福建省莆田市2023-2024学年高二下学期期末质量监测数学试卷(含答案)

这是一份福建省莆田市2023-2024学年高二下学期期末质量监测数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．某质点的运动方程是,则该质点在时的瞬时速度是( )
A.4B.6C.8D.12
2．已知某次考试的成绩,若,则( )
A.B.C.D.a
3．已知向量,,若A,B,C三点共线,则( )
A.B.C.2D.3
4．随机变量服从两点分布,其分布列如下
则( )
A.B.C.D.或
5．斜三棱柱中,设,,,若,则( )
A.B.C.D.
6．函数,的图象大致为( )
A.B.C.D.
7．,,且,不等式恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．在三棱锥中,PA,PB,PC两两垂直,且.若M为该三棱锥外接球上的一点,则的最大值为( )
A.2B.4C.D.
二、多项选择题
9．对于变量x和变量y,设经过随机抽样获得的成对样本数据为,,…,,其中,,…,和,,…,的均值分别为和,方差分别为和.( )
A.该样本相关系数越接近0时,其线性相关程度越弱
B.假设一组数据是,,…,,则该组数据的方差为
C.该成对样本数据点均在直线上,则样本相关系数
D.该成对样本数据满足一元线性回归方程,则其回归直线必过样本中心
10．甲箱中有4个红球,3个白球和2个黑球,乙箱中有3个红球,2个白球和4个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱,再从乙箱中随机取出一球.用,,分别表示从甲箱取出的球是红球,白球,黑球;用B表示从乙箱取出的球是红球.则下列结论正确的是( )
A.B.C.D.和相互独立
11．M是棱长为2的正方体表面上一点,则( )
A.当M在线段上运动时,三棱锥的体积为定值
B.当M在线段上运动时,AM与BD所成角的取值范围是
C.设E是AB的中点,若,则线段ME长度的最大值为
D.若直线AM与平面ABCD所成的角为,则点M的轨迹长度为
三、填空题
12．已知,.在检验喜欢某种甜品与性别是否有关的过程中,某研究员搜集数据并计算得到,则我们至少有________把握认为喜欢某种甜品与性别有关.
13．已知,,三点,则A到直线BC的距离为________.
14．已知和为R上的可导函数,满足:,,且为奇函数.写出函数图象的一个对称中心,可以为________.若,则________.
四、解答题
15．已知函数,.
（1）若,求在上的值域;
（2）讨论的单调性.
16．人均可支配收入的高低,直接影响到居民的生活质量水平,是衡量一个国家或地区经济发展状况的重要依据.下图是某市2015~2023年城镇居民人均可支配收入（单位:万元）的折线图,发现城镇居民人均可支配收入与年份具有线性相关关系.
（注:年份代码1~9分别对应年份2015~2023）
（1）建立y关于t的经验回归方程（系数精确到0.01）,并预测2024年该市城镇居民人均可支配收入;
（2）为进一步对该市城镇居民人均可支配收入结构进行分析,某分析员从2015~2023年中任取两年的数据进行分析,将选出的人均可支配收入超过4.5万元的年份数记为,求随机变量的分布列与数学期望.
附注:参考数据:,.参考公式:回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:,.
17．如图,在四棱锥中,,,,,,为等边三角形.
（1）若Q为PB的中点,求证:平面PAD;
（2）求二面角的正弦值.
18．甲,乙两人为了提升篮球的竞技水平,进行投篮比赛.已知甲和乙每次进球的概率分别是和,且每人每次进球与否互不影响.制定比赛规则如下:一轮比赛,甲,乙双方需各投篮3次.一轮比赛结束后,当一方的进球数比另一方的进球数至少多2个时,则该方获胜并得1分,另一方不得分.其他情况,双方均不得分.
（1）若,
（i）假设甲,乙两人各投篮一次,求至少有一人进球的概率;
（ii）求在一轮比赛结束后,乙获得1分的概率.
（2）若,问至少进行多少轮比赛后,乙累计得分的期望值达到3分?
19．设P是直角坐标平面xOy上的一点,曲线是函数的图象.若过点P恰能作曲线的k条切线,则称P是函数的“k度点”.已知.
（1）求证:;
（2）设,判断P为函数的“几度点”,并说明理由;
（3）设,若M为函数的“3度点”,求实数m的取值范围.
参考答案
1．答案：D
解析：,当时,,
故质点在时的瞬时速度为12.
故选:D
2．答案：A
解析：由正态分布对称性可知,.
故选:A
3．答案：B
解析：因为A,B,C三点共线,则,又向量,,
所以,解得,
故选:B.
4．答案：C
解析：由题知,,解得或,又,所以,
故选:C.
5．答案：C
解析：因为
.
故选:C.
6．答案：A
解析：因为,关于原点对称,又,
即为偶函数,
当时,,,
令,则为增函数,因为,,
,使,即有,
当时,,时,,
即,在区间上单调递减,在区间上单调递增,
所以,
又,,,
,当时,,时,,
所以在区间上单调递增,在区间上单调递减,且,结合图象,选项A符合题意,选项BCD不符合题意,
故选:A.
7．答案：B
解析：因为,不等式在区间上恒成立,
即,也即在区间上恒成立,
整理得到在区间上恒成立,
令,所以在区间上单调递增,
又,令,得到,
当,,即在区间的单调递增,
所以,得到,
故选:B.
8．答案：C
解析：如图,将三棱锥放置在正方体中,三棱锥的外接球就是正方体的外接球,球心为正方体对角线的交点,
,,,,,,
设三棱锥外接球的半径为R,,则,
,
,
,,,
,,
,
所以,
当时,取得最大值.
故选:C
9．答案：ABD
解析：对于选项A,由样本相关系数的意义可知,样本相关系数越接近0时,其线性相关程度越弱,所以选项A正确,
对于选项B,因为,,…,的平均数为,
方差为,
所以选项B正确,
对于选项C,该成对样本数据点均在直线上,则样本相关系数,所以选项C错误,
对于选项D,由最小二乘法知,样本中心在线性回归方程上,所以选项D正确,
故选:ABD.
10．答案：AB
解析：由题知,,,
,,,
对于A,因为,所以A正确,
对于B,因为
,所以B正确,
对于C,,所以C错误,
对于D,,
,所以D错误,
故选:AB.
11．答案：BCD
解析：对于选项A,如图1,连接,因为,易知平面即平面,
过M作于H,因为面,面,
所以,又,,面,所以面,
又的面积为定值,而随着的变化而变化,所以三棱锥的体积不为定值,所以选项A错误,
对于选项B,如图2,建立空间直角坐标系,因为正方形的棱长为2,
则,,,,,设,,
又,,
设AM与BD所成的角为,
则,
当时,,此时,
当时,令,,
又,得到,所以,得到,
故,所以选项B正确,
对于选项C,如图3,取AD,,,,的中点F,H,O,N,P,,连接EF,FH,HO,ON,NP,PE,HP,BD,,
易知,所以EF与QN确定唯一平面,
由正方体性质知EQ与HP相交,所以,
连接,易知,又,,AC,面,
所以面,又面,所以,同理可得,
又,所以面EFHQNP,
因为,所以,故面,又是正方体表面上一点,故M在正六边形EFHQNP的边上运动,
由对称性知,当M与Q重合时,线段ME长度最大,最大值为,所以选项C正确,
对于选项D,因为直线AM与平面ABCD所成的角为,
若点M在平面内,如图4,过,连接AO,则为直线AM与平面ABCD所成的角,
由题知,则,显然只有M与重合符合题意,
同理可知若点在平面内,M与重合符合题意,
又因为面ABCD,得直线AM与所成的角为,
若点M在平面内时,点M的轨迹是,此时轨迹长为,
若点M在平面内时,点M的轨迹是,此时轨迹长为,
若点M在平面时,作面ABCD,连接AP,,,如图4所示,
因为,所以,又,所以,
得到点的轨迹是以为圆心,以2为半径的四分之一的圆,此时轨迹长为,
所以点M的轨迹长度为,故选项D正确,
故选:BCD.
12．答案：99
解析：因为,又,,
所以我们至少有99%把握认为喜欢某种甜品与性别有关,
故答案为:99.
13．答案：/
解析：因为,,所以,
得到,
所以A到直线BC的距离为,
故答案为:.
14．答案：（,答案不唯一）,11
解析：由,求导得,又,
则,即,
所以函数是奇函数,其图象关于原点对称,即为函数图象的一个对称中心,
由为奇函数,得,求导得,
即,函数的图象关于直线对称,则点是图象的一个对称中心,
显然有,即,
于是,函数是以4为周期的周期函数,
所以函数的图象关于点对称;
由,得,即有（C为常数）,
而,则,取,得,
因此,又,则,
即,,于是函数是周期为4的周期函数,
又,则函数的图象可由的图象平移而得,
从而函数是周期为4的周期函数,,
显然,因此,
,则,
又,则,,
所以.
故答案为:;11
15．答案：（1）
（2）答案见解析
解析：（1）当时,,
又在区间恒成立,当且仅当时取等号,
所以在区间上单调递增,
得到在上的最小值为,最大值为,
所以在上的值域为.
（2）易知定义域为,
因为,
当时,时,,时,,
当时,时,,时,,
当时,在区间上恒成立,当且仅当时取等号,
当时,时,,时,,
综上所述,当时,的减区间为,增区间为;
当时,的减区间为,增区间为,;
当时,的增区间为,无减区间;
当时,的减区间为,增区间为.
16．答案：（1）,约为5.14万元;
（2）分布列见解析,期望.
解析：（1）依题意,,,而,,
则,
,
所以y关于t的经验回归方程为,
2024年即,,
所以预测2024年该市城镇居民人均可支配收入约为万元.
（2）2015~2023年中,人均可支配收入超过4.5万元的年份数有3个,的可能取值为0,1,2,
,,,
所以随机变量X的分布列为:
数学期望.
17．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）取PA中点H,连接DH,HO,
因为Q为PB的中点,所以且,又且,
所以且,所以DHQC是平行四边形,
得到,又面PAD,面PAD,所以平面PAD.
（2）过D作于M,因为,,,,
所以,又为等边三角形,所以,
又,所以,得到,
又,,面PBC,
所以面PBC,
又面ABCD,所以面面ABCD,
取BC中点E,连接PE,则,又面面ABCD,面面,面PBC,所以面ABCD,
过C作,以CD,CB.l所在的直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
由,,
知,,,
所以,,,
设平面APD的一个法向量为,
由,得到,取,得到,所以,
设平面CPD的一个法向量为,
由,得到,取,得到,所以,
设二面角的平面角为,,
因为,
所以.
18．答案：（1）（i）;
（ii）
（2）15
解析：（1）（i）因为甲和乙每次进球的概率分别是和,
所以甲,乙两人各投篮一次,至少有一人进球的概率为.
（ii）由题知甲进球0个,乙进球2个或3个,或甲进球1个,乙进球3个,乙获得1分,
记事件A:甲进球0个,乙进球2个或3个,事件B:甲进球1个,乙进球3个,事件C表示乙获得1分,
则,,
易知A,B互斥,所以.
（2）因为一轮比赛结束后,乙获得1分的概率为,
设n轮比赛后,乙累计得分为X,则,
由题知,又,函数在上单调递增,
所以,
由,得到,所以至少进行15轮比赛后,乙累计得分的期望值达到3分,此时.
19．答案：（1）证明见解析;
（2）答案见解析;
（3）.
解析：（1）令函数,求导得,
当时,,当时,,
即函数在上单调递增,在上单调递减,,
所以.
（2）设过点P的直线与函数图象相切的切点,而,
因此该切线方程为,即有,
整理得,令,
函数有k个零点,等价于过点P恰能作图象的k条切线,即P是的“k度点”,
求导得,当时,,当时,,
即函数在上单调递增,在上单调递减,,
①当时,,此时函数仅有一个零点,P是的“1度点”;
②当时,,
当时,,则,
当时,,即是函数在的唯一零点,
因此函数仅有一个零点,P是的“1度点”;
③当时,,
由,得,则,,
取,则
,于是,使得,
即函数在上有唯一零点,又是函数在上的唯一零点,
因此函数有两个零点,P是的“2度点”;
④当时,,
取,则,
于是,使得,即函数在上有唯一零点,
显然是函数在上的唯一零点,
因此函数有两个零点,P是的“2度点”,
所以当或时,P是的“1度点”;
当或时,P是的“2度点”.
（3）设过的直线与曲线相切的切点为,而,
因此该切线方程为,即有,整理得,
由为函数的“3度点”,得方程有3个不同的解,令,
求导得,当或时,,当时,,
即函数在,上单调递增,在上单调递减,
函数在处取得极大值,在处取得极小值,
而当时,恒有,,
因此当且仅当,即时,直线与曲线有3个不同交点,
即方程有3个不同的解,则过点M的切线条数为3,
所以实数m的取值范围是.
0
1
P
p
X
0
1
2
P