2024~2025学年辽宁省锦州市某校高一上学期期末质量检测数学试卷（解析版）

这是一份2024~2025学年辽宁省锦州市某校高一上学期期末质量检测数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合或，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】集合或，，所以.
故选：C.
2. 函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由，解得且，
故函数的定义域为.
故选：D.
3. 已知幂函数，则（ ）
A. 8B. 4C. D.
【答案】A
【解析】由幂函数的定义，知，解得，所以，.
故选：A.
4. 已知集合，，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为（ ）
A. 2,3B. C. D.
【答案】D
【解析】由“”是“”的充分不必要条件，得A是B的真子集.
又，则必有，即，所以.
故选：D.
5. 某校高一组建了演讲，舞蹈，合唱，绘画，英语协会五个社团，高一1500名学生每人都参加且只参加其中一个社团，学校从这1500名学生中随机选取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图不完整的两个统计图：
则选取的学生中，参加舞蹈社团的学生数为（ ）
A. 20B. 30C. 35D. 40
【答案】D
【解析】由条形图得合唱人数为70，由饼状图得合唱人数占比，
因此选取的总人数为，
由饼状图得演讲及舞蹈人数和占比为，
人数和为，
由条形图得演讲人数为30，所以舞蹈人数为40.
故选：D.
6. 《数术记遗》记述了积算（即筹算）、珠算、计数等共14种算法.某研究学习小组共10人，他们搜集整理这14种算法的相关资料所花费的时间（单位：min）分别为68，58，38，41，47，63，82，48，32，31，则这组数据的（ ）
A. 众数31B. 分位数是
C. 极差是38D. 中位数是44
【答案】B
【解析】由题知，每个数出现的次数都是一次，即众数不是31，A错误；
将这10个数据从小到大排列为31，32，38，41，47，48，58，63，68，82；
易知为整数，所以分位数是第1个数与第2个数的平均值，
即为，B正确；
极差为，C错误；
中位数为第5个数和第6个数的平均数，即，D错误.
故选：B
7. 经调查发现，一杯热茶的热量会随时间的增大而减少，它们之间的关系为，其中，且．若一杯热茶经过时间，热量由减少到，再经过时间，热量由减少到，则（ ）
A. 2B. 1C. D.
【答案】A
【解析】当时，，
当时，，故；
当时，，故，
所以．
故选：A．
8. 已知函数是上的奇函数，对任意，都有成立，则（ ）
A. 4B. 2C. D. 0
【答案】D
【解析】因为函数是上的奇函数，所以.
又对任意，都有成立，
令，得，即，
所以，则，
所以，则，
故，
所以.
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 为了研究我市甲、乙两个旅游景点的游客情况，文旅局统计了今年4月到9月甲、乙两个旅游景点的游客人数（单位：万人），得到如图所示的折线图.根据两个景点的游客人数的折线图，下列说法正确的是（ ）
A. 7，8，9月份的总游客人数甲景点比乙景点少
B. 乙景点4月到9月的游客人数总体呈上升趋势
C. 甲景点4月到9月游客人数的平均值在内
D. 甲、乙两景点4月到9月中游客量的最高峰期都在8月
【答案】AB
【解析】由游客人数折线图可知，甲景点7，8，9月份的总游客人数为，
乙景点的7，8，9月份的总游客人数为，，A正确；
根据乙景点的游客人数折线图可知乙景点每月的游客人数逐月增多，所以总体呈上升趋势，故B正确；
甲景点游客人数的平均值为，，C错误；
由游客人数折线图可知，甲景点4月到9月中游客量的最高峰期在8月，乙景点4月到9月中游客量的最高峰期在9月，D错误.
故选：AB.
10. 若，则下列说法一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】因为函数在上单调递减，所以，则，
所以，A正确；
由，得，则，但与1的大小关系不确定，所以B错误；
由，得，则1，所以，C正确；
由，得，所以，但与1的大小关系不确定，所以D错误．
故选：AC．
11. 已知函数的定义域为，，且当时，，则（ ）
A.
B. 当时，
C. 若对任意的，都有，则实数的取值范围是
D. 若，则有8个互不相等的实数根
【答案】AC
【解析】函数的定义域为R，满足，
即，所以，故A正确；
当时，，
则，故B错误；
将函数y=fx在上的图象每次向右平移2个单位长度，
再将纵坐标伸长为原来的2倍即可得函数在，，……上的图象，
同理将函数y=fx在上的图象每次向左平移2个单位长度，
再将纵坐标缩短为原来的倍即可得函数在，……上的图象，
作出函数y=fx的图象，如图所示，
因为当时，，
所以当，，
则，
则，
令，即，解得，，
又因为对任意的，都有，
结合图象可得，C正确；
因为，易知在，上单调递减，
作出函数y=fx和y=gx的图象，由此可得两函数有7个交点，
所以有有7个互不相等的实数根，故D错误.
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 命题“，”的否定是______．
【答案】，
【解析】命题“，”的否定是“，”．
13. 已知函数（且）的图像过定点，正实数，满足，则的最小值为______.
【答案】12
【解析】函数的图像过定点，所以，，即，
所以，
当且仅当，时等号成立.
14. 九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如图所示，小明需要在9个小格子中填上1~9中不重复的整数，小明通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字，a，b，c，d，e这5个数字未知，且b，d为偶数，则的概率为________.
【答案】
【解析】这个试验的等可能结果用下表表示：
共有种等可能的结果，其中的结果有种，
所以的概率为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，.
（1）求；
（2）若，为集合，定义集合运算，求.
解：（1）因为，
，
所以.
（2）由集合运算的新定义及不等式的性质，，故可得，
故.
16. 甲、乙两名运动员参加射击选拔赛，两人在相同条件下各射击100次，组委会从两人成绩中各随机抽取6次成绩（满分10分，8分及以上为优秀），如下表所示：
（1）分别求出甲、乙两名运动员6次射击成绩的平均数与方差；
（2）判断哪位运动员的射击成绩更好？
解：（1）甲随机抽取的6次射击成绩的平均数为，
方差为；
乙随机抽取的6次射击成绩的平均数为，
方差为.
（2）因为，，所以甲随机抽取的6次射击成绩比乙稳定，故甲运动员成绩更好.
17. 为了激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体学生开展以“筑梦奥运，一起向未来”为主题的体育实践活动，参加活动的学生需要从3个趣味项目（跳绳、踢毽子、篮球投篮）和2个弹跳项目（跳高、跳远）中随机抽取2个项目进行比赛.
（1）求抽取的2个项目都是趣味项目的概率；
（2）若从趣味项目和弹跳项目中各抽取1个，求这2个项目包括跳绳但不包括跳高的概率.
解：（1）设3个趣味项目分别为（跳绳），（踢毽子），（篮球投篮），2个弹跳项目分别为（跳高），（跳远）.
从5个项目中随机抽取2个，
其样本空间，共10个样本点，
设事件为“抽取到的这2个项目都是趣味项目”，
则，共3个样本点，
故所求概率为.
（2）从趣味项目和弹跳项目中各抽取1个，
其样本空间，共6个样本点，
其中，抽取到的这2个项目包括（跳绳）但不包括（跳高）的基本事件为，共1个样本点，故所求概率为.
18. 已知函数的图象经过点0,1，.
（1）证明：函数的图象是轴对称图形；
（2）求关于的不等式的解集；
（3）若函数有且只有一个零点，求实数的值.
解：（1）证明：由题意可知，，
解得，，所以.
易知的定义域为，
因为，
所以函数是偶函数，
故函数的图象是轴对称图形.
（2）由（1）可知，，
则不等式可化为，
即，
解得，
又，所以，解得，
故原不等式的解集为.
（3）由（1）可知，，
由题意可知，只有一个解，
得，即只有一个解，
令，函数，
，且，
则，
当时，，则g(t1)-g(t2)=t1-t2t1⋅t2-1t1⋅t2>0，
即，则函数在上单调递减，
当时，，则，
即，
则函数在上单调递增，
所以当时，解得，此时只有一个解，
故函数有且只有一个零点时，.
19. 若函数在区间上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在区间上的“美好函数”.
（1）函数；；中，哪个函数是在区间上的“美好函数”？并说明理由；
（2）已知函数.
①函数是在区间上的“美好函数”，求的值；
②当时，函数是在区间上的“美好函数”，求的值.
解：（1）因为函数在区间上单调递减，
所以，，
所以，故是在区间上的“美好函数”；
因为函数在区间上单调递增，所以，，
所以，故不是在区间上的“美好函数”；
因为在区间上单调递增，所以，，
所以，故是在区间上的“美好函数”.
（2）①有题知.
因为，所以.
令，则，，
当时，函数在区间上单调递增，
此时，，所以有；
当时，函数在区间上单调递减，
此时，，所以有，综上所述，.
②由题可知，函数，因为，所以.
令，则，.
可知此时，函数的对称轴为且开口向上，
当，即时，函数在上单调递减，
此时，，
因为函数是在区间上的“美好函数”，
所以有，整理得，无解；
当，即时，函数在上单调递减，
在上单调递增，
又，故此时，，
因为函数是在区间上的“美好函数”，
所以有，解得（舍去）；
当，即时，函数在上单调递增，
此时，，
因为函数是在上的“美好函数”，
所以有，解得.
综上所述：.9
a
7
b
c
d
4
e
6
a
1
1
3
3
5
5
1
1
3
3
5
5
b
2
2
2
2
2
2
8
8
8
8
8
8
c
3
5
5
1
1
3
3
5
5
1
1
3
d
8
8
8
8
8
8
2
2
2
2
2
2
e
5
3
1
5
3
1
5
3
1
5
3
1
甲射击成绩
10
9
7
8
10
10
乙射击成绩
10
6
10
10
9
9