河南省周口市项城市第一初级中学2024-2025学年七年级下学期期中考试 数学试卷（含解析）

这是一份河南省周口市项城市第一初级中学2024-2025学年七年级下学期期中考试 数学试卷（含解析），共18页。
1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．
2．请按要求把答案填写在试卷或答题卡上．
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 下列事件中，是必然事件的是（ ）
A. 2025年6月1日是晴天
B. 若a，b互为相反数，则
C. 若某抽奖活动的中奖概率为，则抽奖100次必中奖1次
D. 在一个只装有红球的盒子里摸到白球
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查事件发生的可能性大小．在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件，在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．掌握必然事件的有关概念是解题的关键．根据必然事件的概念依次判断即可．
【详解】解：A、2025年6月1日是晴天，是随机事件，不符合题意；
B、若a，b互为相反数，则，是必然事件，符合题意；
C、若某抽奖活动的中奖概率为，则抽奖100次必中奖1次，是随机事件，不符合题意；
D、在一个只装有红球的盒子里摸到白球，是不可能事件，不符合题意；
故选B
2. 如图，，，所以与重合，推理的理由是（ ）
A. 两点确定一条直线B. 过一点只能作一条直线
C. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D. 垂线段最短
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了直线外一点到直线的垂线，掌握在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直是解题的关键．根据在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直即可求解．
【详解】解：，，则与重合，推理的理由在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，
故选：C ．
3. 下列图形中，和是内错角的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据内错角的定义：两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角，即可得出答案．
【详解】解：上列四幅图中，和是内错角的是．
故选：C．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查同底数幂的乘法，合并同类项，同底数幂的除法和积的乘方，掌握运算法则是解题关键．根据同底数幂的乘法，合并同类项，同底数幂的除法和积的乘方法则进行计算求解，然后作出判断．
【详解】解：A． ，故A错误；
B． ，故B错误；
C． ，故C正确；
D．，故D错误．
故选：C．
5. 如图，两块直角三角板的直角顶点O重合在一起，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用互余的定义，先求出的度数，然后求出的度数即可．
本题考查的是余角和补角，解题的关键是求出角的度数．
【详解】解：∵，
∴，
故选：B．
6. 如图，在下列条件中能判定的有（ ）
A. B.
C. 且D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了平行线的判定，根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行可得答案．关键是掌握平行线的判定定理．
【详解】解：A、当时，可得，不合题意；
B、当时，无法得到，不合题意；
C、当且时，可得，可得，符合题意；
D、当时，可得，不合题意．
故选：C．
7. 若等式x2+ax+19＝（x﹣5）2﹣b成立，则 a+b的值为（ ）
A. 16B. ﹣16C. 4D. ﹣4
【答案】D
【解析】
【详解】分析：已知等式利用完全平方公式整理后，利用多项式相等的条件求出a与b的值，即可求出a+b的值．
详解：已知等式整理得：x2+ax+19=（x-5）2-b=x2-10x+25-b，
可得a=-10，b=6，
则a+b=-10+6=-4，
故选D．
点睛：此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题关键．
8. 某同学在计算乘一个多项式时错误地计算成了加法，得到的答案是，由此可以推断正确的计算结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是单项式乘多项式、整式的加减混合运算．首先根据整式的减法法则求出原来的多项式，再根据单项式与多项式相乘的运算法则计算，得到答案．
【详解】解：
，
．
故选：C．
9. 如图，一个大长方形由4个小长方形组成，小长方形又可以组成不同的大长方形，从这些长方形中任选一个，则所选长方形含点P的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．根据题意两条横线和两条竖线都可以组成矩形个数，再得出含点P矩形个数，进而利用概率公式求出即可．
【详解】解：两条横线和两条竖线都可以组成一个矩形，
则如图的三条横线和三条竖线可以组成9个矩形，其中含点P矩形4个，
∴所选矩形含点P的概率是
故选：B
10. 表示由三个互不相等的正整数组成的一个数组，表示由它生成的第一个数组（相邻两项相乘作为左边的数，最后一个与第一个相乘作为最后一个数）、（，，）表示由它生成的第二个数组，按此方式可以生成很多数组，记开始三个数之积为，第1个数组的三个数之积为，第n个数组的三个数之积为（n为正整数）．
对于任意的正整数m，n，下列说法：
①若，则k可以是奇数，也可以是偶数；②；③的最小值是36；其中正确的有（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查同底数幂的乘法、单项式乘以单项式，数字类规律探究，理解题意是解答的关键．先根据前几个变化规律得到，再逐一分析各说法即可求解．
【详解】解：由题意，第一组数组为，
第二组数组为，
则第三组数组为，第四组数组为，
，
，
，
，
，
此次类推，n为正数，
，
为正整数，
为偶数，故①不符合题意；
，
，
，故②不符合题意；
，n为正整数，表示由三个互不相等的正整数组成的一个数组，
当，时最小，
的最小值为，故③符合题意，
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 比较大小：______．（填“”“”或“”）
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了幂的乘方．此题难度不大，注意掌握公式的逆用是解此题的关键．由幂的乘方可得，结合，继而求得答案．
【详解】解：∵，
又∵，
∴．
故答案为：．
12. 2025年3月3日，郑州出现降雪，雪花漫天飞舞！“夜深知雪重，时闻折竹声．”这是白居易《夜雪》中对雪的描写．单个雪花的重量其实很轻，只有左右，用科学记数法可表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法，根据科学记数法的表示形式直接求解即可．
【详解】解：，
故答案：．
13. 如图，直线，一块含有的直角三角板按如图所示放置．若，则的大小为_____．
【答案】##70度
【解析】
【分析】本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质．利用对顶角相等求得的度数，再利用三角形的外角性质求得的度数，最后利用平行线的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
14. 如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为__________．（精确到）
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解题意，能从复杂的题目背景当中找到关键点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高．首先假设不规则图案面积为x，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解．
【详解】解：假设不规则图案面积，
由已知得：长方形面积为，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：，
当事件试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件发 生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.3， 综上有：，
解得．
故答案为：6．
15. 如图1纸片（），将按如图2所示沿着折叠至，与线段交于，，点在线段上，若将按如图3所示沿着折叠至，且在线段的延长线上，点在线段上，则______．（用含的式子表示）

【答案】
【解析】
【分析】先根据邻补角性质求得，再由平行线性质与折叠性质求得，再根据折叠性质求得，最后用角的和差求得结果便可．
【详解】解：，
，
，
，
，
由折叠性质得，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，折叠性质，角的和差，关键是根据平行线的性质解题．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是零次幂，负整数指数幂的含义，整式的混合运算；
（1）利用乘法公式与单项式乘以多项式计算乘法运算，再合并同类项即可；
（2）先计算乘方，零次幂，负整数指数幂，再合并即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
；
17. 如图，所有小正方形的边长都为1个单位，均在格点上．
（1）过点C画的平行线；
（2）过点A画的垂线，垂足为G；
（3）过点A画的垂线，交于点H；
（4）线段______的长度是点H到直线的距离．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
（3）见详解 （4）
【解析】
【分析】本题考查作图-应用与设计作图，点到直线的距离，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形．
（1）根据平行线的判定画出图形；
（2）根据垂线的定义画出图形；
（3）根据垂线的定义画出图形；
（4）根据点到直线的距离判断即可．
【小问1详解】
解：如图，直线即为所求；
【小问2详解】
如图，直线即为所求；
【小问3详解】
如图，直线即为所求；
小问4详解】
线段的长度是点H到直线的距离．
18. 如图，在四边形中，点E，F分别在，上，，，，G为的延长线上一点，试说明．请将下面的过程补充完整．
解：因为，（已知），
所以（①______）．
所以②____________（③______）．
因为（已知），，
所以④______（⑤______）．
所以⑥____________（⑦______）．
所以（⑧______）．
所以（⑨______）．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查的是垂直的定义，平行线的判定与性质，根据题干信息的提示逐步完善推理依据与推理过程即可．
【详解】解：因为，（已知），
所以（①垂直的定义）．
所以②（③同位角相等，两直线平行）．
因为（已知），，
所以④（⑤同角的补角相等）．
所以⑥（⑦内错角相等，两直线平行）．
所以（⑧平行于同一直线的两直线平行）．
所以（⑨两直线平行，同位角相等）．
19. 2025年3月1日是中国民间传统节日“龙抬头”，这一天寓意着万物复苏、生机勃发．在这个特殊的日子，“学好中国字 做好中国人”文化行动北京研讨会在北京吴东魁艺术馆隆重举行．如图，一个转盘被平均分成10等份，分别标有“学”“好”“中”“国”“字”“做”“好”“中”“国”“人”这10个汉字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的汉字即为转出的汉字．
（1）转动转盘，当转盘停止时，指针指向“国”的概率是______，指针指向汉字的笔画数是偶数的概率是______；
（2）小明和小华利用该转盘做游戏，当转出的汉字笔画多于6画时小明获胜，否则小华获胜．请你判断这个游戏是否公平？并说明理由．
【答案】（1），
（2）游戏不公平，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．实际考查概率的计算与游戏公平性的理解，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）分别计算出小明、小华获胜的概率，判断大小关系即可得出答案．
【小问1详解】
解：转动转盘，当转盘停止时，指针指向“国”的概率是，
指针指向汉字的笔画数是偶数的有：“学”“好”“中”“国”“字” “好”“中”“国”“人”，有9个，故指针指向汉字的笔画数是偶数的概率是；
【小问2详解】
解：游戏不公平，理由如下：
10个汉字中笔画多于6画有：“学” ，“国” ，“国”， “做”，
10个汉字中笔画不多于6画的有： “好”“中” “字” “好”“中” “人”，
所以小明获胜的概率为，
小华获胜的概率为，
小明获胜的概率小华获胜的概率，
所以游戏不公平．
20. 如图，正方形的边长为，正方形的边长为，图中阴影部分的面积可以用正方形的面积与正方形的面积的差来计算；也可以用长方形的面积与长方形的面积的和来计算．
（1）根据图中阴影面积的不同计算方式，请直接写成，，之间的等量关系；
（2）根据（）中得到的等量关系，解决下面的问题：
①计算：；
②若，求的值．
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】（）根据阴影面积的不同计算方式列式表示即可求解；
（）①利用（）中得到的等量关系解答即可求解；②把代入等式左边得，再利用（）中得到的等量关系解答即可求解；
本题考查了平方差公式的应用，根据图形可得等量关系是解题的关键．
【小问1详解】
解：图中阴影部分的面积看作用正方形的面积与正方形的面积的差，即；
图中阴影部分的面积也可以用长方形的面积与长方形的面积的和，即，
∴；
【小问2详解】
解：①原式

；
②∵
，
∵，
，
解得．
21. 在一节数学课上，老师与同学们以“同一平面内，点O在直线上，用三角尺画，使；作射线，使平分”为问题背景，展开研究．
（1）如图1，当时，求的度数；
（2）如图2，请你通过所学习的相关知识说明．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线、角的和差、邻补角等知识点，弄清楚角之间的关系成为解题的关键．
（1）分别求得、，再由角平分线的性质得，再根据即可解答；
（2）由邻补角的性质可得；根据角平分线的定义可得，设，所以，然后用x表示出分别求得、，然后比较即可解答；
【小问1详解】
解：由图1可知：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，即；
【小问2详解】
解：由图2知：
∵平分，
∴，
设，所以，
∵，
∴，
∴，
∵且，
∴；
22. 在学习多项式乘多项式之后，我们知道的结果是一个多项式，并且最高次项为，常数项为．那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．通过观察，我们发现一次项系数就是：，即一次项为．
参考材料中用到的方法，解决下列问题：
（1）计算所得多项式的一次项系数；
（2）若计算所得多项式中不含一次项，求a的值；
（3）如果，则______．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】此题考查了多项式与多项式的乘法运算，准确理解并掌握题目中的求多项式的某次项的系数的方法是解答此题的关键．
（1）直接根据材料中的方法，求多项式的一次项系数即可；
（2）先利用材料中的方法，求一次项的系数，然后其系数等于零求解即可；
（3）求即多项式中一次项的系数，利用材料中的方法计算即可．
【小问1详解】
解：由题意可得：一次项系数为，
【小问2详解】
解：根据题意，得一次项系数，
解得；
【小问3详解】
解：的一次项系数为，
．
23. 如图，，，的平分线交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）探究，，之间的数量关系，并说明理由；
（3）若，．求的度数．
【答案】（1）见解析 （2），理由见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角度的和差，角平分线，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
（1）根据两直线平行，同旁内角互补得出，结合已知，得到，于是问题得证；
（2）过点作，于是有，根据两直线平行，同旁内角互补得出，，两式相加即可证明；
（3）先得出，由，求出，，则可求出，利用角平分线定义求出，结合即可求解．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：，
理由：
如图，过点作，
由（1）知，
∴，
∴，，
∴，
即；
【小问3详解】
解：∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵的平分线交的延长线于点，
∴，
∵，
∴．