辽宁省锦州市某校2024-2025学年高一上学期期中质量检测数学试卷（解析版）

这是一份辽宁省锦州市某校2024-2025学年高一上学期期中质量检测数学试卷（解析版），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为，，所以.
故选：C．
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】命题“，”的否定是“，”.
故选：D
3. 函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题知，解得，
所以定义域为.
故选：A.
4. 若，，则下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】对于A，当时，，A错误；
对于B，当且时，，B错误；
对于C，，，又，，C正确；
对于D，当，时，，D错误.
故选：C.
5. 函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题知函数的定义域为，，
所以函数为偶函数，排除C，D，令，得，排除A，故B正确.
故选：B
6. 已知实数，则函数的零点所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】实数，在定义域上递增，
则，
，
，
，
，
则，
则函数在内必有零点.
故选：B
7. 已知函数（且）在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题知，，解得.
故选：A.
8. 已知函数的定义域为，，，都有，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】当，时，，所以；
令得，所以；
，，
，…，
.
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列各组函数表示同一个函数的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】BD
【解析】对于A项，函数的定义域为R，的定义域为，
两个函数定义域不相同，故A项错误；
对于B项，函数的定义域为R，的定义域为R，
两个函数定义域相同，且，所以两个函数相同，故B项正确；
对于C项，函数的定义域为R，的定义域为R，
两个函数定义域相同，
但是解析式不相同，故C项错误；
对于D项，函数的定义域为R，的定义域为R，
两个函数定义域相同，
且对应关系也一致，故D项正确.
故选：BD.
10. 命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】当时，恒成立，于是；
当时，解得，
综上，的取值范围是．
因为，，，
所以，，均为该命题为真命题的充分不必要条件.
因为，所以为必要不充分条件.
故选：ABD
11. 若函数满足，，且，，则（ ）
A. 在上单调递减B.
C. D. 若，则或
【答案】ABD
【解析】因为，
所以在上单调递增，且关于对称，
则在上单调递减，故A正确；
因为，令，得，故B正确；
因为，
所以，故C错误；
若，则，解得或，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数，则______.
【答案】0
【解析】已知函数，
则，所以．
故答案为：.
13. 已知正数，满足，则的最小值为________.
【答案】
【解析】由题知，
所以，
当且仅当，时取等号.
故答案为：
14. ，分别表示函数在区间上的最大值与最小值，则________.
【答案】4
【解析】因
因为，，所以.
故答案为：4.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，．
（1）若成立的一个必要条件是，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围．
解：（1）因为集合，．
若成立的一个必要条件是，所以，
则，所以，
故实数的取值范围.
（2）若，则或，
所以或，
故实数的取值范围.
16. 给定函数，，.
（1）画出函数，的图象；
（2），用表示，中的较小者，记为，请分别用图象法和解析法表示函数．
解：（1）由函数，
根据一次函数与二次函数的图象与性质，可得函数和的图象，如图所示：

（2）联立方程组，整理得，解得或，
结合（1）中的图象，可得：
当时，；
当时，；
当时，，
所以函数的解析式为.
函数的图象，如图所示.

17. 某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为40元，年销售6万件.
（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少1000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
（2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略调整，并提高定价到元.公司拟投入万元作为技改费用，投入160万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价.
解：（1）设每件定价为元，依题意得，
整理得， 解得.
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为60元.
（2）依题意知当时，，
等价于时，，
由于，当且仅当，即时等号成立，
所以，
当该商品改革后销售量至少达到10.5万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为60元.
18. 已知函数（，）的图象经过点，.
（1）求的解析式；
（2）证明：曲线是中心对称图形；
（3）求关于的不等式的解集.
（1）解：由题意可知，，
解得，或，，
因为，，所以，，
所以.
（2）证明：因为，x∈R，
所以曲线y=fx关于点对称，故曲线y=fx是中心对称图形.
（3）解：由（1）可知，，
易知函数在上单调递增，且，所以在上单调递减.
由（2）可知，，
由，得，
即，
根据在上单调递减，得，
整理得，，即.
当时，解得；当时，无解；当时，解得.
综上可知，
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
19. 若函数在区间上的值域恰为，则称区间为的一个“倒域区间”.已知定义在上的奇函数，当时，.
（1）求的解析式；
（2）若关于的方程在上恰有两个不相等的根，求的取值范围；
（3）求函数在定义域内的所有“倒域区间”.
解：（1）当时，则，
由奇函数的定义可得，
所以.
（2）方程即，
设，
由题意知，解得.
（3）因为在区间上的值域恰为，
其中且，所以，则，
所以或
①当时，因为函数在上单调递增，在上单调递减，
故当时，，则，所以，所以，
则，解得，
所以在内的“倒域区间”为；
②当时，在上单调递减，在上单调递增，
故当时，，所以，所以，
所以，
则，解得，
所以在内“倒域区间”为.
综上所述，函数在定义域内的“倒域区间”为和.