2023-2024学年浙江省湖州市吴兴区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年浙江省湖州市吴兴区八年级（下）期中数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.样本数据2、a、3、4的平均数是3，则a的值是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
3.下列各式中，是二次根式有( )
① 7；② −3；③310；④ 3−x(x≤3)；⑤ a−32；⑥ −x2−1；⑦ ab(ab≥0)．
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
4.一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形的边数是( )
A. 10B. 8C. 6D. 5
5.下列根式中，不是最简二次根式的是( )
A. 5B. 8C. 22D. 6
6.一元二次方程x2−2x−1=0配方后可变形为( )
A. (x−1)2=0B. (x+1)2=0C. (x−1)2=2D. (x+1)2=2
7.若a是方程x2+x−1=0的根，则3a2+3a+2024的值为( )
A. 2021B. 2024C. 2027D. 2030
8.用反证法证明“在△ABC中，若∠A>∠B>∠C，则∠A>60°”时，应先假设( )
A. ∠A=60°B. ∠A<60°C. ∠A≠60°D. ∠A≤60°
9.某品牌新能源汽车2021年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2023年的销售量比2021年增加了31.2万辆.如果设从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是( )
A. 20(1+2x)=31.2B. 20(1+2x)−20=31.2
C. 20(1+x)2=31.2D. 20(1+x)2−20=31.2
10.如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC=60°，AB=12BC，连接OE，下列结论：①∠CAD=30°；②OD=AB；③S▱ABCD=AC⋅CD；④S四边形OECD=32S△AOD，其中成立的个数为( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.当a=−2时，二次根式 3+a的值是______．
12.某校规定：学生的单科学期综合成绩是由平时、期中和期末三项成绩按2：3：5的比例计算所得.已知某学生本学期数学的平时、期中和期末成绩分别是85分、90分和96分，那么他本学期数学学期综合成绩是______分.
13.关于x的方程ax2−2(a−1)x+a=0有实数根，则a的取值范围______．
14.如果最简二次根式 2x−1与 5是同类二次根式，那么x的值为______．
15.如图，在四边形ABCD中，AD=BC，∠DAB=50°，∠CBA=70°，P、M、N分别是AB、AC、BD的中点，若BC=6，则△PMN的周长是______．
16.在平面直角坐标系中，已知点A(4,0)，点B(−3,2)，点C(0,2)，点P从点B出发，以2个单位每秒的速度沿射线BC运动，点Q从点A出发，开始以1个单位每秒的速度向原点O运动，到达原点后立刻以原来3倍的速度沿射线OA运动，若P，Q两点同时出发，设运动时间为t秒，则当t=______时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形．
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：
(1)( 24− 16)÷ 2−2 18；
(2)( 3+ 5)2+( 3−1)( 3+1)．
18.(本小题6分)
解方程：
(1)2x−6=(x−3)2；
(2)x2−4x−7=0．
19.(本小题6分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,4)，(4,2)，C(3,5)．
(1)请画出Δ A1BC1，使Δ A1B1C1与△ABC关于原点成中心对称，并写出点A1，B1，C1的坐标．
(2)求Δ A1B1C1的面积？
20.(本小题8分)
如图，在▱ABCD中，E，F是直线BD上的两点，DE=BF．
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若AD⊥BD，AB=5，BC=3，且EF−AF=2，求DE的长．
21.(本小题8分)
有一家加工厂，要对一款进口巧克力进行包装，要求每袋净含量为100g.现使用甲、乙两种包装机同时包装100g的巧克力，从中各抽出10袋，测得实际质量(g)如下：
甲：101，102，99，100，98，103，100，98，100，99
乙：100，101，100，98，101，97，100，98，103，102
(1)分别计算两组数据的众数、中位数；
(2)通过计算发现这两种包装机抽出的这10袋的平均重量都是100g，要想每包巧克力质量更加稳定，如果你是老板，你会选择哪种包装机比较适合？简述理由．
22.(本小题10分)
关于x的一元二次方程(m−1)x2−2mx+m+1=0
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根．
(2)m为何整数时，此方程的两个根都是正整数？
(3)若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求m的值．
23.(本小题10分)
在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：
已知a=12+ 3，求2a2−8a+1的值，他是这样解答的：
∵a=12+ 3=2− 3(2+ 3)(2− 3)=2− 3，
∴a−2=− 3，
∴(a−2)2=3，a2−4a+4=3，
∴a2−4a=−1．
∴2a2−8a+1=2(a2−4a)+1=2×(−1)+1=−1．
请你根据小明的解题过程，解决如下问题：
(1)1 3+ 2= ______；
(2)化简：1 2+1+1 3+ 2+1 4+ 3+⋯+1 169+ 168；
(3)若a=1 5−2，求a4−4a3−4a+3的值．
24.(本小题12分)
如图，在直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形OABC是平行四边形，点A的坐标为(14,0)，点B的坐标为(18,4 3).
(1)求点C的坐标和平行四边形OABC的对称中心的点的坐标；
(2)动点P从点O出发，沿OA方向以每秒1个单位的速度向终点A匀速运动，动点Q从点A出发，沿AB方向以每秒2个单位的速度向终点B匀速运动，一点到达终点时另一点停止运动.设点P运动的时间为t秒，求当t为何值时，△PQC的面积是平行四边形OABC的一半？
(3)当△PQC的面积是平行四边形OABC面积的一半时，在平面直角坐标系中找到一点M，使以M、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.图形不是中心对称图形，故不合题意；
B.图形不是中心对称图形，故合题意；
C.图形是中心对称图形，故符合题意；
D.图形不是中心对称图形，故不合题意；
故选：C．
本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
本题考查中心对称图形，正确记忆相关知识点是解题关键．
2.【答案】C
【解析】解：∵数据2、a、3、4的平均数是3，
∴a=3×4−(2+3+4)
=12−9
=3．
故选：C．
根据平均数的公式计算出a的值即可．
本题考查了算术平均数，对于n个数x1，x2，…，xn，则x−=1n(x1+x2+…+xn)就叫做这n个数的算术平均数．
3.【答案】B
【解析】解：② −3，被开方数小于0，不是二次根式；
③310是三次根式；
⑤ a−32当a<9时，被开方数小于0，不是二次根式；
⑥ −x2−1，∵x2≥0，∴−x2≤0，∴−x2−1<0，被开方数小于0，不是二次根式；
① 7；④ 3−x(x≤3)；⑦ ab(ab≥0)是二次根式．
故选：B．
根据二次根式的概念及二次根式成立的条件进行判断．
本题考查二次根式的概念，理解形如 a(a≥0)的式子叫做二次根式是解题关键．
4.【答案】B
【解析】解：设这个多边形是n边形，由题意得：
(n−2)⋅180°=3×360°，
解得：n=8，
故选：B．
根据多边形的内角和公式与外角和的关系找出等量关系，构建方程即可求解．
本题考查多边形的内角和与外角和，解题关键是记住内角和的公式与外角和的性质．
5.【答案】B
【解析】解：A、 5是最简二次根式，不符合题意；
B、 8= 4×2=2 2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，符合题意；
C、 22是最简二次根式，不符合题意；
D、 6是最简二次根式，不符合题意；
故选：B．
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
6.【答案】C
【解析】解：x2−2x−1=0，
∴x2−2x=1，
∴x2−2x+1=1+1，
∴(x−1)2=2；
故选：C．
根据配方法的步骤，配方后进行判断即可．
本题考查配方法．熟练掌握配方法的步骤，是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵a是方程x2+x−1=0的根，
∴a2+a−1=0，
∴a2+a=1，
∴3a2+3a+2024=3(a2+a)+2024=3×1+2024=2027，
故选：C．
把x=a代入已知方程，并求得a2+a=1，然后将其整体代入所求的代数式进行求值即可．
本题考查一元二次方程的解以及代数式求值，运用整体代入思想是解决此问题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：反证法证明“在△ABC中，若∠A>∠B>∠C，则∠A>60°”时，应先假设∠A≤60°，
故选：D．
根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可．
本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
9.【答案】D
【解析】解：根据题意得：20(1+x)2−20=31.2．
故选：D．
根据2023年的销售量=2021年的销售量×(1+从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率)2，结合2023年的销售量比2021年增加了31.2万辆，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】【分析】
结合平行四边形的性质可证明△ABE为等边三角形，由AB=12BC可判定①，证明∠BAC=90°，可判定②；由平行四边形的面积公式可判定③；利用三角形中线的性质结合三角形的面积可求解判定④．
本题主要考查平行四边形的性质，直角三角形的性质，三角形的面积，灵活运用三角形的面积解决问题是解题的关键．
【解答】
解：∵四边形ABCD为平行四边形，∠ADC=60°，
∴AD//BC，∠ABC=∠ADC=60°，OB=OD，
∴∠DAE=∠AEB，∠BAD=∠BCD=120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=60°，
且∠ABE=60°=∠AEB，
∴△ABE为等边三角形，
∴AB=BE=AE，
∵AB=12BC，
∴EC=AE，
∴∠EAC=∠ECA=30°，
∴∠CAD=30°，故①正确；
∵∠BAD=120°，∠CAD=30°，
∴∠BAC=90°，
∴BO>AB，
∴OD>AB，故②错误；
∴S▱ABCD=AB⋅AC=AC⋅CD，故③正确；
∵∠BAC=90°，BC=2AB，
∴E是BC的中点，
∴S△BEO：S△BCD=1：4，
∴S四边形OECD：S△BCD=3：4，
∴S四边形OECD：S▱ABCD=3：8，
∵S△AOD：S▱ABCD=1：4，
∴S四边形OECD=32S△AOD，故④正确．
综上，正确的结论有①③④共3个．
故选：C．
11.【答案】1
【解析】解：当a=−2时， 3+a= 3+(−2)= 1=1，
故答案为：1．
将a=−2代入计算即可得．
本题考查了二次根式的值，熟练掌握二次根式的运算是解题关键．
12.【答案】92
【解析】 ​ 解：根据题意得：
85×2+90×3+96×52+3+5=92(分)，
答：他本学期数学学期综合成绩是92分．
故答案为：92．
根据加权平均数的计算公式进行计算，即可得出答案．
本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
13.【答案】a≤12
【解析】解：当a=0时，原方程为2x=0，解得x=0，原方程有实数根，符合题意；
当a≠0时，原方程为一元二次方程，则Δ=[−2(a−1)]2−4a2≥0，
∴4a2−8a+4−4a2≥0，
∴a≤12且a≠0；
综上所述，a≤12，
故答案为：a≤12．
解一元一次方程，当a=0时，原方程为2x=0，此时原方程有实数根；当a≠0时，原方程为一元二次方程，则Δ=[−2(a−1)]2−4a2≥0，据此求解即可．
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式的应用是关键．
14.【答案】3
【解析】解：∵最简二次根式 2x−1与 5是同类二次根式，
∴2x−1=5，
∴x=3．
故答案为：3．
根据同类项的定义得出2x−1=5，然后求解即可得出答案．
本题考查同类二次根式的概念，化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
15.【答案】9
【解析】解：∵P、M分别是AB、AC的中点，
∴PM//BC，PM=12BC=3，
∴∠APM=∠CBA=70°，
同理可得：PN//AD，PN=12AD=3，
∴∠BPN=∠DAB=50°，
∴PM=PN=3，∠MPN=180°−50°−70°=60°，
∴△PMN为等边三角形，
∴△PMN的周长为9，
故答案为：9．
根据三角形中位线定理得到PM/​/BC，PM=12BC=3，PN//AD，PN=12AD=3，根据等边三角形的判定和性质定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理、等边三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
16.【答案】1或3或13
【解析】解：∵A(4,0)，B(−3,2)，C(0,2)，
∴OA=4，BC=3，BC/​/x轴，
∵PC//AQ，
∴当PC=AQ时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形，
若0若32若4若t>163时，BP=2t，PC=2t−3，OQ=3(t−4)，AQ=3(t−4)−4，此时2t−3=3(t−4)−4，解得t=13；
综上所述，当t为1或3或13秒时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形．
故答案为1或3或13．
利用A、B、C的坐标可得到OA=4，BC=3，BC/​/x轴，根据平行四边形的判定，当PC=AQ时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形，讨论：若0163时，2t−3=3(t−4)−4，然后分别解方程可确定满足条件的t的值．
本题考查了平行四边形的判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．利用分类讨论的思想和方程的思想是解决问题的关键
17.【答案】解：(1)( 24− 16)÷ 2−2 18
= 242− 162− 22
= 12− 8− 22
=2 3−2 2− 22
=2 3−5 22；
(2)( 3+ 5)2+( 3−1)( 3+1)
=3+5+2 15+3−1
=10+2 15．
【解析】(1)先算除法，再算减法即可；
(2)先算乘方，乘法，再算加减即可．
本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
18.【答案】解：(1)2x−6=(x−3)2，
则2(x−3)−(x−3)2=0，
∴(x−3)(2−x+3)=0，
∴x−3=0或5−x=0，
∴x1=3，x2=5；
(2)x2−4x−7=0，
则x2−4x=7，
∴x2−4x+4=7+4，
∴(x−2)2=11，
∴x−2=± 11，
∴x1= 11+2，x2=− 11+2．
【解析】(1)利用提公因式法把方程变形，进而解出方程；
(2)利用配方法解出方程．
本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法、配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
19.【答案】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求．

A1(−1,−4)，B1(−4,−2)，C1(−3,−5)；
(2)根据中心对称的性质可得S△A1B1C1=S△ABC=3×3−12×3×1−12×2×1−12×3×2=9−32−1−3=72．
【解析】(1)作出△ABC各点关于原点的对称点，再顺次连接即可；
(2)利用面积差即可求得答案．
本题考查的是作图−中心对称，根据题意作出各点关于原点的对应点是解答此题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC．
∴∠ADB=∠CBD．
∴∠ADE=∠CBF．
在△ADE和△CBF中，
AD=BC∠ADE=∠CBFDE=BF，
∴△ADE≌△CBF(SAS)．
∴AE=CF，∠AED=∠CBF．
∴AE//CF，
∴四边形AFCE是平行四边形；
(2)解：∵BD⊥AD，AB=5，BC=AD=3，
∴BD= AB2−AD2= 52−32=4，
连接AC交EF于O，
∴DO=OB=12BD=2，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴EO=OF=12EF，
∴DE=BF，
设DE=BF=x，
∴EF=2x+4，
∵EF−AF=2，
∴AF=2x+2，
∵AF2=AD2+DF2，
∴(2x+2)2=32+(4+x)2，
∴x= 7(负值舍去)，
∴DE的长为 7．
【解析】(1)根据平行四边形的性质，得AD//BC，AD=BC.根据平行线的性质，得∠ADB=∠CBD，则∠ADE=∠CBF.根据SAS可以证明△ADE≌△CBF，AE=CF，∠AED=∠CBF，从而证明AE/​/CF，根据一组对边平行且相等的四边形，即可证明四边形AFCE是平行四边形；
(2)根据勾股定理得到BD= AB2−AD2= 52−32=4，连接AC交EF于O，求得DO=OB=12BD=2，根据平行四边形的性质得到EO=OF=12EF，设DE=BF=x，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△ADE≌△CBF．
21.【答案】解：(1)甲中数据从小到大排列为：98，98，99，99，100，100，100，101，102，103，故甲的中位数是：100，甲的众数是100，
乙中数据从小到大排列为：97，98，98，100，100，100，101，101，102，103，
故乙的中位数是：100，乙的众数是100；
(2)甲的方差是：110×[2×(98−100)2+2×(99−100)2+3×(100−100)2+(101−100)2+(102−100)2+(103−100)2]=2.4；
乙的方差是：110×[(97−100)2+2×(98−100)2+3×(100−100)2+2×(101−100)2+(102−100)2+(103−100)2]=3.2，
∵S甲2∴选择甲包装机比较适合．
【解析】(1)根据众数和中位数的定义即可得出答案；
(2)利用方差公式分别计算出甲、乙的方差，然后比较可得答案．
此题主要考查了中位数、众数以及方差，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数进行计算即可．
22.【答案】解：(1)∵△=(−2m)2−4(m−1)(m+1)=4>0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
(2)(m−1)x2−2mx+m+1=0，
[(m−1)x−(m+1)](x−1)=0，
x1=m+1m−1，x2=1，
∵此方程的两个根都是正整数，
由m+1m−1>0解得m<−1或m>1，
∴m=2或m=3；
(3)解：∵一元二次方程(m−1)x2−2mx+m+1=0的解为x1=m+1m−1，x2=1，
∵△ABC是等腰三角形，第三边BC的长为5，
∴m+1m−1=5，
解得m=1.5，
经检验，m=1.5是原方程的解．
故m的值是1.5．
【解析】(1)先计算出△=1，然后根据判别式的意义即可得到结论；
(2)先求出方程的解，根据此方程的两个根都是正整数列出关于m的不等式，解不等式即可求解；
(3)根据等腰三角形的性质和三角形三边关系得到关于m的方程，解方程即可求解．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．
23.【答案】 3− 2
【解析】解：(1)1 3+ 2= 3− 2( 3+ 2)( 3− 2)= 3− 2；
故答案为： 3− 2；
(2)原式= 2−1+ 3− 2+ 4− 3+…+ 169− 168
= 169−1
=13−1
=12；
(3)∵a=1 5−2= 5+2，
∴a−2= 5，
∴(a−2)2=5，
即a2−4a+4=5．
∴a2−4a=1．
∴a4−4a3−4a+3
=a2(a2−4a)−4a+3
=a2×1−4a+3
=a2−4a+3
=1+3
=4．
(1)根据所给的解答方式进行求解即可；
(2)把各式的分母进行有理化，即可求解；
(3)先进行分母有理化的运算，再代入相应的式子运算即可．
本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
24.【答案】解：(1)∵四边形OABC是平行四边形，
∴AO=BC=14，
∵点A的坐标为(14,0)，点B的坐标为(18,4 3)，
∴点C的坐标为(4,4 3)，平行四边形OABC的对称中心的点的坐标为(9,2 3).
(2)根据题意得：S△PQC=S▱ABCD−S△OPC−S△APQ−S△BCQ=12S▱ABCD，
∴12×14×4 3=12×t×4 3+12(14−t)× 3t+12×14×(4 3− 3t)
化简得： 32t2−2 3t=0，
解得：t=4，
即当点P运动4秒时，△PQC的面积是平行四边形OABC的一半．
t=0秒时，△PQC的面积是平行四边形OABC的一半．
综上所述，t=4或t=0时，△PQC的面积是平行四边形OABC的一半．
(3)①t=4时，由(2)知，此时点Q与点B重合，画出图形如下所示，

根据平行四边形的性质，可知点M1的坐标为M1(18,0)，M2(−10,0)，M3(18,8 3).
t=0时，同法可得：M(18,4 3)或(−10,4 3)或(10,−4 3).
【解析】(1)根据平行四边形与直角坐标系中坐标的性质，可直接写出点C的坐标；平行四边形OABC的对称中心即是对角线的中点；
(2)S△PQC=S▱ABCD−S△OPC−S△APQ−S△BCQ=12S▱ABCD，根据三角形的面积公式列出方程，继而求出此时的t值即可；
(3)根据(2)中得出的t值，找出此时点P和Q的位置，然后根据平行四边形的性质直接写出点M的坐标即可．
本题考查平行四边形的性质及一元二次方程的应用，解题关键是第二问，根据S△PQC=S▱ABCD−S△OPC−S△APQ−S△BCQ=12S▱ABCD准确列出方程式，求出满足题意的t值，有一定的难度，同时要注意细心运算．