2022-2023学年福建省莆田市高二下学期期末质量监测数学试题（含解析）

这是一份2022-2023学年福建省莆田市高二下学期期末质量监测数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.从3名男生，2名女生中任选2人，则选到2名女生的概率为
( )
A. 110B. 310C. 35D. 910
2.函数y= x的导函数是
( )
A. y′= x2B. y′=12 xC. y′=1 xD. y′=x−2
3.若直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n，则可能使l/​/α的是
( )
A. m=3,−1,0，n=−1,0,2B. m=−2,1,4，n=2,0,1
C. m=2,9,7，n=−2,0,−1D. m=1,−2,3，n=0,3,1
4.甲每次投篮命中的概率为14，且每次投篮相互独立，则在16次连续投篮中甲命中的次数的方差是
( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
5.若点P∈平面ABC，且对空间内任意一点O满足OP=14OA+λOB+18OC，则λ的值是
( )
A. −58B. −38C. 38D. 58
6.如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，其中AB=2，AD=4，AA1=3，且∠A1AD=∠A1AB=60∘，则线段AC1的长为
( )
A. 9B. 29C. 47D. 4 3
7.某同学利用电脑软件将函数fx= −x2+2x，gx=−3 1− x2的图象画在同一直角坐标系中，得到如图的“心形线”.观察图形，当x>0时，gx的导函数g′x的图象大致为
( )
A. B. C. D.
8.设a=1e，b=−12ln12，c=44−ln4e4，则
( )
A. b二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某学习小组收集了7组样本数据(如下表所示)：
他们绘制了散点图并计算样本相关系数r=i=1nxi−xyi−y i=1nxi−x2⋅i=1nyi−y2，发现y与x有比较强的线性相关关系.若y关于x的经验回归方程为y=bx+0.2，则
( )
A. y与x呈正相关关系
B. b=0.325
C. 当x=10时，y的预测值为3.3
D. 去掉样本点4,1.5后，样本相关系数r不变
10.甲、乙两个罐子均装有2个红球，1个白球和1个黑球，除颜色外，各个球完全相同.先从甲罐中随机取出2个球放入乙罐中，再从乙罐中随机取出1个球，记事件Aii=0,1,2表示从甲罐中取出的2个球中含有i个红球，B表示从乙罐中取出的球是红球，则
( )
A. A0，A1，A2两两互斥B. PBA2=13
C. PB=12D. B与A1不相互独立
11.函数fx=2sinx−mxx∈−π,π在x=π3处取得极大值，则
( )
A. m=1B. fx只有两个不同的零点
C. fπ12.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案(如图1).把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则
( )
A. QC=AD+2AB+2AA1
B. 若M为线段CQ上的一个动点，则BM⋅BD的最大值为2
C. 点P到直线CQ的距离是 173
D. 异面直线CQ与AD1所成角的正切值为 17
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知a=2,−6,y，b=−3,x,−6，且a/​/b，则x+y= ．
14.若某工厂制造的机械零件尺寸X服从正态分布N4,14，则零件尺寸介于3.5和5之间的概率约为 ．(若X∼Nμ,σ2，则P(|X−μ|⩽σ)≈0.6827，P(|X−μ|⩽2σ)≈0.9545，P(|X−μ|⩽3σ)≈0.9973)
15.现从甲、乙、丙3人中选派一人参加“垃圾分类”知识竞答，他们商议通过玩“石头、剪刀、布”游戏解决：如果其中两人手势相同，另一人不同，则选派手势不同的人参加；否则重新进行一局“石头、剪刀、布”游戏，直到确定人选为止.在每局游戏中，甲、乙、丙各自出3种手势是等可能的，且各局游戏是相互独立的，则直到第三局游戏才最终确定选派人员的概率为 ．
16.已知函数fx=aexa∈R，若直线y=x是曲线y=f2x的 切线，则a= ；若直线y=x与曲线y=fx交于Ax1,y1，Bx2,y2两点，且x1y1≥9x2y2，则a的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知函数fx=2x3+3ax2a∈R．
(1)当a=1时，求fx的极值；
(2)若fx在0,2上单调递减，求a的取值范围．
18.(本小题12分)
如图，在边长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为AB，A1C的中点．

(1)求点C1到平面DEF的距离；
(2)求二面角C−DF−E的大小．
19.(本小题12分)
甲、乙两位好友进行乒乓球友谊赛，比赛采用2k+1局k+1胜制(k∈N*)，若每局比赛甲获胜的概率为13，且每局比赛的结果是相互独立的．
(1)比赛采用5局3胜制，在甲在第一局落败的条件下，求甲反败为胜的概率；
(2)比赛采用3局2胜制，比赛结束时，求甲获胜的局数X的分布列及数学期望．
20.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，AB/​/CD，AB⊥AD，CD=AD=12AB=2 2，E为AB的中点，▵PAD与▵PCD均为等边三角形，AC与DE相交于O点.

(1)证明：PO⊥平面ABCD；
(2)求直线PE与平面PBC所成的角的正弦值．
21.(本小题12分)
为了考查一种新疫苗预防某一疾病的效果，研究人员对一地区某种动物进行试验，从该试验群中随机抽查了50只，得到如下的样本数据(单位：只)：
(1)能否有95%的把握认为接种该疫苗与预防该疾病有关？
(2)从该地区此动物群中任取一只，记A表示此动物发病，A表示此动物没发病，B表示此动物接种疫苗，定义事件A的优势R1=PA1−PA，在事件B发生的条件下A的优势R2=PAB1−PAB．
(ⅰ)证明：R2R1=PBAPBA；
(ⅱ)利用抽样的样本数据，给出PBA，PBA的估计值，并给出R2R1的估计值.附：χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d．
22.(本小题12分)
已知函数fx=ax−2−lnx，其中a∈R．
(1)讨论fx的单调性；
(2)若fx有两个零点x1，x2，且x2≥3x1，求x1x2的最小值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查古典概型及其计算，属于基础题．
首先为男生，女生编号，再结合样本空间，和古典概型概率公式，即可求解．
【解答】
解：设3名男生的编号为 a1,a2,a3 ，2名女生的编号为 b1,b2 ，
任取2人的样本空间包含 a1,a2,a1,a3,a1,b1,a1,b2,a2,a3,a2,b1,a2,b2, a3,b1,a3,b2,b1,b2, 共10个样本点，
其中选到2名女生为 b1,b2, 共1个样本点，
所以选到2名女生的概率 P=110 ．
故选：A．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查基本初等函数的导数公式，
利用幂函数的导数公式，即可求解．
【解答】
解： y′= x′=x12′=12x−12=12 x ．
故选：B
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查线面平行时，方向向量与法向量的关系——垂直，属于基础题．
根据线面的位置关系，可知 m⋅n=0 ，结合选项，即可判断．
【解答】
解：要使 l/​/α ，则 m⋅n=0 ，
A. m⋅n=−3≠0 ，B. m⋅n=−4+4=0 ，C. m⋅n=−11≠0 ，D. m⋅n=−3≠0 ．
故选：B
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查二项分布，属于基础题．
根据题意，命中的次数随机变量 X∼B(16,14) ，由二项分布方差公式求解．
【解答】
解：根据题意，命中的次数随机变量 X∼B(16,14) ，
由二项分布方差公式得， D(X)=16×14(1−14)=3 ．
故选：C
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查向量表示四点共面具有的性质，属于一般题．
根据条件得出 P ， A ， B ， C 四点共面，再根据 OP=14OA+λOB+18OC 即可求出 λ 的值．
【解答】
解： ∵P∈ 平面 ABC ，
∴P ， A ， B ， C 四点共面，
又 OP=14OA+λOB+18OC ，
∴ 14+18+λ=1 ，解得 λ=58 ．
故选：D．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查空间向量数量积运算，属于中档题．
由 AC1=AC+CC1 ，两边平方，利用勾股定理以及数量积的定义求出 AC2,2AC⋅CC1,CC12 的值，进而可得答案
【解答】
解：由 AC1=AC+CC1 ，
AC12=AC12=(AC+CC1)2=AC2+2AC⋅CC1+CC12 ．
因为底面 ABCD 是矩形， AB=2 ， AD=4 ， AA1=3 ，
所以 AC2=AC2=4+16=20 ， CC12=9 ，
因为 ∠A1AB=∠A1AD=60∘ ，
所以 AB⋅CC1=2×3×cs60∘=3,BC⋅CC1=4×3×cs60∘=6，
所以 2AC⋅CC1=2(AB+BC)⋅CC1=2(AB⋅CC1+BC⋅CC1)=18 ，
AC12=20+18+9=47,AC1= 47，
故选：C．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查函数与其导函数的关系，属于基础题。
首先确定函数 gx 的图象，再结合导数于函数图象间的关系，即可判断选项．
【解答】
解： fx= −x2+2x≥0 ， gx=−3 1− x2≤0 ，
所以 x 轴下方的图象为函数 gx 的图象，
当 x>0 时，函数 gx 单调递增，所以 g′x>0 ，故排除CD；
根据导数的几何意义可知， x>0 时，函数 gx 图象上每点处的切线斜率应先变小，再增大，故排除B，只有A正确．
故选：A
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查比较大小，解题的关键是对 a,b,c 变形，使形式相同，然后构造函数，判断函数的单调性，再利用单调性比较大小，考查数学转化思想和计算能力，属于难题．
由于 a=1e=lnee ， b=−12ln12=ln22=ln44 ， c=44−ln4e4=lne44e44 ，所以构造函数 fx=lnxx(x>0) ，然后利用导数判断函数的单调性，再利用函数单调性可比较大小。
【解答】
解： a=1e=lnee ， b=−12ln12=ln22=ln44 ， c=44−ln4e4=lne44e44 ，
令 fx=lnxx(x>0) ，则 a=f(e),b=f(4),c=fe44 ，
由 fx=lnxx(x>0) ，得 f′x=1−lnxx2(x>0) ，
当 00 ，当 x>e 时， f′x<0 ，
所以 fx 在 0,e 上递增，在 e,+∞ 上递减，
因为 e<4f4>fe44 ，
所以 a>b>c ，
故选：D
9.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查回归方程的求解以及相应的性质，属于一般题．
首先求x,y，根据样本中心求回归直线方程，即可判断选项．
【解答】
解：由数据可知，x=1+2+3+4+5+6+77=4，y=0.5+1.2+0.8+1.5+1.7+2.3+2.57=1.5，样本点中心x,y必在回归直线上，
所以1.5=4b+0.2，得b=0.325>0，故 AB正确；
y=0.325x+0.2，当x=10时，y=3.45，故 C错误；
因为4,1.5是样本点中心，xi−x=yi−y=0，所以去掉这一项，样本相关系数r不变，故 D正确．
故选：ABD
10.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查条件和全概率以及互斥，独立事件等定义，属于中档题．
结合互斥，相互独立事件的定义，以及全概率公式，条件概率公式，即可判断选项．
【解答】
解：A．A0表示从甲罐中取出的2个球，没有红球，A1表示从甲罐中取出的2个球，有1个红球，A2表示从甲罐中取出的2个球，有2个红球，在一次实验中，这三个事件，任两个事件不能同时发生，所以两两互斥，故A正确；
B.PBA2=PA2BPA2=C22C42×C41C61C22C42=23，故 B错误；
C.PB=PBA0×PA0+PBA1×PA1+PBA2×PA2
=C21C61×C22C42+C31C61×C21C21C42+C41C61×C22C42=12，故 C正确；
D.PA1=C21C21C42=23，PB=12，PA1B=C21C21C31C42C61=13，
则PA1B=PA1PB，则B与A1相互独立，故 D错误．
故选：AC
11.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查利用导数求函数的最值(不含参)，利用导数根据极值或极值点求参，利用导数研究函数的零点(或方程的根)，
首先根据极值点求函数的解析式，再利用导数判断函数的单调性，结合函数的单调性，极值和端点值，即可判断选项．
【解答】
解：f′x=2csx−m，x∈−π,π，
由条件可知，f′π3=1−m=0，得m=1，
当m=1时，f′x=2csx−1=0，得x=−π3或x=π3，
由表格数据单调性可知，x∈−π,−π3单调递减，且f−π⋅f−π3<0，所以函数在区间−π,−π3有1个零点，同理，函数在区间−π3,π3和π3,π也各有1个零点，所以函数有3个不同的零点，故A正确，B错误；
fπ=−π，fπ2=2−π2，fπ6=1−π6，fπf0=0，再结合表格数据可知，函数在区间−π,0上的值域为− 3+π3,π，故 D错误．
故选：AC
12.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查空间向量的线性运算、直线与直线所成角的向量求法、空间向量运算的坐标表示、点线距离的向量求法，属于较难题．
根据空间向量线性运算法则判断A，以A1为坐标原点，A1F所在直线为x轴，A1B1所在直线为y轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算B、C、D．
【解答】
解：因为CQ=CB+BQ=−AD+2BA1=−AD+2AA1−AB=−2AB−AD+2AA1，
所以QC=−CQ=−−2AB−AD+2AA1=AD+2AB−2AA1，故 A错误；
如图，以A1为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则B0,1,−1，D1−1,0,0，D−1,0,−1，Q0,−1,1，C−1,1,−1，A0,0,−1，P1,−1,0，
所以BD=−1,−1,0，CQ=1,−2,2，AD1=−1,0,1，CP=2,−2,1，BC=(−1,0,0)，
对于B：因为M为线段CQ上的一个动点，设CM=λCQ，λ∈0,1，
则BM=BC+CM=−1,0,0+λ1,−2,2=λ−1,−2λ,2λ，
所以BM⋅BD=−λ−1+2λ=λ+1，所以当λ=1时，BM⋅BDmax=2，故 B正确；
对于C：CP= 22+−22+12=3，所以CP⋅CQCQ=1×2+−2×−2+2×1 22+−22+12=83，
所以点P到直线CQ的距离d= CP2−CP⋅CQCQ2= 173，故 C正确；
对于D：因为csCQ,AD1=CQ⋅AD1CQ⋅AD1=13 2= 26，
所以sinCQ,AD1= 1− 262= 346，
所以tanCQ,AD1= 17，即异面直线CQ与AD1所成角的正切值为 17，故 D正确；
故选：BCD
13.【答案】13
【解析】【分析】
本题考查空间向量平行(共线)的坐标表示，
利用向量共线定理列方程求得 x=9y=4 ，从而可得答案．
【解答】
解：因为 a=2,−6,y ， b=−3,x,−6 ，且 a/​/b ，
∴b=λa(a≠0) ， ∴b=(−3,x,−6)=λa=λ(2,−6,y)=(2λ,−6λ,λy) ，
则 −3=2λx=−6λ−6=λy ，解得： λ=−32x=9y=4 ，
∴x+y=9+4=13 ．
故答案为： 13
14.【答案】0.8186
【解析】【分析】
本题考查正态分布的概率，属于中档题．
由题意可得 P3.5≤X≤5=Pμ−σ≤X≤μ+2σ =PX−μ≤2σ−PX−μ≤σ2+PX−μ≤σ ，然后代值计算即可．
【解答】
解：因为 X 服从正态分布 N4,14 ，所以 μ=4,σ=12=0.5 ，
所以 3.5=4−0.5=μ−σ,5=4+2×0.5=μ+2σ ，
所以 P3.5≤X≤5=Pμ−σ≤X≤μ+2σ
=PX−μ≤2σ−PX−μ≤σ2+PX−μ≤σ
≈0.9545−0.68272+0.6827=0.8186 ，
故答案为： 0.8186
15.【答案】227
【解析】【分析】
本题考查组合与组合数公式、相互独立事件的概率乘法公式，属于中档题．
根据题意，先求出进行一局游戏，成功确定和没有确定参加活动人选的概率，然后根据各局游戏是相互独立，即可得到结果．
【解答】
解：设事件 A 表示“进行一局游戏，成功确定参加活动人选”，
则 PA=C32⋅C31⋅C2133=23 ，
则进行一局游戏，没有确定参加活动人选的概率为 1−23=13 ，
且各局游戏是相互独立的，
则直到第三局游戏才最终确定选派人员的概率为 132×23=227 ．
故答案为： 227．
16.【答案】12e；0, 3ln36
【解析】【分析】
本题考查了导数的综合运用，求某点处的切线方程较为简单，利用导数求单调性．
对函数 f(x) 求导，设出切点，由导数的几何意义可得 g′x0=2ae2x0=1gx0=ae2x0=x0 ，由此可得 a 的值；依题意，直线 y=a 与曲线 g(x)=xex 有两个交点，利用导数研究函数 g(x) 的性质，可知 0【解答】
解：记 gx=f2x=ae2x ， g′x=2ae2x ，
设切线 y=x 与曲线 y=gx 相切于点 (x0 ， x0) ，
则 g′x0=2ae2x0=1gx0=ae2x0=x0 ，解得 x0=12a=12e ，即实数 a 的值为 12e ；
令 aex=x ，则 a=xex ，依题意，直线 y=a 与曲线 h(x)=xex 有两个交点，
又 h′(x)=1−xex ，
令 h′x>0 ，解得 x<1 ，令 h′x<0 ，解得 x>1 ，
则函数 h(x) 在 (−∞,1) 上单调递增，在 (1,+∞) 上单调递减，且 h(1)=1e ，当 x>0 时， h(x)>0 ，当 x<0 时， h(x<0 ，
作出函数 h(x) 的大致图象如图所示，

由图象可知：要使直线 y=a 与曲线 h(x)=xex 有两个交点，则 0又 x1y1≥9x2y2 ，则 x12≥9x22 ，则 x1x2≥3 ，
令 t=x1x2≥3 ，则 x1=tx2 ，
又 aex1=x1aex2=x2 ，则 aetx2=tx2aex2=x2 ，
于是 etx2−x2=t ，则 x2=lntt−1 ，故 a=lntt−1elntt−1 ，
设 m=lntt−1(t≥3) ，则 a=mem ，
又 m′(t)=1t(t−1)−lnt(t−1)2=1−1t−lnt(t−1)2 ，设 φ(t)=1−1t−lnt(t≥3) ，
则 φ′(t)=1t2−1t=1−tt2<0 ，
故 φ(t) 在 [3 ， +∞) 上单调递减，则 φ(t)≤φ(3)=1−13−ln3=23−ln3<0 ，
故 m′(t)<0 在 [3 ， +∞) 上恒成立，则 m(t) 在 [3 ， +∞) 上单调递减，
于是 0又函数 h(x)=xex 在 (0,1) 上单调递增，则当 0故答案为： 12e ； 0, 3ln36 ．
17.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=2x3+3x2，
所以f′(x)=6x2+6x=6x(x+1)=0，得x=0或x=−1，
当f′(x)>0时，解得：x<−1或x>0，当f′(x)<0时，解得：−1所以函数的单调递增区间是(−∞,−1)和(0,+∞)，单调递减区间是(−1,0)，
当x变换时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示，
所以函数的的极大值为f(−1)=−2+3=1，极小值为f(0)=0；
(2)f(x)=2x3+3ax2，a∈R，f′(x)=6x2+6ax，
因为f(x)在(0,2]上单调递减，
可得f′(x)=6x2+6ax≤0在x∈(0,2]上恒成立，
即a≤−x在x∈(0,2]上恒成立，
当x∈(0,2]时，−x∈[−2,0)，
所以a≤−2，即a的取值范围是(−∞,−2]．
【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，考查了转化思想，属中档题．
(1)首先求函数的导数，利用导数判断函数的单调性，即可求函数的极值；
(2)利用导数，将不等式恒成立，转化为a≤−x在x∈(0,2]上恒成立，即可求解．
18.【答案】解：(1)如图，以点 D 为原点，建立空间直角坐标系，

C10,2,2 ， D0,0,0 ， E2,1,0 ， C0,2,0 ， F1,1,1 ，
DE=2,1,0 ， DF=1,1,1 ， DC1=0,2,2
设平面 DEF 的 法向量为 m=(x,y,z) ，
则 {DE→⊥m→DF→⊥m→ ，即 2x+y=0x+y+z=0 ，令 x=1 ，则 y=−2,z=1 ，
所以平面 DEF 的法向量为 m=1,−2,1 ，
所以点 C1 到平面 DEF 的距离 d=|DC1⋅m|m||=|−2 6|= 63 ；
(2)因为 AD1⊥A1D ，
DC⊥ 平面 ADD1A1 ， AD1⊂ 平面 ADD1A1 ，
所以 DC⊥AD1 ，且 A1D∩DC=D ， A1D,DC⊂ 平面 A1DC ，
所以 AD1⊥ 平面 A1DC ，即 AD1⊥ 平面 DCF ，
A2,0,0 ， D10,0,2 ， AD1=−2,0,2 ，
cs ⟨m,AD1⟩=m⋅AD1|m||AD1|=0 ，
所以二面角 C−DF−E 的 大小为 π2．

【解析】本题考查向量形式下，点到直线的求解，以及利用垂直求二面角，属于综合题。
(1)首先，建立空间直角坐标系，求平面 DEF 的法向量，利用点到平面的距离公式，即可求解；
(2)利用垂直关系证明 AD1⊥ 平面 DCF ，利用法向量求二面角的大小．
19.【答案】解：(1)记 A= “甲在第一局落败”， B= “甲反败为胜”，
甲最终获胜有两种可能的比分 3:1 或 3:2 ，且每局比赛结果是相互独立的．
①若比分是 3:1 ，则甲接下来连胜3局，其概率为 133=127 ；
②若比分是 3:2 ，则第2，3，4局比赛中甲胜2局输1局且第5局甲获胜，
其概率为 C32×132×23×13=227 ，所以 PBA=127+227=19 ．
(2)X 的所有可能取值为 0,1,2 ，
PX=0=232=49 ，
PX=1=C21×13×23×23=827 ，
PX=2=132+C21×13×23×13=727 ，
所以 X 的分布列为
则 EX=0×49+1×827+2×727=2227 ．

【解析】本题考查条件概率的概念与计算、离散型随机变量的均值和分布列，属于中档题．
(1)根据题意，分别求出比分 3:1 或 3:2 的概率，即可得到结果；
(2)由题意可知， X 的所有可能取值为 0,1,2 ，然后分别求出其对应的概率，即可得到结果．
20.【答案】解：(1)取 AD 的中点 M ，连接AM,OM ， EC ，

因为 ▵PAD 是等边三角形，所以 PM⊥AD ，
因为 AB⊥AD ， AD=DC ， E 为 AB 的中点，
所以四边形 ADCE 是正方形，所以 AO=OD ，则 OM⊥AD ，
且 PM∩OM=M ， PM,OM⊂ 平面 POM ，
所以 AD⊥ 平面 POM ， PO⊂ 平面 POM ，
所以 AD⊥PO ，
又因为 ▵PAD 与 ▵PCD 均为等边三角形，所以 PA=PC ，
所以 PO⊥AC ，且 AC∩AD=A ， AC,AD⊂ 平面 ABCD ，
所以 PO⊥ 平面 ABCD
(2)四边形 ADCE 是正方形，所以 OC⊥OD ，
以点 O 为原点，以 OD,OC,OP 为 x,y,z 轴，建立空间直角坐标系，
PM=2 2× 32= 6 ， OM= 2 ， PO= PM2−OM2=2 ，
P0,0,2 ， E−2,0,0 ， C0,2,0 ， B−4,2,0 ，
PB=−4,2,−2 ， PC=0,2,−2 ， PE=−2,0,−2
设平面 PBC 的法向量为 n=x,y,z ，
则 PB⊥nPC⊥n ，即 −4x+2y−2z=02y−2z=0 ，得 x=0
令 y=z=1 ，所以平面 PBC 的法向量 n=0,1,1 ，
设直线 PE 与平面 PBC 的夹角为 θ ，
所以 sinθ=csPE,n=PE⋅nPEn=−22 2× 2=12 ，
所以直线 PE 与平面 PBC 的夹角的正弦值 12．

【解析】本题考查线面垂直的判定以及线面夹角的计算，属于中档题．
(1)要证明线面垂直，可证明 PO 垂直于平面内的两条相交直线，利用垂直关系，构造辅助线，即可证明；
(2)根据(1)的结果，建立空间直角坐标系，求平面 PBC 的法向量，利用向量夹角公式求线面角的正弦值．
21.【答案】解：(1)根据联表可得 χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d=50×17×16−72225×25×24×26≈5.128>3.841 ，
所以有95%的把握认为接种该疫苗与预防该疾病有关．
(2)(ⅰ)由于 1−PAB=1−P(AB)P(B)=P(B)−P(AB)P(B)=P(AB)P(B)=PAB ，
所以 R2=PAB1−PAB=PABPAB ， R1=PA1−PA=PAPA ，
故 R2R1=PABPABPAPA=PABP(B)P(B)PABPAPA=PABPAPAPAB=PBAPBA ，故得证．
(ⅱ)由二联表中的数据可得 PBA=825 ， PBA=1625 ，
所以 R2R1=PBAPBA=12 ．

【解析】本题考查独立性检验，考查条件概率的概念与计算，属于较难题．
(1)根据χ2的计算即可与临界值比较求解，
(2)根据条件概率的计算公式，即可结合 R1,R2 的定义进行求证，进而求解．
22.【答案】解：(1)fx=ax−2−lnx 定义域为 0,+∞ ，
且 f′x=a−1x=ax−1x ，
当 a≤0 时， f′x<0 恒成立，所以 fx 在 0,+∞ 上单调递减；
当 a>0 时，令 f′x=0 得 x=1a ，
当 x∈0,1a 时， f′x<0 ；当 x∈1a,+∞ 时， f′x>0 ，
所以 fx 在 0,1a 上单调递减，在 1a,+∞ 上单调递增．
综上可得：当 a≤0 时 fx 在 0,+∞ 上单调递减；
当 a>0 时 fx 在 0,1a 上单调递减，在 1a,+∞ 上单调递增．
(2)因为 fx1=fx2=0 ，所以 ax1−2−lnx1=0ax2−2−lnx2=0 ，
所以 ax1−x2=lnx1−lnx2 ， ax1+x2=lnx1+lnx2+4 ，
所以 a=lnx1−lnx2x1−x2=lnx1+lnx2+4x1+x2 ，
所以 lnx1x2+4=x1+x2x1−x2lnx1x2=x1x2+1x1x2−1lnx1x2 ，
令 x1x2=t ，因为 x2≥3x1 ，所以 x1x2≤13 ，即 0所以 lnx1x2+4=t+1t−1lnt ， t∈0,13 ，
令 gt=t+1t−1lnt ， t∈0,13 ，
则 g′t=lnt+t+1tt−1−t+1lntt−12=t−1t−2lntt−12 ，
令 ht=t−1t−2lnt ， t∈0,1 ，
则 h′t=1+1t2−2t=t−12t2>0 ，
所以 ht 在 0,1 上单调递增，又 h1=0 ，所以 ht<0 ，
即 g′t<0 ，所以 gt 在 0,13 上单调递减，
所以 gt≥g13=2ln3 ，
所以 lnx1x2+4≥2ln3 ，即 x1x2≥e2ln3−4 ，即 x1x2≥9e4 ，
当且仅当 x2=3x1x1x2=9e4 ，即 3x1=x2=3 3e2 时等号成立，
所以 x1x2 的最小值为 9e4 ．

【解析】本题考查利用导函数判断函数的单调性以及利用函数零点等已知求解最值，属于综合题．
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
(1)求出函数的导函数，再分 a≤0 、 a>0 两种情况讨论，分别求出函数的单调性；
(2)依题意可得 ax1−2−lnx1=0ax2−2−lnx2=0 ，即可得到 a=lnx1−lnx2x1−x2=lnx1+lnx2+4x1+x2 ，从而得到 lnx1x2+4=x1x2+1x1x2−1lnx1x2 ，令 x1x2=t ， t∈0,13 ，令 gt=t+1t−1lnt ， t∈0,13 ，利用导数求出 gt 的最小值，即可求出 x1x2 的最小值．
x
1
2
3
4
5
6
7
y
0.5
1.2
0.8
1.5
1.7
2.3
2.5
发病
没发病
合计
接种疫苗
8
16
24
没接种疫苗
17
9
26
合计
25
25
50
Pχ2≥x0
0.050
0.010
0.001
x0
3.841
6.635
10.828
x
−π
−π,−π3
−π3
−π3,π3
π3
π3,π
π
f′x
−
0
+
0
−
fx
π
单调递减
极小值− 3+π3
单调递增
3−π3
单调递减
−π
x
(−∞,−1)
−1
(−1,0)
0
(0,+∞)
f′(x)
+
0
−
0
+
f(x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
X
0
1
2
P
49
827
727