福建省莆田市2023-2024学年高二下学期期末质量监测数学试卷（解析版）

这是一份福建省莆田市2023-2024学年高二下学期期末质量监测数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了 斜三棱柱中，设，，，若，则， 函数，的图象大致为， 在三棱锥中，，，两两垂直，且等内容，欢迎下载使用。
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 某质点的运动方程是，则该质点在时的瞬时速度是（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 12
【答案】D
【解析】，当时，，
故质点在时的瞬时速度为12.
故选：D.
2. 已知某次考试的成绩，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由正态分布对称性可知，.
故选：A.
3 已知向量，，若，，三点共线，则（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】B
【解析】因为，，三点共线，则，又向量，，
所以，解得，
故选：B.
4. 随机变量服从两点分布，其分布列如下
则（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】C
【解析】由题知，，解得或，又，所以，故选：C.
5. 斜三棱柱中，设，，，若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为
.
故选：A.
6. 函数，的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为，关于原点对称，又，
即为偶函数，
当时，，，
令，则为增函数，因为，，
，使，即有，
当时，，时，，
即，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，
又，，，
，当时，，时，，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，且，结合图象，选项A符合题意，选项BCD不符合题意，
故选：A.
7. ，，且，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，不等式在区间上恒成立，
即，也即在区间上恒成立，
整理得到在区间上恒成立，
令，所以在区间上单调递增，
又，令，得到，
当，，即在区间的单调递增，
所以，得到，
故选：B.
8. 在三棱锥中，，，两两垂直，且.若为该三棱锥外接球上的一点，则的最大值为（ ）
A. 2B. 4C. D.
【答案】C
【解析】如图，将三棱锥放置在正方体中，三棱锥的外接球就是正方体的外接球，球心为正方体对角线的交点，

，，，，，，
设三棱锥外接球的半径为，，则，
，
，
，，，
，，
，
所以，
当时，取得最大值.
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 对于变量和变量，设经过随机抽样获得的成对样本数据为，，…，，其中，，…，和，，…，的均值分别为和，方差分别为和.（ ）
A. 该样本相关系数越接近0时，其线性相关程度越弱
B. 假设一组数据是，，…，，则该组数据的方差为
C. 该成对样本数据点均在直线上，则样本相关系数
D. 该成对样本数据满足一元线性回归方程，则其回归直线必过样本中心
【答案】ABD
【解析】对于选项A，由样本相关系数的意义可知，样本相关系数越接近0时，其线性相关程度越弱，所以选项A正确，
对于选项B，因为，，…，的平均数为，
方差为
，
所以选项B正确，
对于选项C，该成对样本数据点均在直线上，则样本相关系数，所以选项C错误，
对于选项D，由最小二乘法知，样本中心在线性回归方程上，所以选项D正确，
故选：ABD.
10. 甲箱中有4个红球，3个白球和2个黑球，乙箱中有3个红球，2个白球和4个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出一球.用，，分别表示从甲箱取出的球是红球，白球，黑球；用表示从乙箱取出的球是红球.则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. 和相互独立
【答案】AB
【解析】由题知，
，
对于A，因为，所以A正确，
对于B，因为
，
所以B正确，
对于C，，所以C错误，
对于D，，
，所以D错误，
故选：AB.
11. 是棱长为2的正方体表面上一点，则（ ）
A. 当在线段上运动时，三棱锥的体积为定值
B. 当在线段上运动时，与所成角的取值范围是
C. 设是的中点，若，则线段长度的最大值为
D. 若直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为
【答案】BCD
【解析】对于选项A，如图1，连接，因为，易知平面即平面，
过作于，因为面，面，
所以，又，面，所以面，
又的面积为定值，而随着的变化而变化，所以三棱锥的体积不为定值，所以选项A错误，
对于选项B，如图2，建立空间直角坐标系，因为正方形的棱长为2，
则，
设，，
又，，
设与所成的角为，
则，
当时，，此时，
当时，令，，
又，得到，所以，得到，
故，所以选项B正确，
对于选项C，如图3，取的中点，
连接，
易知，所以与确定唯一平面，
由正方体性质知与相交，所以，
连接，易知，又，，面，
所以面，又面，所以，同理可得，
又，所以面，
因为，所以，故面，又是正方体表面上一点，故在正六边形的边上运动，
由对称性知，当与重合时，线段长度最大，最大值为，所以选项C正确，
对于选项D，因为直线与平面所成的角为，
若点在平面内，如图4，过，连接，
则为直线与平面所成的角，
由题知，则，显然只有与重合符合题意，
同理可知若点在平面内，与重合符合题意，
又因为面，得直线与所成角为，
若点在平面内时，点的轨迹是，此时轨迹长为，
若点在平面内时，点的轨迹是，此时轨迹长为，
若点在平面时，作面，连接，如图4所示，
因为，所以，又，所以，
得到点的轨迹是以为圆心，以为半径的四分之一的圆，此时轨迹长为，
所以点的轨迹长度为，故选项D正确，
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，.在检验喜欢某种甜品与性别是否有关的过程中,某研究员搜集数据并计算得到,则我们至少有______把握认为喜欢某种甜品与性别有关.
【答案】
【解析】因为，又，，
所以我们至少有把握认为喜欢某种甜品与性别有关，
故答案为：.
13. 已知，，三点，则到直线的距离为______.
【答案】
【解析】因为，，所以，
得到，
所以到直线的距离为，
故答案为：.
14. 已知和为上的可导函数，满足：，，且为奇函数.写出函数图象的一个对称中心，可以为______.若，则______.
【答案】（，答案不唯一）；11
【解析】由，求导得，又，
则，即，
所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，即为函数图象的一个对称中心，
由为奇函数，得，求导得，
即，函数的图象关于直线对称，
则点是图象的一个对称中心，
显然有，即，
于是，函数是以4为周期的周期函数，
所以函数的图象关于点对称；
由，得，即有（为常数），
而，则，取，得，
因此，又，则，
即，，于是函数是周期为4的周期函数，
又，则函数的图象可由的图象平移而得，
从而函数是周期为4的周期函数，，
显然，
因此，
，则，
又，则，
所以.
故答案为：；11.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤：
15. 已知函数，.
（1）若，求在上的值域；
（2）讨论的单调性.
解：（1）当时，，
又在区间恒成立，当且仅当时取等号，
所以在区间上单调递增，
得到在上的最小值为，最大值为，
所以在上的值域为.
（2）易知定义域为，
因为，
当时，时，，时，，
当时，时，，时，，
当时，在区间上恒成立，当且仅当时取等号，
当时，时，，时，，
综上所述，当时，的减区间为，增区间为；
当时，的减区间为，增区间为；
当时，的增区间为，无减区间；
当时，的减区间为，增区间为.
16. 人均可支配收入的高低，直接影响到居民的生活质量水平，是衡量一个国家或地区经济发展状况的重要依据.下图是某市2015~2023年城镇居民人均可支配收入（单位：万元）的折线图，发现城镇居民人均可支配收入与年份具有线性相关关系.

（注：年份代码1~9分别对应年份2015~2023）
（1）建立关于的经验回归方程（系数精确到0.01），并预测2024年该市城镇居民人均可支配收入；
（2）为进一步对该市城镇居民人均可支配收入结构进行分析，某分析员从2015~2023年中任取两年的数据进行分析，将选出的人均可支配收入超过4.5万元的年份数记为，求随机变量的分布列与数学期望.
附注：参考数据：，.参考公式：回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.
解：（1）依题意，，，
而，，
则，
，
所以关于的经验回归方程为，
2024年即，，
所以预测2024年该市城镇居民人均可支配收入约为万元.
（2）2015~2023年中，人均可支配收入超过4.5万元的年份数有3个，的可能取值为，
，
，
，
所以随机变量的分布列为：
数学期望.
17. 如图，在四棱锥中，，，，，，为等边三角形.
（1）若为的中点，求证：平面；
（2）求二面角的正弦值.
【答案】（1）证明：取中点，连接，
因为为的中点，所以且，又且，
所以且，所以是平行四边形，
得到，又面，面，所以平面.
（2）解：过作于，因为，，，，
所以，又为等边三角形，所以，
又，所以，得到，
又，，面，
所以面，
又面，所以面面，
取中点，连接，则，又面面，面面，面，所以面，
过作，以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由，，
知，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
由，得到，取，得到，所以，
设平面的一个法向量为，
由，得到，取，得到，所以，
设二面角的平面角为，，
因为，
所以.
18. 甲、乙两人为了提升篮球的竞技水平，进行投篮比赛.已知甲和乙每次进球的概率分别是和，且每人每次进球与否互不影响.制定比赛规则如下：一轮比赛，甲、乙双方需各投篮3次.一轮比赛结束后，当一方的进球数比另一方的进球数至少多2个时，则该方获胜并得1分，另一方不得分.其他情况，双方均不得分.
（1）若，
（i）假设甲、乙两人各投篮一次，求至少有一人进球的概率；
（ii）求在一轮比赛结束后，乙获得1分的概率.
（2）若，问至少进行多少轮比赛后，乙累计得分的期望值达到3分？
解：（1）（i）因为甲和乙每次进球的概率分别是和，
所以甲、乙两人各投篮一次，至少有一人进球的概率为.
（ii）由题知甲进球个，乙进球个或个，或甲进球个，乙进球个，乙获得1分，
记事件：甲进球个，乙进球个或个，事件：甲进球个，乙进球个，事件表示乙获得1分，
则，，
易知互斥，所以.
（2）因为一轮比赛结束后，乙获得1分的概率为，
设轮比赛后，乙累计得分为，则，
由题知，又，函数在上单调递增，
所以，
由，得到，所以至少进行轮比赛后，乙累计得分的期望值达到3分，此时.
19. 设是直角坐标平面上的一点，曲线是函数的图象.若过点恰能作曲线的条切线，则称是函数的“度点”.已知.
（1）求证：；
（2）设，判断为函数的“几度点”，并说明理由；
（3）设，若为函数的“3度点”，求实数的取值范围.
【答案】解：（1）令函数，求导得，
当时，，当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，，
所以.
（2）设过点的直线与函数图象相切的切点，而，
因此该切线方程为，即有，
整理得，令，
函数有个零点，等价于过点恰能作图象的条切线，即是的“度点”，
求导得，当时，，当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，，
①当时，，此时函数仅有一个零点，是的“1度点”；
②当时，，
当时，，则，
当时，，即是函数在的唯一零点，
因此函数仅有一个零点，是的“1度点”；
③当时，，
由，得，则，，
取，则
，于是，使得，
即函数在上有唯一零点，又是函数在上的唯一零点，
因此函数有两个零点，是“2度点”；
④当时，，
取，则，
于是，使得，
即函数在上有唯一零点，
显然是函数在上的唯一零点，
因此函数有两个零点，是的“2度点”，
所以当或时，是的“1度点”；
当或时，是的“2度点”.
（3）设过的直线与曲线相切的切点为，
而，
因此该切线方程为，
即有，整理得，
由为函数的“3度点”，得方程有3个不同的解，
令，
求导得，当或时，，
当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
函数在处取得极大值，在处取得极小值，
而当时，恒有，，
因此当且仅当，即时，直线与曲线有3个不同交点，
即方程有3个不同的解，则过点的切线条数为3，
所以实数的取值范围是.
0
1
2