陕西省西咸新区2024-2025学年七年级下学期期中 数学试卷（北师大版）（含解析）

这是一份陕西省西咸新区2024-2025学年七年级下学期期中 数学试卷（北师大版）（含解析），共29页。试卷主要包含了本试卷共6页，满分120分；等内容，欢迎下载使用。
七年级数学试题（卷）（北师大版）
老师真诚地提醒你：
1．本试卷共6页，满分120分；
2．答卷前请将密封线内的项目填写清楚；
3．书写要认真、工整、规范；卷面干净、整洁、美观．
第一部分（选择题共24分）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的，请将正确答案的序号填在题前的答题栏中）
1. 下列事件是随机事件的是（ ）
A. 三角形内角和是B. 经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯
C. 煮熟的种子会发芽D. 将3个人分成两组，有2人分在一组
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，熟练掌握概念是解题的关键．根据必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件逐项进行对事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】解：A、三角形的内角和为，是必然事件，不符合题意；
B、经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯，是随机事件，符合题意；
C、煮熟的种子会发芽，是不可能事件，不符合题意；
D、将3个人分成两组，有2人分在一组，是必然事件，不符合题意；
故选：B．
2. 一粒灰尘的质量约为，将数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据用科学记数法表示较小的数一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定求解即可．
【详解】解：，
故选：D．
3. 转动转盘，指针停在甲区域和乙区域的概率分别为P（甲）和P（乙），则下列关系正确的是（ ）
A. P（甲）P（乙）B. P（甲）P（乙）
C. P（甲）P（乙）D. 无法比较P（甲）和P（乙）的大小
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了几何概率，灵活运用所学知识是解题的关键．先分别求出甲区域和乙区域各占圆面积的占比，转换成概率即可得出答案．
【详解】解：由图可知，甲区域占该圆总面积的，则甲区域占该圆总面积的，
因此指针停在甲区域和乙区域的概率分别为和，
所以P（甲）P（乙），
故选：B．
4. 如图，已知与，其中与相交，下列结论中错误的是（ ）
A. 与是同旁内角B. 与是对顶角
C. 与是同位角D. 与是内错角
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了同旁内角、对顶角、同位角、内错角，熟练掌握各类角的概念是解题的关键．根据同旁内角、对顶角、同位角、内错角的定义和所在位置关系，即可判断各个角之间的关系．
【详解】A、同旁内角：在截线同侧，在两条被截线之间，那么与是同旁内角，故A正确，不符合题意；
B、对顶角：如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角，那么与是对顶角，故B正确，不符合题意；
C、同位角：在截线同侧，在两条被截线同一方，那么与不是同位角，故C错误，符合题意；
D、内错角：在截线两侧，在两条被截线之间，那么与是内错角，故D正确，不符合题意．
故选：C．
5. 如图，已知，，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查三角形外角性质，平行线的性质的应用，解此题的关键是求出的度数，注意：两直线平行，同位角相等．
延长交于F，根据平行线的性质求出，求出，根据三角形外角性质得出．
【详解】解：延长交于F，如图所示：
∵，
∴
∵
∴
∴．
故选：D．
6. 下列各式中，计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，零指数幂，单项式除以单项式，熟练掌握各运算法则是解题的关键．根据合并同类项，同底数幂的乘法，零指数幂，单项式除以单项式的运算法则逐项判断即可．
【详解】解：A、和不是同类项，所以不能合并，故该选项错误；
B、，故该选项错误；
C、因为，所以，故该选项正确；
D、，故该选项错误；
故选：C．
7. 如图，，垂足为，，，．是线段上的任意一点，连接，的长不可能是（ ）
A. 11B. 12C. 13D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了垂线段的性质，三角形中的等面积法，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据垂线段最短可知，当时，取得最小值，利用等面积法求出的最小值，即可从选项中找出答案．
【详解】解：作于点，如图，
，垂足为，，，，
，即，
，
是线段上的任意一点，连接，
当点与点重叠时取得最小值，最小值为12，
的长不可能是11，
故选：A．
8. 如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③；④平分．其中正确结论的个数是（ ）

A 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、垂线的定义．先根据平行线的性质可得，进而由角平分线的定义得到，再由垂线的定义得到，则由三角形内角和定理得到，由此即可判断①②；根据平行线的性质可得，，但题干未知的大小，由此即可判断③和④．
【详解】解：延长，交于I．

，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴①正确；②错误，
∵平分，
，
，
，
，故③正确
根据现有条件无法证明平分，故④错误，
故选：B．
第二部分（非选择题 共96分）
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据任何不等于零的数的（为正整数）次幂，等于这个数的次幂的倒数，即（，为正整数）进行计算即可．
【详解】解：
故答案为：．
10. 若，则______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的除法逆用法则，根据同底数幂的除法逆用法则得出即可求解．
详解】解： ，
故答案为：3．
11. 如图，已知，，平分，且交于点，则的度数为_______
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的有关计算，平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据角平分线的定义得出，再根据平行线的性质即可得出答案．
【详解】解：平分，，
，
，
又，
，
．
故答案为：．
12. 已知：，，则的值为_______．
【答案】45
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握公式结构是解题的关键．根据完全平方公式把再加上，可得到，代入数据求解即可．
【详解】解：，，
．
故答案为：45．
13. 若干个大小形状完全相同的小长方形，现将其中4个如图1摆放，构造出一个正方形，其中阴影部分面积为36；其中5个如图2摆放，构造出一个长方形，其中阴影部分面积为96（各个小长方形之间不重叠不留空），则每个长方形的面积为_______．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式，多项式乘以多项式在几何图形中应用，熟练的应用整式的乘法运算解决问题是解题的关键．设小长方形的长为，宽为，由图1可得，，由图2可得，，再利用整体思想进行变形求解即可．
【详解】解：设小长方形的长为，宽为，
由图1可得，，即①，
由图2可得，，即②，
将②代入①，得，
解得：，
即长方形的面积为6，
故答案为：6．
三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程）
14. 利用乘法公式计算．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了运用平方差公式进行简便计算．根据算式中数字的特点把写成的形式，然后运用平方差公式展开，得到：原式，去括号合并同类项可得结果．
【详解】解：
．
15. 如图，如果，那么、、各是多少度？
【答案】；；
【解析】
【分析】本题考查了对顶角，邻补角，熟练掌握对顶角和邻补角的定义是解题关键．根据对顶角相等可知，结合得到，再根据邻补角的定义可知，求出的度数即可．
【详解】解：，，
，
，
．
16. 现对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下：
（1）求，的值；
（2）估计任抽一件衬衣是合格品的概率．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】本题考查了求某事件的频率，利用频率估计概率，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据合格率合格数抽取件数计算即可；
（2）根据7批次衬衫从50件增加到1000件时，衬衣的合格率趋近于0.95，所以估计衬衣合格的概率为0.95．
【小问1详解】
解：根据题意，；
．
答：的值为，的值为．
【小问2详解】
抽取件数为1000时，合格的频率趋近于0.95，
估计任抽一件衬衣是合格品的概率为0.95．
17. 已知一个角的余角的4倍与这个角的补角的和是，求这个角的度数．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了余角，补角，一元一次方程的应用，熟练掌握定义，找出等量关系列出方程是解题的关键．设这个角的度数为，根据这个角的余角的4倍与这个角的补角的和是，列方程求解即可．
【详解】解：设这个角的度数的度数为，
根据题意，得，
解得．
这个角的度数为．
18. 已知，．求的值．
【答案】344
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握公式结构是解题的关键．根据完全平方公式把再减去，可得到，代入数据求解即可．
【详解】解：，，
．
19. 如图，已知，．与平行吗？为什么？
【答案】平行，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．根据题意，由同旁内角互补可推出，从而得到，然后由内错角相等即可证明．
【详解】解：平行，理由如下：
，
，
，
，
又，
，
．
20. 在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球4个，白球6个，黑球5个．
（1）求任意摸出一个球是黑球的概率；
（2）要使摸到红球和白球的概率相等，白球的个数不变，红球需要增加几个？
【答案】（1）
（2）2
【解析】
【分析】本题考查了简单事件的概率计算，熟练掌握该知识点是解题的关键．
（1）根据简单事件的概率计算公式求解即可；
（2）根据要使摸到红球和白球的概率相等，即红球的个数等于白球的个数，进行求解即可．
小问1详解】
解：因为红球4个，白球6个，黑球5个，
所以盒子中球的总数为：（个），
所以任意摸出一个球是黑球的概率为．
【小问2详解】
解：因为要使摸到红球和白球的概率相等，
所以要使红球的个数等于白球的个数，
因为红球4个，白球6个，白球的个数不变，
所以红球需要增加（个）．
21. 已知：如图，∠1=∠2，∠A=∠D．求证：∠B=∠C．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】先证明AB∥CD，得到∠B=∠BFD，再证明CE∥BF，得到∠C=∠BFD，则∠C=∠B．
【详解】证明：∵∠A=∠D，
∴AB∥CD．
∴∠B=∠BFD．
∵∠1=∠2，∠2=∠AHB，
∴∠1=∠AHB．
∴CE∥BF．
∴∠C=∠BFD．
∴∠B=∠C．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的技巧是通过角相等得到线段平行，再提供平行线得到角相等．
22. 老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：．
（1）求所捂的多项式；
（2）若，，求所捂多项式的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了多项式除以单项式，代数式求值，熟练掌握多项式除以单项式的运算法则是解题的关键．
（1）根据乘除法互为逆运算，只需要计算出的结果即可得到答案；
（2）把，，代入（1）所求结果中计算求解即可．
【小问1详解】
解：
所捂的多项式为．
【小问2详解】
解：当，时，．
23. 如图，，于点．
（1）若，则_______；
（2）若与互为余角．试说明：．
以下是小明的解答过程，请你将小明的解答过程和推理依据补充完整．
解：因为（已知），
所以_______．
因为，
所以（ ），
所以（ ），
所以，
因为与互为余角（已知），
所以_______．
所以_______（等量代换），
所以（ ）．
【答案】（1）
（2）；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；；内错角相等，两直线平行．
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，余角的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据可推出，从而得到即可得到答案；
（2）根据平行线的性质和判定即可得到答案．
【小问1详解】
解：，
，
，
，
．
故答案为：．
【小问2详解】
解：因为（已知），
所以．
因为，
所以（同位角相等，两直线平行），
所以（两直线平行，同位角相等），
所以，
因为与互为余角（已知），
所以．
所以（等量代换），
所以（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；；内错角相等，两直线平行．
24. 比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，如：，，在底数（或指数）不相同的情况下，可以化成同底数（或指数）幂，进行比较，如：比较与的大小，因为，，所以，即．
（1）比较，的大小；
（2）比较，，的大小．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了幂的运算，掌握幂的乘方法则是解题的关键．
（1）转化为同底数幂，，然后比较指数即可；
（2）转化为同指数，，，然后比较底数即可．
【小问1详解】
解：，，
，
．
【小问2详解】
解：，，，
，
，
．
25. 如图，和谐广场有一块长为米、宽为米的长方形空地，角上有两块边长均为米的小正方形空地，现要将阴影部分进行绿化．（单位：米）
（1）用含有，的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）；
（2）若，，求出绿化的总面积．
【答案】（1）平方米
（2）13200平方米
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式，多项式乘以多项式在几何图形中的应用，熟练的应用整式的乘法运算解决问题是解题的关键．
（1）根据绿化的总面积等于大长方形面积减去小正方形面积计算即可；
（2）把，，代入（1）所求结果中计算求解即可．
【小问1详解】
解：根据题意，
绿化的总面积为平方米．
【小问2详解】
解：当，时，（平方米），
绿化的总面积为13200平方米．
26. 问题情境：如图1，，，，求的度数．小明的思路是过点P作，通过平行线的性质来求．
（1）按照小明的思路，求度数；
问题迁移：
（2）如图2，，点P在射线上运动，当点P在A、B两点之间运动时，，．之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你写出间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）当在延长线时，；当在延长线时，，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，熟悉平行线的性质，作出合适的辅助线是解决问题的关键．
（1）过作，通过平行线性质求即可；
（2）过作交于，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案；
（3）画出图形，根据平行线的性质得出，，即可得出答案．
【详解】解：（1）过点作，如图所示，
，
，
，，
，，
，，
；
（2），
理由是：如图3，过作交于，
，
，
，，
；
（3）当在延长线时，如图所示，
，
，，
．
当在延长线时，如图所示，
，
，，
．抽取件数（件）
50
100
150
200
500
800
1000
合格数
48
95
141
190
480
760
950
合格率