[数学][期末]福建省莆田市2022-2023学年高二下学期期末质量监测试题(解析版)

这是一份[数学][期末]福建省莆田市2022-2023学年高二下学期期末质量监测试题(解析版)，共18页。试卷主要包含了 设，，，则， 某学习小组收集了7组样本数据等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的件名、准考证号填写在答题卡上.
2.考生作答时，将答案答在答题卡上，请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效.
3.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.
4.保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 从3名男生，2名女生中任选2人，则选到2名女生的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设3名男生的编号为，2名女生的编号为，
任取2人的样本空间包含共10个样本点，
其中选到2名女生为共1个样本点，
所以选到2名女生的概率.故选：A
2. 函数的导函数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】.故选：B
3. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则可能使的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】要使，则，
A. ，B. ，C. ，D. .
故选：B
4. 甲每次投篮命中的概率为，且每次投篮相互独立，则在16次连续投篮中甲命中的次数的方差是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】根据题意，命中的次数随机变量，
由二项分布方差公式得，.
故选：C
5. 若点平面，且对空间内任意一点满足，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】平面，，，，四点共面，又，
，解得．故选：D．
或者根据平面，
，，，四点共面，则存在实数，使得，
即，
又，所以解得
故选：D
6. 如图，平行六面体的底面是矩形，其中，，，且，则线段的长为（ ）

A. 9B. C. D.
【答案】C
【解析】由，
.
因为底面是矩形，，，，
所以，，因为，
所以
所以，
，故选：C.
7. 某同学利用电脑软件将函数，图象画在同一直角坐标系中，得到如图的“心形线”.观察图形，当时，的导函数的图象大致为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】，，
所以轴下方的图象为函数的图象，
当时，函数单调递增，所以，故排除CD；
根据导数的几何意义可知，时，函数图象上每点处的切线斜率应先变小，再增大，故排除B，只有A正确.
故选：A
8. 设，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】，，，
令，则，
由，得，
当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，
因为，
所以，
所以，
故选：D
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 某学习小组收集了7组样本数据（如下表所示）：
他们绘制了散点图并计算样本相关系数，发现与有比较强线性相关关系.若关于的经验回归方程为，则（ ）
A. 与呈正相关关系
B.
C. 当时，的预测值为3.3
D. 去掉样本点后，样本相关系数不变
【答案】ABD
【解析】由数据可知，，，样本点中心必在回归直线上，
所以，得，故AB正确；
，当时，，故C错误；
因为是样本点中心，，所以去掉这一项，样本相关系数不变，故D正确.
故选：ABD
10. 甲、乙两个罐子均装有2个红球，1个白球和1个黑球，除颜色外，各个球完全相同.先从甲罐中随机取出2个球放入乙罐中，再从乙罐中随机取出1个球，记事件表示从甲罐中取出的2个球中含有个红球，表示从乙罐中取出的球是红球，则（ ）
A. ，，两两互斥B.
C. D. 与不相互独立
【答案】AC
【解析】A.表示从甲罐中取出的2个球，没有红球，表示从甲罐中取出的2个球，有1个红球，表示从甲罐中取出的2个球，有2个红球，在一次实验中，这三个事件，任两个事件不能同时发生，所以两两互斥，故A正确；
B. ，故B错误；
C.
，故C正确；
D.，，，
则，则与相互独立，故D错误.
故选：AC
11. 函数在处取得极大值，则（ ）
A. B. 只有两个不同的零点
C. D. 在上的值域为
【答案】AC
【解析】，，由条件可知，，
得，
当时，，得或，
由表格数据单调性可知，单调递减，且，所以函数在区间有1个零点，同理，函数在区间和也各有1个零点，所以函数有3个不同的零点，故A正确，B错误；
，，，，故C正确；
，再结合表格数据可知，函数在区间上的值域为，故D错误.
故选：AC
12. 布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1）.把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则
A.
B. 若为线段上的一个动点，则的最大值为2
C. 点到直线的距离是
D. 异面直线与所成角的正切值为
【答案】BCD
【解析】因为，
所以，故A错误；
如图以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，
，，，，
对于B：因为为线段上的一个动点，设，，
则，
所以，所以当时，故B正确；
对于C：，，
所以点到直线的距离，故C正确；
对于D：因为，
所以，
所以，即异面直线与所成角的正切值为，故D正确；
故选：BCD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，，且，则__________.
【答案】
【解析】因为，，且，
，，
则，解得：，
.
故答案为：
14. 若某工厂制造的机械零件尺寸服从正态分布，则零件尺寸介于3.5和5之间的概率约为___________.
（若，则，，）
【答案】
【解析】因为服从正态分布，所以，
所以，
所以
，
故答案为：
15. 现从甲、乙、丙3人中选派一人参加“垃圾分类”知识竞答，他们商议通过玩“石头、剪刀、布”游戏解决：如果其中两人手势相同，另一人不同，则选派手势不同的人参加；否则重新进行一局“石头、剪刀、布”游戏，直到确定人选为止.在每局游戏中，甲、乙、丙各自出3种手势是等可能的，且各局游戏是相互独立的，则直到第三局游戏才最终确定选派人员的概率为__________.
【答案】
【解析】设事件表示“进行一局游戏，成功确定参加活动人选”，
则，
则进行一局游戏，没有确定参加活动人选的概率为，
且各局游戏是相互独立的，
则直到第三局游戏才最终确定选派人员的概率为.
故答案为：
16. 已知函数，若直线是曲线的切线，则若直线与曲线交于，两点，且，则的取值范围是_________.
【答案】① ②
【解析】记，，
设切线与曲线相切于点，，
则，解得，即实数的值为；
令，则，依题意，直线与曲线有两个交点，
又，
令，解得，令，解得，
则函数在上单调递增，在上单调递减，且，
当时，，当时，，
作出函数的大致图象如图所示，

由图象可知：要使直线与曲线有两个交点，则
又，则，则，
令，则，
又，则，
于是，则，故，
设，则，
又，设，
则，
故在,上单调递减，则，
故在,上恒成立，则在,上单调递减，
于是，
又函数在上单调递增，
则当时，．
故答案为：；．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知函数.
（1）当时，求的极值；
（2）若在上单调递减，求的取值范围.
解：（1）当时，，
，
得或，
当时，解得：或，
当时，解得：，
所以函数单调递增区间是和，单调递减区间是，
当变换时，，的变化情况如下表所示，
所以函数的的极大值为，极小值为
（2），，，
因为在上单调递减，可得在上恒成立，
即在上恒成立，
当时，，
所以，即的取值范围是.
18. 如图，在边长为2的正方体中，，分别为，的中点.

（1）求点到平面的距离；
（2）求二面角的大小.
解：（1）如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，

，，，，，
，，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，
所以平面的法向量为，
所以点到平面的距离；
（2）因为，
平面，平面，
所以，且，平面，
所以平面，即平面，
，，，
，
所以二面角的大小为
19. 甲、乙两位好友进行乒乓球友谊赛，比赛采用局胜制（），若每局比赛甲获胜的概率为，且每局比赛的结果是相互独立的.
（1）比赛采用5局3胜制，已知甲在第一局落败，求甲反败为胜的概率；
（2）比赛采用3局2胜制，比赛结束时，求甲获胜的局数的分布列及数学期望.
解：（1）记“甲在第一局落败”，“甲反败为胜”，
甲最终获胜有两种可能的比分或，且每局比赛结果是相互独立的.
①若比分是，则甲接下来连胜3局，其概率为；
②若比分是，则第2,3,4，局比赛中甲胜2局输1局且第5局甲获胜，
其概率为，
所以.
（2）的所有可能取值为，
，
，
，
所以的分布列为
则.
20. 如图，在四棱锥中，，，，为的中点，与均为等边三角形，与相交于点.

（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成的角的正弦值.
解：（1）取的中点，连结，，

因为是等边三角形，所以，
因为，，为的中点，
所以四边形是正方形，所以，则，
且，平面，
所以平面，平面，
所以，
又因为与均为等边三角形，所以，
所以，且，平面，
所以平面
（2）四边形是正方形，所以，
以点原点，以为轴，建立空间直角坐标系，
，，，
,，，，
，,
设平面的法向量为，
则，即，
得
令，
所以平面的法向量，
设直线与平面的夹角为，
所以，
所以直线与平面的夹角的正弦值
21. 为了考查一种新疫苗预防某一疾病的效果，研究人员对一地区某种动物进行试验，从该试验群中随机抽查了50只，得到如下的样本数据（单位：只）：
（1）能否有95%的把握认为接种该疫苗与预防该疾病有关？
（2）从该地区此动物群中任取一只，记表示此动物发病，表示此动物没发病，表示此动物接种疫苗，定义事件的优势，在事件发生的条件下的优势.
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）利用抽样的样本数据，给出，的估计值，并给出的估计值.附：，其中.
解：（1）根据联表可得，
所以有95%的把握认为接种该疫苗与预防该疾病有关.
（2）（ⅰ）由于,
所以，，
故,故得证.
（ⅱ）由二联表中的数据可得，，
所以，
22. 已知函数，其中.
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，，且，求的最小值.
解：（1）定义域为，
且，
当时，恒成立，所以在上单调递减；
当时，令得，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上可得：当时在上单调递减；
当时上单调递减，在上单调递增.
（2）因为，所以，
所以，，
所以，
所以，
令，因为，
所以，即，
所以，，
令，，
则，
令，，
则，
所以在上单调递增，又，所以，
即，所以在上单调递减，
所以，
所以，即，即，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.1
2
3
4
5
6
7
0.5
1.2
0.8
1.5
1.7
2.3
2.5
单调递减
极小值
单调递增
单调递减
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
0
1
2
发病
没发病
合计
接种疫苗
8
16
24
没接种疫苗
17
9
26
合计
25
25
50
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828