2023-2024学年浙江省湖州市长兴县等2地八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年浙江省湖州市长兴县等2地八年级（上）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各组线段中，能构成三角形的一组是( )
A. 1cm，2cm，3cmB. 2cm，2cm，3cm
C. 2cm，3cm，6cmD. 3cm，8cm，5cm
2.下列四个图标中，属于轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.如图，点A的坐标(−1,2)，则点A关于y轴的对称点的坐标为( )
A. (1,2)B. (−1,−2)C. (1,−2)D. (2,−1)
4.不等式组2x−1≤3,x+1>2的解集在数轴上表示为( )
A. B.
C. D.
5.如图，已知点F在BC上，且△ABC≌△AEF，有同学在推出AB=AE，∠B=∠E后，还分别推出下列结论，其中错误的是( )
A. AC=AF
B. ∠AFC=∠AFE
C. EF=BC
D. ∠FAB=∠B
6.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC中点，DE⊥AC，垂足为E，∠BAC=80°，则∠ADE的度数为( )
A. 40°
B. 50°
C. 60°
D. 80°
7.如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈=十尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列方程为( )
A. x2+62=102B. (10−x)2+62= x2
C. x2+(10−x)2=62D. x2+62=(10−x)2
8.如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则∠1−∠2−∠3的度数为( )
A. 30°
B. 45°
C. 55°
D. 60°
9.已知：如图，在△ABC中，AB=AC=12，点E在边AC上，若∠DAE=∠DEA，∠ADE=∠B，CD=3BD，则CE等于( )
A. 3
B. 4
C. 125
D. 6
10.如图，一次函数y=−x+ 2第一象限的图象上有一点P，过点P作x轴的垂线段，垂足为A，连结OP，则Rt△OAP的周长的最小值是( )
A. 2
B. 2 2
C. 2+1
D. 2+2
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.“x的3倍与2的和小于8”可列不等式为______．
12.函数y=x+1x−3中自变量x的取值范围是______．
13.等腰三角形的一个外角度数为70°，则其顶角的度数是______．
14.已知△ABC的顶点坐标分别为A(−5,0)，B(3,0)，C(0,3)，当过点C的直线l将△ABC分成面积相等的两部分时，直线l所表示的函数表达式为______．
15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，以点A为圆心，适当长为半径作弧，与边AB，AC分别相交于点E和点D，再分别以这两个交点为圆心，以大于12DE的长为半径作弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G.点P为AB上一动点，则GP的最小值是______．
16.如图，已知在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，过点E作EF⊥AB于点F，∠B=∠EAF+∠BCD，AE=CD，若BF=6，则AD的长为______．
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
17.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与AC的垂直平分线相交于点D，过点D作DF⊥BC，DG⊥AB，垂足分别为F、G．
(1)求证：AG=CF；
(2)若BG=5，AC=6，求△ABC的周长．
四、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
解不等式组2x−3>x−52x+63<2−x．
19.(本小题6分)
如图，在△ABC中，AB=AC，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．
(1)求证：DE=DF；
(2)若∠BDE=55°，求∠BAC的度数．
20.(本小题6分)
在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标为：A(−3,4)，B(−4,1)，C(−1,3)．
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)求△ABC的面积．
21.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，过CA的延长线上一点D，作DE⊥BC，垂足为E，交边AB于点F．
(1)求证：△ADF是等腰三角形；
(2)若AD=13，BE=5，F为AB的中点，求EF的长．
22.(本小题8分)
如图，已知直线y=kx+b与x轴相交于点A(5,0)，与y轴相交于点B，直线y=2x−4与直线AB相交于点C(m,2)．
(1)求m的值及直线AB的函数表达式；
(2)根据图象，直接写出关于x的不等式2x−4>kx+b的解．
23.(本小题10分)
某校八年级学生在数学课上进行了项目化学习研究，某小组研究如下：
【提出驱动性问题】机场监控问题．
【设计实践任务】选择“素材1”“素材2”，设计了“任务1”“任务2”“任务3”的实践活动.请你尝试帮助他们解决相关问题．
24.(本小题12分)
如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y=2x+b与x轴交于点A(−2,0)，与y轴交于点B．
(1)求直线AB的解析式；
(2)若直线CD：y=−12x+32与x轴、y轴、直线AB分别交于点C、D、E，求△BDE面积；
(3)如图2，在(2)的条件下，点F为线段AC上一动点，将△EFC沿直线EF翻折得到△EFN，EN交x轴于点M.当△MNF为直角三角形时，求点N的坐标．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、1+2=3，长度是1cm、2cm、3cm的线段不能构成三角形，故A不符合题意；
B、2+2>3，长度是2cm、2cm、3cm的线段能构成三角形，故B符合题意；
C、3+2<6，长度是2cm、3cm、6cm的线段不能构成三角形，故C不符合题意；
D、3+5=8，长度是3cm、5cm、8cm的线段不能构成三角形，故D不符合题意．
故选：B．
在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断．
本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
2.【答案】D
【解析】解：A、B、C中的图形不是轴对称图形，故A、B、C不符合题意；
D中的图形是轴对称图形，故D符合题意．
故选：D．
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断．
本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．
3.【答案】A
【解析】【分析】
此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
直接利用关于y轴对称点的性质分析得出答案．
【解答】
解：点A的坐标(−1,2)，点A关于y轴的对称点的坐标为：(1,2)．
故选：A．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可．
【解答】
解：解不等式2x−1≤3，得：x≤2，
解不等式x+1>2，得：x>1，
∴不等式组的解集为1表示在数轴上如下：
故选C．
5.【答案】D
【解析】解：∵△ABC≌△AEF，
∴AB=AE，AC=AF，BC=EF，∠B=∠E，∠C=∠AFE，∠CAB=∠FAE，
∴∠AFC=∠AFE，
故选：D．
由全等三角形的性质即可判断．
本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】首先根据三角形的三线合一的性质得到AD平分∠BAC，然后求得其一半的度数，从而求得答案．
解：∵AB=AC，D为BC的中点，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠BAC=80°，
∴∠DAC=40°，
∵DE⊥AC，
∴∠ADE=90°−40°=50°，
故选：B．
本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是了解等腰三角形三线合一的性质，难度不大．
7.【答案】D
【解析】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为(10−x)尺，
根据勾股定理得：x2+62=(10−x)2．
故选D．
竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为(10−x)尺，利用勾股定理列出方程即可．
此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
8.【答案】B
【解析】解：如图，则∠1=90°，∠2=∠4，∠3+∠4=45°，
∴∠1−∠2−∠3=90°−45°=45°，
故选：B．
根据网格特点，可得出∠1=90°，∠2=∠4，∠3+∠4=45°，进而可求解．
本题考查网格中的全等图形、三角形的外角性质，会利用全等图形求正方形网格中角度之和是解答的关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△ABD中，∠BAD=180°−∠B−∠ADB，
∵∠CDE=180°−∠ADE−∠ADB，且∠ADE=∠B，
∴∠BAD=∠CDE，
∵∠DAE=∠DEA，
∴AD=DE，
在△ABD和△DCE中，
∠B=∠C∠BAD=∠CDEAD=DE，
∴△ABD≌△DCE(AAS)，
∴AB=DC，BD=CE，
∵AB=AC=12，
∴DC=12，
∴CD=3BD，
∴BD=4，
∴CE=BD=4，
故选：B．
先证∠BAD=∠CDE，AD=DE，利用AAS证得△ABD和△DCE全等，得出AB=DC=12，BD=CE，结合CD=3BD，求出BD的长，即为CE的长．
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边对等角，等角对等边以及全等三角形的判定定理是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：设点P的坐标为(a,b)(0∵点P(a,b)在直线y=−x+ 2图象上，
∴a+b= 2，OP= a2+b2，
∴Rt△OAP的周长=a+b+ a2+b2= 2+ a2+b2，
∵a2+b2=(a+b)2−2ab=2−2ab，
∴当ab有最大值时， a2+b2有最小值，
∵(a−b)2=a2+b2−2ab≥0，
当a=b时，ab有最大值，此时a=b= 22，
∴Rt△OAP的周长的最小值为 2+1．
故选：C．
设点P的坐标为(a,b)(0本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握均值不等式的求法是解答本题的关键．
11.【答案】3x+2<8
【解析】解：根据题意可得：3x+2<8．
故答案为：3x+2<8．
先表示出x的3倍，然后根据题意即可得出不等式．
本题考查由实际问题抽象一元一次不等式的知识，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
12.【答案】x≠3
【解析】解：根据题意得：x−3≠0，解得：x≠3．
分式有意义的条件是分母不等于0，根据这一点就可以求出x的范围．
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0．
13.【答案】110°
【解析】解：等腰三角形一个外角为70°，那相邻的内角为110°，
三角形内角和为180°，如果这个内角为底角，内角和将超过180°，
所以110°只可能是顶角．
故答案为：110°．
三角形内角与相邻的外角和为180°，三角形内角和为180°，等腰三角形两底角相等，110°只可能是顶角．
本题主要考查三角形外角性质、等腰三角形性质及三角形内角和定理；判断出70°的外角只能是顶角的外角是正确解答本题的关键．
14.【答案】y=3x+3
【解析】解：线段AB的中点坐标为(−1,0)，
设直线l的解析式为y=kx+b，
b=3−k+b=0，
解得k=3b=3，
∴直线l的解析式为：y=3x+3．
故答案为：y=3x+3．
根据题意，先求出线段AB的中点坐标，再利用待定系数法求出直线l的解析式即可．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，中线均分三角形面积是解答本题的关键．
15.【答案】43
【解析】解：设CG=x，
∵∠C=90°，AB=5，BC=3，
∴AC= 52−32=4，
由作法得AG平分BAC，
∴点G到AB、AC的距离相等，
而GC⊥AC，
∴点G到AB的距离为x，
∵S△ACG+S△ABG=S△ABC，
∴12×4⋅x+12×5⋅x=12×3×4，
解得x=43，
∴点G到AB的距离为43，
∴GP的最小值为43．
故答案为：43．
设CG=x，利用勾股定理计算出AC=4，利用基本作图得AG平分BAC，则根据角平分线的性质得到点G到AB、AC的距离相等，则点G到AB的距离为x，再利用面积法得到12×4⋅x+12×5⋅x=12×3×4，
解方程得x=43，然后根据垂线段最短求解．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质．
16.【答案】12
【解析】解：在FA上取一点G，使得FG=BF，连接EG，在CB上取一点K，使得CK=EG，连接DK．
∵EF⊥AB，
∴EB=EG，
∴∠B=∠EGB，
∵∠EGB=∠BAE+∠AEG，∠B=∠BAE+∠BCD，
∴∠AEG=∠BCD，
∵AE=CD，EG=CK，
∴△AEG≌△DCK(SAS)，
∴DK=AG，∠AGE=∠DKC，
∴∠EGB=∠DKB，
∴∠B=∠DKB，
∴DB=DK，
∴BD=AG，
∴AD=BG，
∵BG=2BF=12，
∴AD=12，
故答案为：12．
在FA上取一点G，使得FG=BF，连接EG，在CB上取一点K，使得CK=EG，连接DK.证明△AEG≌△DCK(SAS)，由全等三角形的性质得出DK=AG，∠AGE=∠DKC，证出∠B=∠DKB，得出DB=DK，则可得出答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
17.【答案】(1)证明：连接AD、DC．
∵BD平分∠ABC，DG⊥AB，DF⊥BC，
∴DG=DF．
∵D在AC的中垂线上，
∴DA=DC．
在Rt△DGA与Rt△DFC中，
∵DG=DF，DA=DC，
∴Rt△DGA≌Rt△DFC(HL)．
∴AG=CF．
(2)解：由(1)知DG=DF，
又∵BD=BD，
∴Rt△BDG≌Rt△BDF(HL)．
∴BG=BF．
又∵AG=CF，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=BG−AG+BF+FC+AC=2BG+AC=2×5+6=16．
答：△ABC的周长为16．
【解析】(1)连接AD、DC.证明Rt△DGA≌Rt△DFC(HL)可得出结论；
(2)证明Rt△BDG≌Rt△BDF(HL).得出BG=BF.则可求出答案．
此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
18.【答案】解：2x−3>x−5①2x+63<2−x②，
解不等式①得：x>−2，
解不等式②得：x<0，
∴原不等式组的解集为：−2【解析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
19.【答案】(1)证明：连接AD，
∵D是BC的中点，AB=AC，
∴AD平分∠BAC，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF；
(2)解：∵DE⊥AB，
∴∠BED=90°，
∵∠BDE=55°，
∴∠B=35°，
∴∠C=35°，
∴∠BAC=110°．
【解析】(1)根据∠B=∠C，D是BC的中点，根据角平分线的性质即可得出结论．
(2)根据直角三角形的性质求出∠B=50°，根据等腰三角形的性质即可求解．
此题主要考查学生对等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质直角三角形的性质等知识点的理解和掌握．
20.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．

(2)△ABC的面积为12×(2+3)×3−12×3×2−12×2×1=152−3−1=72．
【解析】(1)根据轴对称的性质作图即可．
(2)利用割补法求三角形的面积即可．
本题考查作图−轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
21.【答案】解：(1)证明：∵在△ABC中，AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DE⊥BC，
∴∠B+∠BFE=90°，∠C+∠D=90°，
∴∠BFE=∠D，
又∵∠BFE=∠AFD，
∴∠D=∠AFD，
∴△ADF是等腰三角形；
(2)∵F为AB的中点，
∴AF=BF，
∵△ADF是等腰三角形，
BF=AF=AD=13，
∵DE⊥BC，
∴EF= 2−2= 132−52=12，
答：EF的长为12．
【解析】(1)因为AB=AC，所以∠B=∠C，再利用DE⊥BC进行角之间的转换，得出∠D=∠DFA，推导出△ADF是等腰三角形；
(2)根据勾股定理计算EF的长．
本题考查的重点是等腰三角形的定义，熟练运用角度之间的转换，掌握勾股定理求线段的长度．
22.【答案】解：(1)把C(m,2)代入直线y=2x−4得2=2m−4，
解得m=3；
把A(5,0)，C(3,2)代入直线y=k+b得5k+b=03k+b=2，
解得k=−1，b=5，
∴直线AB的函数表达式为y=−x+5；
(2)当x>3时，2x−4>kx+b，
∴关于x的不等式2x−4>kx+b的解集为x>3．
【解析】(1)把C(m,2)代入直线y=2x−4中可得到m的值，然后利用待定系数法求直线AB的解析式；
(2)结合函数图象，找出直线y=2x−4在直线y=kx+b的上方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：利用数形结合的思想，通过比较两函数图象的高低确定不等式的解集．也考查了待定系数法求一次函数解析式．
23.【答案】解：任务1：设OA段h关于s的函数解析式为h=ks，
∴k=hs=tan45°=1，
∴h=s，
∴当h=4时，s=4，
∴OA段h关于s的函数解析式为h=s(0≤s≤4)；
2号机从O点到达A点飞行的路程为OA= 42+42=4 2(km)，所用时间为43min，
∴2号机的爬升速度为4 2÷43=3 2(km/min)．
任务2：B点的横坐标为4+1×3=7，
∴B点的坐标为(7,4)．
设BC段h关于s的函数解析式为h=k1s+b(k1、b为常数，且k1≠0)．
将坐标B(7,4)和C(10,3)分别代入h=k1s+b，
得7k1+b=410k1+b=3，解得k1=−13b=193，
∴BC段h关于s的函数解析式为h=−13s+193．
当h=0时，0=−13s+193，解得s=19，
∴预计2号机着陆点的坐标为(19,0)．
任务3：当2号机在OA段，且PQ=3时，5−s=3，解得s=2；
当2号机在BC段，且PQ=3时，5−(−13s+193)=3，解得s=13，
根据图象可知，当2≤s≤13时，两机距离PQ不超过3km，
∴两机距离PQ不超过3km的时长是(13−2)÷3=113(min)．
【解析】(1)设OA段h关于s的函数解析式为正比例函数的一般形式，根据OA与水平方向的夹角求出k值，从而求出对应函数解析式；根据勾股定理，求出点O与A的距离，1号机与2号机在水平方向的速度相同，由速度=路程÷时间求出2号机的爬升速度即可；
(2)先求出点B的坐标，再利用待定系数法求出BC段h关于s的函数解析式；当h=0时对应s的值，从而求得2号机着陆点的坐标；
(3)分别求出2号机在OA段和BC段PQ=3时对应的s的值，根据图象，当s处于这两者之间时PQ不超过3km，根据时间=路程÷速度求解即可．
本题考查一次函数的应用，理解题意并利用待定系数法求出函数关系式是解题的关键．
24.【答案】解：(1)把A(−2,0)代入y=2x+b得−4+b=0，，
∴b=4，
∴直线AB：y=2x+4；
(2)∵直线AB：y=2x+4，
∴点B的坐标为(0,4)，
∵直线CD：y=−12x+32与x轴、y轴、直线AB分别交于点C、D、E，
当x=0时，y=32，当y=0时，0=−12x+32，解得x=3，
∴C(3,0)、D(0,32)，
联立y=−12x+32与y=2x+4得y=2x+4y=−12x+32，解得x=−1y=2，
∴E(−1,2)，
∴BD=4−32=52，
∴S△BDE=12BD×1=12×52×1=54，
∴△BDE的面积为54；
(3)如图2，当∠MFN=90°时，过点E作EH⊥x轴于H，

由翻折得∠EFC=∠EFN=12(360°−90°)=135°，
∴∠EFO=135°−90°=45°，
∵E(−1,2)，
∴EH=2，OH=1，
∴EH=FH=2，
∴OF=FH−OH=2−1=1，
∵C(3,0)，
∴CF=OC−OF=3−1=2，
由翻折得FN=CF=2，
∴点N的坐标为(1,−2)；
如图3，当∠FMN=90°时，

由翻折得EN=EC，
∵E(−1,2)，C(3,0)，
∴EM=2，EC= 22+(3+1)2=2 5，
∴MN=EN−EM=2 5−2，
∴点N的坐标为(−1,2−2 5)；
综上，点N的坐标为(1,−2)或(−1,2−2 5).
【解析】(1)把A(−2,0)代入y=2x+b，求出b=4，即可得得直线AB：y=2x+4；
(2)求出点C、D、E的坐标，根据三角形的面积公式即可求解；
(3)分两种情况讨论，当∠MFN=90°时，求出∠EFC=135°，得∠EFO=45°，得EH=FH=2，得点F坐标，进而可得点N的坐标；当∠FMN=90°时，由翻折得EN=EC，根据勾股定理得EC= 22+(3+1)2=2 5，则MN=EN−EM=2 5−2，即可得点N的坐标为(−1,2−2 5).
此题为一次函数的综合题，考查了待定系数法，两直线的交点，勾股定理，三角形的面积，直角三角形的性质和判定，翻折的性质等，解题的关键是数形结合以及分类思想的运用．机场监控问题的思考
素材1
如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1号指挥机(看成点P)始终以3km/min的速度在离地面5km高的上空匀速向右飞行．
素材2
2号试飞机(看成点Q)一直保持在1号机P的正下方从原点O处沿45°角爬升，到高4km的A处便立刻转为水平飞行，再过1min到达B处开始沿直线BC降落，要求1min后到达C(10,3)处．
问题解决
任务1
求解析式和速度
求出OA段h关于s的函数解析式，直接写出2号机的爬升速度；
任务2
求解析式和坐标
求出BC段h关于s的函数解析式，并预计2号机着陆点的坐标；
任务3
计算时长
通过计算说明两机距离PQ不超过3km的时长是多少．