2025年中考数学总复习讲义（山东专用）52 第二部分 题型七 二次函数综合题（无答案）

这是一份2025年中考数学总复习讲义（山东专用）52 第二部分 题型七 二次函数综合题（无答案），共11页。学案主要包含了试验操作，观察猜想，验证猜想，归纳运用等内容，欢迎下载使用。
类型一 线段、周长最值问题
【典例1】 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋4(a≠0)与x轴交于A(－4，0)，B(2，0)两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，点D(0，3)，连接AD．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是线段AO上一点(不含端点)，过点P作PQ⊥x轴交抛物线于点Q，交线段AD于点E，点F是直线AD上一点，连接FQ，FQ＝EQ，求△FEQ的周长最大值．
[听课记录]




与二次函数相关的线段、图形周长最值问题，先转化为平行于y轴线段两个端点纵坐标的差(或平行于x轴线段两个端点横坐标的差)，再利用含有未知数的式子表示出来，进而转化为二次函数的最值问题．
[对点演练]
如图，已知二次函数y＝－12x2＋bx＋4的图象与x轴交于点A，C，与y轴交于点B，并且经过不同的两点(x1，y1)，(x2，y2)，当x1＋x2＝2时，总有y1＝y2．直线l经过点B和点C，点D为抛物线的顶点，连接AB，BD，CD．
(1)求b的值；
(2)请求出四边形ABDC的面积；
(3)直线l绕点C逆时针旋转，与直线CA重合时终止运动，在旋转过程中，直线l与线段AB交于点P，点P与点A，B不重合，点M为线段CP的中点．
①过点P作PE⊥CB于点E，PF⊥CA于点F，连接ME，MF，在旋转的过程中∠EMF的大小是否发生变化？若不变化，求出∠EMF的度数；若发生变化，请说明理由．
②在①的条件下，连接EF，请写出线段EF的最小值．






类型二 图形面积问题
【典例2】 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c过x轴上点A(－1，0)、点B(5，0)，过y轴上点C(0，－5)，点P(m，n)(0＜m＜5)是抛物线上的一个动点．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)求四边形OCPB面积的最大值；
(3)当点P的横坐标m满足2＜m＜5时，过点P作PE⊥x轴，交BC于点E，再过点P作PF∥x轴，交抛物线于点F，连接EF，求使△PEF为等腰直角三角形的点P的坐标．
[听课记录]




二次函数中图形面积的计算，常常转化为线段的最值问题．
[对点演练]
[项目式学习试题]某数学试验小组在探究“关于x的二次三项式ax2＋bx＋3的性质(a，b为常数)”时，进行了如下活动．
(1)【试验操作】
取不同的x的值，计算代数式ax2＋bx＋3的值．
根据表格，计算出a，b的值；
(2)【观察猜想】
试验小组组员通过观察表格，提出以下猜想：
①代数式ax2＋bx＋3的值随着x的增大而减小；
②当x＝1时，代数式ax2＋bx＋3有最小值，最小值是2．
上述猜想中正确的是：________；(填写序号)
(3)【验证猜想】
请对正确的猜想进行证明；
(4)【归纳运用】
根据试验经验解决下列问题：
如图所示，小丽想借助院中互相垂直的两面墙(墙体足够长)，在墙角区域用6 m长的篱笆围成一个长方形小菜园．当AB为何值时，长方形小菜园ABCD的面积最大，并求出最大面积．






类型三 特殊三角形的存在性问题
【典例3】 (2024·高唐一模)在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于点A(－1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的表达式及顶点坐标；
(2)若点P为第四象限内抛物线上一点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；
(3)若点P为抛物线上一点，点Q是线段BC上一点(点Q不与两端点重合)，是否存在以P，Q，O为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请写出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
[听课记录]




[对点演练]
如图，二次函数y＝x2－2x－3的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，M为抛物线的顶点．
(1)求A，B两点的坐标；
(2)求△MBC的面积；
(3)对称轴上是否存在点N，使得以B，C，N为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．






类型四 特殊四边形的存在性问题
【典例4】 如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C，连接AC，BC．
(1)求该抛物线及直线BC对应的函数表达式；
(2)如图2，在BC上方的抛物线上有一动点P(不与B，C重合)，过点P作PD∥AC，交BC于点D，过点P作PE∥y轴，交BC于点E．在点P运动的过程中，请求出△PDE周长的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图3，若点P是该抛物线上一动点，问在点P运动的过程中，坐标平面内是否存在点Q，使以B，C，P，Q为顶点，BC为对角线的四边形是矩形？若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
[听课记录]




特殊图形的存在问题，一定要分类讨论，考虑全面，防止漏掉答案的情况．
[对点演练]
已知抛物线y＝－x2＋bx＋c，其对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为A(－1，0)，另一个交点为B，与y轴的交点为C．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，若点M为抛物线上第一象限内一动点，连接OM，交BC于点N，当MNON最大时，求点M的坐标；
(3)如图2，点P为抛物线上一点，且在x轴上方，一次函数y＝32x＋n的图象过点A，点Q是一次函数图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P，Q是否存在？若存在，分别求出点P，Q的坐标；若不存在，说明理由．






类型五 相似三角形问题
【典例5】 在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于C(0，3)．
(1)如图1，求抛物线的表达式；
(2)如图2，点D为直线BC上方抛物线上一动点，连接AC，CD，设直线BC交线段AD于点E，DEAE＝12时，求点D的坐标；
(3)在(2)的条件下，且点D的横坐标小于2，M为x轴上方抛物线上的一点，过点M作MN⊥x轴，是否存在点M使得以A，M，N为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，求出M点的坐标；如果不存在，请说明理由．
[听课记录]




[对点演练]
如图1所示，直线y＝x＋c与x轴交于A(－4，0)，与y轴交于点C，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A，C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点E在抛物线的对称轴上，求CE＋OE的最小值；
(3)如图2所示，M是线段OA上的一个动点(不含端点)，过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P，N．若以C，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求△NPC的面积．






类型六 动点产生的角度问题
【典例6】 如图，抛物线y＝ax2－83x＋c与x轴交于A(－3，0)，B两点，与y轴交于点C(0，4)，点E是抛物线对称轴上的一个动点．
(1)求抛物线的表达式及点B的坐标；
(2)连接AC，当∠CEA＝90°时，求所有符合条件的点E的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点E，使得∠ACE＝45°？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
[听课记录]




[对点演练]
(2024·肥城二模)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋2经过A(－1，0)，B(4，0)两点，D(x，y)为抛物线上第一象限内的一个动点．
(1)求抛物线所对应的函数表达式；
(2)当△BCD的面积最大时，求点D的坐标；
(3)过点D作DE⊥BC，垂足为点E，是否存在点D，使∠DCE＝2∠ABC？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．






类型七 与圆相关的问题
【典例7】 如图，在平面直角坐标系中，顶点为(4，－1)的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点(点B在点C的左侧)，已知A点坐标为(0，3)．
(1)求此抛物线的表达式；
(2)已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间(不与A，C重合)，连接AC．当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？求出此时点P的坐标；
(3)过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明．
[听课记录]




[对点演练]
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴分别相交于A，B两点，与y轴相交于点C，如表给出了这条抛物线上部分点(x，y)的坐标值：
(1)求出这条抛物线的表达式及顶点M的坐标；
(2)P是抛物线对称轴上一动点，求△APC周长的最小值；
(3)如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，△ABD的外接圆与DF相交于点E．试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．





x
…
－2
－1
0
1
…
ax2＋bx＋3
…
11
6
3
2
…
x
…
－1
0
1
2
3
…
y
…
0
3
4
3
0
…