2025年中考数学总复习课件(山东省专用)52 第二部分 题型七 二次函数综合题

这是一份2025年中考数学总复习课件(山东省专用)52 第二部分 题型七 二次函数综合题，共60页。
类型一　线段、周长最值问题【典例1】　如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋4(a≠0)与x轴交于A(－4，0)，B(2，0)两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，点D(0，3)，连接AD．(1)求抛物线的表达式；(2)点P是线段AO上一点(不含端点)，过点P作PQ⊥x轴交抛物线于点Q，交线段AD于点E，点F是直线AD上一点，连接FQ，FQ＝EQ，求△FEQ的周长最大值．
归纳总结　与二次函数相关的线段、图形周长最值问题，先转化为平行于y轴线段两个端点纵坐标的差(或平行于x轴线段两个端点横坐标的差)，再利用含有未知数的式子表示出来，进而转化为二次函数的最值问题．
(3)直线l绕点C逆时针旋转，与直线CA重合时终止运动，在旋转过程中，直线l与线段AB交于点P，点P与点A，B不重合，点M为线段CP的中点．①过点P作PE⊥CB于点E，PF⊥CA于点F，连接ME，MF，在旋转的过程中∠EMF的大小是否发生变化？若不变化，求出∠EMF的度数；若发生变化，请说明理由．②在①的条件下，连接EF，请写出线段EF的最小值．
类型二　图形面积问题【典例2】　如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c过x轴上点A(－1，0)、点B(5，0)，过y轴上点C(0，－5)，点P(m，n)(0＜m＜5)是抛物线上的一个动点．(1)求该二次函数的表达式；(2)求四边形OCPB面积的最大值；(3)当点P的横坐标m满足2＜m＜5时，过点P作PE⊥x轴，交BC于点E，再过点P作PF∥x轴，交抛物线于点F，连接EF，求使△PEF为等腰直角三角形的点P的坐标．
(3)如图，∵y＝x2－4x－5＝(x－2)2－9，∴抛物线对称轴为直线x＝2，当点P的横坐标m满足2＜m＜5时，点P在对称轴右侧，∴PF＝2(m－2)＝2m－4，由(2)知PE＝(m－5)－(m2－4m－5)＝－m2＋5m，当PE＝PF时，△PEF为等腰直角三角形，∴－m2＋5m＝2m－4，整理得m2－3m－4＝0，解得m＝4或m＝－1(不符合题意，舍去)，此时n＝42－4×4－5＝－5，即点P(4，－5)，∴当点P的坐标为(4，－5)时，△PEF为等腰直角三角形．
归纳总结　二次函数中图形面积的计算，常常转化为线段的最值问题．
[对点演练][项目式学习试题]某数学试验小组在探究“关于x的二次三项式ax2＋bx＋3的性质(a，b为常数)”时，进行了如下活动．(1)【试验操作】取不同的x的值，计算代数式ax2＋bx＋3的值．
根据表格，计算出a，b的值；
(2)【观察猜想】试验小组组员通过观察表格，提出以下猜想：①代数式ax2＋bx＋3的值随着x的增大而减小；②当x＝1时，代数式ax2＋bx＋3有最小值，最小值是2．上述猜想中正确的是：________；(填写序号)(3)【验证猜想】请对正确的猜想进行证明；
(4)【归纳运用】根据试验经验解决下列问题：   如图所示，小丽想借助院中互相垂直的两面墙(墙体足够长)，在墙角区域用6 m长的篱笆围成一个长方形小菜园．当AB为何值时，长方形小菜园ABCD的面积最大，并求出最大面积．
(3)证明：由(1)知ax2＋bx＋3＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2．∵(x－1)2≥0，∴(x－1)2＋2≥2，当x＝1时，取等号，∴当x＝1时，代数式ax2＋bx＋3有最小值，最小值是2．(4)设AB＝x m，则AD＝(6－x) m，长方形的面积为S m2，则S＝x(6－x)＝－x2＋6x＝－(x－3)2＋9，∵－1＜0，∴当x＝3时，S有最大值，最大值为9，∴当AB＝3 m时，长方形小菜园ABCD的面积最大，最大面积为9 m2．
类型三　特殊三角形的存在性问题【典例3】　(2024·高唐一模)在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于点A(－1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C．(1)求抛物线的表达式及顶点坐标；(2)若点P为第四象限内抛物线上一点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；(3)若点P为抛物线上一点，点Q是线段BC上一点(点Q不与两端点重合)，是否存在以P，Q，O为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请写出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
[解]　(1)设抛物线的表达式为y＝a(x＋1)(x－3)＝a(x2－2x－3)，则－3a＝－3，解得a＝1，则抛物线的表达式为y＝x2－2x－3，由抛物线的表达式知，顶点坐标为(1，－4)．
(3)当∠QOP为直角时，则点Q与点B或点C重合，不符合题意；当∠OQP为直角时，即OQ⊥BC，则点P与点B或C重合，故点P的坐标为(3，0)或(0，－3)．
[对点演练]如图，二次函数y＝x2－2x－3的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，M为抛物线的顶点．(1)求A，B两点的坐标；(2)求△MBC的面积；(3)对称轴上是否存在点N，使得以B，C，N为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
类型四　特殊四边形的存在性问题【典例4】　如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C，连接AC，BC．
(1)求该抛物线及直线BC对应的函数表达式；(2)如图2，在BC上方的抛物线上有一动点P(不与B，C重合)，过点P作PD∥AC，交BC于点D，过点P作PE∥y轴，交BC于点E．在点P运动的过程中，请求出△PDE周长的最大值及此时点P的坐标；(3)如图3，若点P是该抛物线上一动点，问在点P运动的过程中，坐标平面内是否存在点Q，使以B，C，P，Q为顶点，BC为对角线的四边形是矩形？若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
归纳总结　特殊图形的存在问题，一定要分类讨论，考虑全面，防止漏掉答案的情况．
[解]　(1)由题意得，y＝a(x＋1)(x－3)＝a(x2－2x－3)，则－3a＝3，解得a＝－1，则抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3．
(2)如图，分别过点D，A作y轴的平行线交BC于点H，G，则△AEG∽△DEH，则DE∶AE＝DH∶AG＝1∶2，由点B，C的坐标得，直线BC的表达式为y＝－x＋3，则点G(－1，4)，即AG＝4，则DH＝2，设点D(x，－x2＋2x＋3)，则点H(x，－x＋3)，则DH＝2＝－x2＋2x＋3－(－x＋3)，解得x＝1或x＝2，即点D的坐标为(1，4)或(2，3)．
[对点演练]如图1所示，直线y＝x＋c与x轴交于A(－4，0)，与y轴交于点C，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A，C．(1)求抛物线的表达式；(2)点E在抛物线的对称轴上，求CE＋OE的最小值；(3)如图2所示，M是线段OA上的一个动点(不含端点)，过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P，N．若以C，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求△NPC的面积．
[解]　(1)将A(－4，0)代入y＝x＋c，∴c＝4，将A(－4，0)和c＝4代入y＝－x2＋bx＋c，∴b＝－3，∴抛物线的表达式为y＝－x2－3x＋4．
[对点演练](2024·肥城二模)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋2经过A(－1，0)，B(4，0)两点，D(x，y)为抛物线上第一象限内的一个动点．(1)求抛物线所对应的函数表达式；(2)当△BCD的面积最大时，求点D的坐标；(3)过点D作DE⊥BC，垂足为点E，是否存在点D，使∠DCE＝2∠ABC？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
(3)存在，理由：当∠DCE＝2∠ABC时，取点F(0，－2)，连接BF．∵OC＝OF，OB⊥CF，∴∠ABC＝∠ABF，∴∠CBF＝2∠ABC．∵∠DCE＝2∠ABC，∴∠DCE＝∠CBF，∴CD∥BF．
类型七　与圆相关的问题【典例7】　如图，在平面直角坐标系中，顶点为(4，－1)的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点(点B在点C的左侧)，已知A点坐标为(0，3)．(1)求此抛物线的表达式；(2)已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间(不与A，C重合)，连接AC．当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？求出此时点P的坐标；(3)过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明．
[对点演练]如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴分别相交于A，B两点，与y轴相交于点C，如表给出了这条抛物线上部分点(x，y)的坐标值：
(1)求出这条抛物线的表达式及顶点M的坐标；(2)P是抛物线对称轴上一动点，求△APC周长的最小值；(3)如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，△ABD的外接圆与DF相交于点E．试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
[解]　(1)根据表格可得出A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)，设抛物线的表达式为y＝a(x＋1)(x－3)，将C(0，3)代入，得3＝a(0＋1)(0－3)，解得a＝－1，∴y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴该抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3，顶点M坐标为(1，4)．
(3)线段EF的长为定值．理由如下：如图2，连接BE，设D(t，－t2＋2t＋3)，且t＞3，∵EF⊥x轴，∴DF＝－(－t2＋2t＋3)＝t2－2t－3，∵F(t，0)，∴BF＝OF－OB＝t－3，AF＝t－(－1)＝t＋1，∵四边形ABED是圆内接四边形，∴∠DAF＋∠BED＝180°，∵∠BEF＋∠BED＝180°，∴∠DAF＝∠BEF，