数的最高次数不是2，故本选项不符合题意．
故选：C．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. 2﹣=1B. （﹣）2=2
C. =±11D. ==3﹣2=1
【答案】B
【解析】根据二次根式的加减，可知2﹣=，所以A选项错误；
根据二次根式的性质=a（a≥0），可知（﹣）2=2，所以B选项正确；
根据二次根式的性质可知=|﹣11|=11，所以C选项错误；
D、根据二次根式的性质，可知==，所以D选项错误．
故选：B．
4. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵x2+x-k=0有两个实数根，
∴Δ=b2-4ac≥0，即1+4k≥0，
解得：k≥-，
故选：B．
5. 若关于的一元二次方程为的解是，则的值是（ ）
A. 2016B. 2020C. 2025D. 2026
【答案】D
【解析】把x=1代入方程ax2+bx+5=0得a+b+5=0，
所以a+b=-5，
所以2021-a-b=2021-（a+b）=2021+5=2026．
故选：D．
6. 某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，求该公司11、12两个月营业额的月平均增长率．设该公司11，12两个月营业额的月平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A. 2500（1+x）2＝9100
B. 2500（1+x）（1+2x）＝9100
C. 2500+2500（1+x）+2500（1+2x）＝9100
D. 2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100
【答案】D
【解析】设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为x，
则可列方程2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100，
故选：D．
7. 某工厂生产质量分别为1g，5g，10g，25g四种规格的球，现从中取x个球装到一个空箱子里，这时箱子里球的平均质量为20g，若再放入一个25g的球，此时箱子里球的平均质量变为21g，则x的值为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】根据题意，得
，
解得．
经检验，是原方程根．
所以，x的值是4．
故选：B．
8. 如图，在ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，F是DE上一点，连接AF和CF，∠AFC＝90°．若DF＝1，AC＝6，则BC的长度为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】D
【解析】在Rt△AFC中，点E是边AC的中点，AC＝6，
∴EF＝AC＝3，
∴DE＝DF+EF＝3+1＝4，
∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴BC＝2DE＝8，
故选：D．
9. 欧几里得的《原本》记载，形如的方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上截取．则该方程的一个正根是（ ）
A. 的长B. 的长C. 的长D. 的长
【答案】B
【解析】用求根公式求得：，
∵
∴
∴
∴AD的长就是方程的正根．
故选：B．
10. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC=60°，则下列结论：①∠CAD
=30°；②；③S平行四边形ABCD=AB•AC；④，正确的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3D. 4
【答案】D
【解析】①∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC=60°，
∴∠DAE=∠BEA，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE=1，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=BE=1，
∵BC=2，
∴EC=1，
∴AE=EC，
∴∠EAC=∠ACE，
∵∠AEB=∠EAC+∠ACE=60°，
∴∠ACE=30°，
∵AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACE=30°，
故①正确；
②∵BE=EC，OA=OC，
∴OE=AB=，OE∥AB，
∴∠EOC=∠BAC=60°+30°=90°，
Rt△EOC中，OC==，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD=∠BAD=120°，
∴∠ACB=30°，
∴∠ACD=90°，
Rt△OCD中，OD==，
∴BD=2OD=，
故②正确；
③由②知：∠BAC=90°，
∴S▱ABCD=AB•AC，
故③正确；
④由②知：OE是△ABC的中位线，
∴OE=AB，
∵AB=BC，
∴OE=BC=AD，
故④正确；
正确的有：①②③④，
故选D．
二、填空题
11. 当时，二次根式的值为______．
【答案】
【解析】，
，
故答案为：．
12. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______．
【答案】8
【解析】设边数为n，由题意得，
180（n－2）=3603，
解得n=8．
所以这个多边形的边数是8．
故答案为：8．
13. 甲、乙两个篮球队队员身高的平均数都为米，若方差，则队员身高比较整齐的球队是___________队（填“甲”或“乙”）．
【答案】甲
【解析】∵
∴队员身高比较整齐的球队是甲．
故答案为：甲．
14. 用反证法证明：“四边形中至少有一个角是直角或钝角”时，应假设________．
【答案】四边形中所有内角都是锐角．
【解析】用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时第一步应假设：四边形中所有内角都是锐角．
故答案为四边形中所有内角都是锐角．
15. 在实数范围内，存在2个不同的x的值，使代数式与代数式值相等，则c的取值范围是______．
【答案】
【解析】由题意得，方程有两个不相等的根，
整理得，
∴，
解得：，
故答案为：．
16. 平面直角坐标系中，已知点，点，点，点，以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形，则x的值为______．
【答案】或5
【解析】如图1，点向右平移4个单位，再向下平移1个单位得点，
∴；
如图2，点向左平移4个单位，再向上平移1个单位得点，
∴；
综上，的值为或5，
故答案为：或5．
三、解答题
17. 计算：
（1）；
（2）．
解：（1）原式
；
（2）原式
．
18. 解方程：
（1）；
（2）．
解：（1）因式分解，得，
即或，
∴，；
（2）由，，，
则，
∴，
∴，．
19. 已知，，求下列式子的值：
（1）；
（2）．
解：（1）∵，，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
∴．
20. 某校为了解八年级男生引体向上的成绩情况，随机抽测了本校部分引体向上项目的的成绩，并将测试得到的成绩绘制成了下面两幅不完整的统计图：
请你根据图中信息，解答下列问题：
（1）求扇形统计图中a的值，并补全条形统计图；
（2）在这次抽测中，测试成绩的众数是______个，中位数是______个；
（3）该校中八年级男生约有400名，如引体向上达6个以上含6个为优秀，请你估计八年级男生引体向上达到优秀的人数．
解：（1）扇形统计图中，
设引体向上6个的学生有x人，由题意得
，
解得．
条形统计图补充如下：
（2）由条形图可知，引体向上5个的学生有60人，人数最多，所以众数是5；
共有名同学，排序后第100名与第101名同学的成绩都是5个，
故中位数为；
故答案为：5；5；
（3）（名）．
答：估计八年级男生引体向上达到优秀的人数有180名．
21. 如图，在平行四边形中，点，分别是，的中点，点，在对角线上，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）连接交于点，若，求的长．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠GAE=∠HCF，
∵点G，H分别是AB，CD的中点，
∴AG=CH，
∵AE=CF，
∴△AGE≌△CHF（SAS），
∴GE=HF，∠AEG=∠CFH，
∴∠GEF=∠HFE，
∴GE∥HF，
又∵GE=HF，
∴四边形EGFH是平行四边形；
（2）解：连接BD交AC于点O，如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵BD=10，
∴OB=OD=5，
∵AE=CF，OA=OC，
∴OE=OF，
∵AE+CF=EF，
∴2AE=EF=2OE，
∴AE=OE，
又∵点G是AB的中点，
∴EG是△ABO的中位线，
∴EG=OB=2.5．
∴EG的长为2.5．
22. 近年来，水口县致力打造特色乡村旅游，发展以“农家乐”、“高端民宿”为代表的旅游度假区．为迎接旅游旺季的到来，某民宿准备重新调整房间价格，已知该民宿有20个房间，当每个房间定价1200元时，所有房间全部住满，当每个房间每天的定价每增加100元时，就会有一个房间无人入住，如果游客居住房间，民宿需要每天对每个房间每天支出200元的各种费用，设每个房间定价增加元（x为整数）．
（1）直接写出每天游客居住的房间数量为y与x的函数关系式．
（2）当定价为多少元时，民宿每天获得的利润可以达到22400元．
（3）求当每个房间定价为多少元时民宿每天获得的利润最大，最大利润是多少？
解：（1）根据题意得，每天游客居住的房间数量为y与x的函数关系式为；
（2）根据题意得，，
解得：，，
当时，每个房间的定价为（元），
当时，每个房间的定价为（元），
答：定价为1600元或1800元．
（3）设利润为，
则根据题意得，
，
∵，
∴有最大值，
即当时，的最大值为22500元，
即当定价为元时，利润最大，最大利润为22500元．
23. 对于四边形给出如下定义：有一组对角相等且有一组邻边相等，则称这个四边形为奇特四边形．
（1）判断命题“另一组邻边也相等的奇特四边形为平行四边形”是______命题．（真或假）
（2）如图，在正方形中，是边上一点，是延长线一点，连接，取的中点，连接并延长交于点，连接，探究：四边形是否是奇特四边形，如果是，证明你的结论，如果不是，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若四边形的面积为16，求的长．
解：（1）假命题，如图，
∵，，
又∵，
而四边形不是平行四边形．
（2）连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵是的中点，
∴，，
∴，
∴四边形是奇特四边形．
（3）如图，过作于，
∵，，
∴，
设，，
∴，
∵四边形的面积为16，
∴，
∴，
∴，而，
∴，
∵，
∴，而，
∴．
24. 在中、，于点M，D是线段上动点（不与点M，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．
（1）如图1，当点E在线段上时，求证：D是的中点；
（2）在（1）的条件下，若cm，cm，求的长；
（3）如图2，若在线段上存在点F（不与点B，M重合）满足，连接，，直接写出的大小，并证明．
（1）证明：∵旋转，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴D是的中点．
（2）解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，，，，
∴，，，
∴，
∴．
（3）证明：如图，延长至G，使，连结．
∵，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．