重庆市杨家坪中学教育集团2024-2025学年七年级下学期期中考试 数学试题（含解析）

这是一份重庆市杨家坪中学教育集团2024-2025学年七年级下学期期中考试 数学试题（含解析），共29页。
（全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1．各题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；
2．答题前认真阅读答题卡上的注意事项；
3．考试结束，由监考人员将答题卡收回，试题卷学生保管好，以备老师评讲试卷时用．
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑．
1. 下列四个数中，是无理数的是（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查无理数，根据无限不循环小数是无理数，进行判断即可．
【详解】解：，2，和中，，2，是有理数，是无理数；
故选C．
2. 下列四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据对顶角的定义作出判断即可．
【详解】解：A、∠1的两边不是∠2的两边的反向延长线，不是对顶角，不合题意；
B、∠1的两边不是∠2的两边的反向延长线，不是对顶角，不合题意；
C、∠1的两边是∠2的两边的反向延长线，是对顶角，符合题意；
D、∠1与∠2没有公共顶点，不是对顶角，不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查对顶角的定义，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．
3. 下列各点中，在第三象限的点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查判断点所在的象限，根据点的符号特征，判断点所在的象限即可，熟练掌握不同象限内点的符号特征，是解题的关键．
【详解】解：A、，在第四象限，不符合题意；
B、，在第二象限，不符合题意；
C、，在第三象限，符合题意；
D、，在第一象限，不符合题意；
故选C．
4. 估计的值在（ ）
A. 1和2之间B. 和0之间C. 2和3之间D. 和之间
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查无理数的估算，利用夹逼法进行估算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选A．
5. 若，则的算术平方根为（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查非负性，求一个数的算术平方根，根据非负性求出的值，再根据算术平方根的定义，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴的算术平方根为3；
故选D．
6. 对有理数x，y定义一种新运算“”，其中a，b为常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知，，那么的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查定义新运算，解二元一次方程组，根据新定义，列出二元一次方程组，进行求解即可，熟练掌握新定义，是解题的关键．
【详解】解：由题意，得：，
解得：，
∴；
故选A．
7. 下列命题是假命题的是（ ）
A. 同角的余角相等
B. 同位角相等，两直线平行
C. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D. 过点A作直线l的垂线，垂足为B，线段叫作点A到直线l的距离
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了判断真假命题，同角（或等角）的余角相等，平行线的判定，垂线性质，点到直线的距离，根据同角（或等角）的余角相等，平行线的判定，垂线性质，点到直线的距离，逐项进行判断即可．
【详解】解：A、同角的余角相等，是真命题，故该选项不符合题意；
B、同位角相等，两直线平行，是真命题，故该选项不符合题意；
C、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是真命题，故该选项不符合题意；
D、过点作直线的垂线，垂足为，线段的长度叫作点到直线的距离，原命题是假命题，故该选项符合题意；
故选：D．
8. 中国传统数学重要著作《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”译为“假设有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱．若乙把自己一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把自己的钱给乙，则乙的钱数也能为50．问甲、乙各有多少钱？”设甲的钱数为x，乙的钱数为y，根据题意，可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．根据题意可以找出题目中的等量关系，列出相应的方程组即可．
【详解】解：由题意，得
．
故选A．
9. 已知关于x，y的方程组，给出下列说法：①当时，方程组的解也是方程的一个解；②当x与y互为相反数时，；③不论a取什么实数，的值始终不变；④若，则．其中正确的是（ ）
A. ①②B. ①③C. ①②③D. ①③④
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是掌握方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．利用二元一次方程的解及方程组的解定义判断即可．
【详解】解：①当时，方程组为
①②得，
解得：
将代入②得，
解得：
方程组的解为：，
∴是方程的一个解，符合题意；
②关于，的方程组
①②得，
解得：
将代入②得，
方程组的解为：，
当当x与y互为相反数时，，
解得：，故②不符合题意；
③，不论取什么实数，的值始终不变，③符合题意；
④当时，方程组的解为：，
则，④不符合题意．
所以以上四种说法中正确的有①③．
故选：B．
10. 如图，与交于点，点在直线上，，，．下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ）个．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查平行线的性质与判定，过点作，，分别表示出、，即可分析出答案．
【详解】解：
①正确；
过点作，，

，
，
设，，则，
，
②正确；
，
，
而

③错误；
，
∴④正确．
综上所述，正确答案为①②④．
故选：C．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11. 36的平方根是______．
【答案】±6
【解析】
【详解】因为，
则36的平方根为±6，
故答案为±6
12. 将点先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查点的平移，根据平移规则左减右加，上加下减，进行求解即可，熟练掌握点的平移规则，是解题的关键．
【详解】解：由题意，得：点，即：；
故答案为：．
13. 如图，直线相交于点平分，则的度数为______．
【答案】##72度
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的定义，邻补角求角度，垂直的定义等知识，熟练掌握知识点是解题的关键．
先根据垂直的定义以及求出的度数，再根据邻补角互补求出，最后由角平分线的意义即可求解．
【详解】∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
故答案为：．
14. 数a、b、c在数轴上对应的位置如图，化简的结果为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查绝对值的性质，算术平方根以及立方根的性质；根据有理数、、在数轴上的位置，得到它们之间的大小关系，再利用绝对值及算术平方根和立方根的性质去化简原式求出结果．
【详解】解：根据有理数、、在数轴上位置，得到，且，
∴，
∴
．
故答案是：．
15. 已知长方形纸片，、分别是、上的一点，点在边上，连接，，将沿所在的直线对折，点落在点处，沿所在的直线对折，点落在点处．如图，当与重合时，则__________；如图2，当重叠角时，则__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了折叠的性质，角的计算，熟练掌握相关知识进行求解是解题的关键．
（1）根据折叠的性质可得，再根据，即可得到；
（2）令，，结合图形，推导出x与y的和即可求得答案．
【详解】解：由折叠的性质得，，
，
，
令，，
，
，，
，
即，
∴，
∴；
故答案为：，．
16. 一个各数位数字互不相等且均不为0三位正整数，若百位数字与个位数字之和减去4等于十位数字，则称这个三位数为“至善数”，例如：631，因为，则称631是“至善数”；则最大的“至善数”与最小的“至善数”之差是__________；若正整数，记．且，是两个不同的“至善数”（，，，且y，z，m，n均为整数），且能被17整除，的值是__________．
【答案】 ① ②.
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，新定义、数的整除等知识，分类讨论是解题的关键
根据最大的“至善数”可得，进而根据定义求得，同理求得最小的“至善数”的，再求得的值，求两数的差，即可求解．，是两个不同的“至善数”，可得方程组；再根据列代数式，最后根据能被17整除进行分类讨论，即可得答案．
【详解】解：∵是“至善数”，
∴，则
最大的“至善数”可得，则，则最大的“至善数”为
最小的“至善数”的，则，则最小的“至善数”为
∵，是两个不同的“尚美数，
得，即，
．
∵，，，
．
∵能被整除，
∴或或或或51．
①当时，即，
∴，
当时，，，，
∴
②当时，
当时，，，，
∴
③当时，
当时，，，，
∴（舍去）
④当时，
当时，，，，
∴
⑤当时，
当时，，，，
∴，（相同，舍去）
综上所述，，
故答案为：；．
三、解答题：（本大题8个小题，17题16分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
17. （1）计算：
（2）计算：
（3）解方程：
（4）解方程：
【答案】（1）；（2）；（3）或；（4）
【解析】
【分析】本题主要考查了实数与有理数的混合运算，熟练掌握运算顺序与运算法则是解题的关键．
（1）利用算术平方根的定义和立方根化简各式，然后合并即可；
（2）先去绝对值，化简算术平方根与立方根，然后进行合并即可；
（3）原式进行移项，然后开平方即可计算；
（4）原式进行移项，然后开立方即可计算．
【详解】解：（1）
（2）
（3）
∴
∴或
（4）
∴
∴
18. 解下列方程组．
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握消元法解方程组是解题的关键：
（1）利用代入消元法解方程组即可；
（2）利用加减消元法解方程组即可．
【小问1详解】
解：
把①代入②，得：，解得：；
把代入①，得：；
∴方程组的解为：；
【小问2详解】
原方程组转化为：
，得：，解得：；
把代入③，得：，解得：；
∴方程组的解为：．
19. 把下列推理过程补充完整：
如图，已知交BC于点M，交BC于点E，，，求证：．
证明：，，
，（ ① ）．
（等量代换）．
（ ② ）．
③ （两直线平行，同位角相等）．
，
（等量代换）．
（内错角相等，两直线平行）．
，
（内错角相等，两直线平行）．
（ ⑤ ）．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据垂直的定义，平行线的判定方法，平行线的性质进行作答即可，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
【详解】证明：，，
，（垂直的定义）．
（等量代换）．
（同位角相等，两直线平行）．
（两直线平行，同位角相等）．
，
（等量代换）．
（内错角相等，两直线平行）．
，
（内错角相等，两直线平行）．
（平行于同一条直线的两直线平行）．
20. 数学阅读是学生个体根据已有的知识经验，通过阅读数学材料建构数学意义和方法的学习活动，是学生主动获取信息，汲取知识，发展数学思维，学习数学语言的途径之一．
请你先阅读下面材料，然后再根据要求解答提出的问题：
问题情境：设a，b是有理数，且满足，求的值．
解：由题意得，
，b都是有理数，，也是有理数，
是无理数，，，
，，
解决问题：设m，n都是有理数，且满足，求的平方根．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查求一个数平方根，实数的运算，仿照题干的解题思路，得到，进而求出的值，再根据平方根的定义，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：
∵m，n都是有理数，
∴为有理数，
∵为无理数，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴的平方根为或．
21. 平面直角坐标系中，三角形的顶点坐标分别是，，，．
（1）三角形向右平移个单位长度得到三角形，请在图中画出平移后的三角形；
（2）求三角形的面积；
（3）点在轴的负半轴上，连接，交于点，是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）
（3），理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，掌握坐标与图形，图形的平移，“割补法”求不规则图形的面积等知识是解题的关键．
（1）根据图形平移的规律即可求解；
（2）运用“割补法”求不规则图形的面积即可；
（3）连接，设，分别求得，，进而根据图形可得，即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，三角形即为所求，
【小问2详解】
解：三角形的面积为
【小问3详解】
解：如图所示，
连接，设，
∴
∵
∵
∴
解得：
∴
22. 如图，在中，点E，F在边上，点D在边上，点G在边上，连接，与的延长线交于点H，，．
（1）求证：；
（2）若，且，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定方法，是解题的关键：
（1）同位角相等，两直线平行得到，进而得到，进而得到，即可得证；
（2）两直线平行同位角相等，得到，进而得到，结合，进行求解即可．
小问1详解】
证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
由（1）知：，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
23. 列方程解应用题
今年春节期间，坐落于彩云湖畔的“彩云灯会”盛况空前，景区购进富贵牡丹、龙腾虎跃两种手工灯笼销售，其进价如下：
（1）灯会第一天，景区共购进富贵牡丹、龙腾虎跃两种手工灯笼共80个，进货款恰好为2300元．求这两种灯笼各购进多少个？
（2）为提升人气，第二天景区决定增加购入进价15元／个的吉祥如意灯笼，并推出促销方案：“买4个富贵牡丹灯笼送1个吉祥如意灯笼，买5个龙腾虎跃灯笼送2个吉祥如意灯笼．若进货款比第一天多了490元，第二天购进数量恰好满足促销方案，求三种灯笼各购进多少个？
【答案】（1）富贵牡丹、龙腾虎跃两种手工灯笼各购进个和个
（2）购进富贵牡丹灯笼40个，龙腾虎跃灯笼40个，吉祥如意灯笼26个
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程组是解题的关键：
（1）设富贵牡丹、龙腾虎跃两种手工灯笼各购进个和个，根据共购进富贵牡丹、龙腾虎跃两种手工灯笼共80个，进货款恰好为2300元，列出方程组进行计算即可；
（2）设富贵牡丹购进个，龙腾虎跃购进个，则吉祥如意购进个，根据进货款比第一天多了490元，列出方程，求出正整数解即可．
【小问1详解】
解：设富贵牡丹、龙腾虎跃两种手工灯笼各购进个和个，由题意，得：
，解得：，
答：富贵牡丹、龙腾虎跃两种手工灯笼各购进个和个；
【小问2详解】
设富贵牡丹购进个，龙腾虎跃购进个，则吉祥如意购进个，由题意，得：
，
化简得：，
∵均为正整数，
∴经过试数可得，，
∴富贵牡丹灯笼的个数为：个
龙腾虎跃灯笼的个数为：个
吉祥如意灯笼的个数为：个
答：购进富贵牡丹灯笼40个，龙腾虎跃灯笼40个，吉祥如意灯笼26个．
24. 已知直线，现将一个含的三角板按照如图放置，使点，分别在直线，上，，，平分交直线于点，且．
（1）直接写出__________；__________．
（2）将一个含有的三角板按照如图所示放置，直角顶点与点重合，直角边与重合．若将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，设旋转时间为秒．
①若三角板保持不动，作的角平分线，当时，求的值；
②若三角板同时绕点以每秒的速度顺时针旋转，在旋转过程中，当边与三角板的一条直角边平行时，直接写出所有满足条件的的值．
【答案】（1），
（2）①或；②，．
【解析】
【分析】（1）根据题意可得，由平行线的性质可得，再结合角平分线的定义，角的和差关系，可得的度数，根据平行线的性质可得的度数．
（2）①根据题意分成在内部时，在内部时两种情况分别讨论，结合角平分线的定义，一元一次方程即可求解．
②分成两种情况分别讨论，结合平行线的性质，邻补角，一元一次方程的应用，三角形内角和即可求解．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：，．
【小问2详解】
解：①若在内部时，，
则，
又∵，是的角平分线，
∴，
∴，
解得：；
若在内部时，则，
又∵，是的角平分线，
∴，
∴，
解得：；
综上，或．
②当时，如图，设与交于点，
∵，，
∴，
∵，
又，
∴，
∴，
解得：；
如图所示，当时，
∴，
∵，
∴，
解得：；
∴当边与三角板的一条直角边平行时，的值为，．
【点睛】本题考查了平行线的性质，邻补角，角平分线的定义，一元一次方程的应用，三角形内角和的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．类型
进价（元／个）
富贵牡丹
25
龙腾虎跃
35