河南省项城市第一初级中学2024-2025学年七年级下学期第一次月考 数学试卷（含解析）

这是一份河南省项城市第一初级中学2024-2025学年七年级下学期第一次月考 数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．计算的值为（ ）
A．3B．6C．9D．10
2．下列算式中，可以用完全平方公式进行计算的是（ ）
A．B．
C．D．
3．在2025年蛇年春晚上，一群会跳舞、能抛手绢的人形机器人惊艳亮相，机器人的研发也成为当今时代科研的重点．中国科学院研发出新型的工业纳米机器人，其大小约为．已知，则用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
4．下面是小明同学计算的过程：
解：
①
②
．．．．．③
则步骤①②③依据的运算性质分别是（ ）
A．同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法
B．同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方
C．幂的乘方，同底数幂的除法，同底数幂的乘法
D．幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法
5．下列算式中，计算结果是的是（ ）
A．B．C．D．
6．已知，则的值为（ ）
A．9B．10C．12D．15
7．如图，我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，介绍了展开式的系数规律，称为“杨辉三角”．如：中各项的系数，正好对应第3行中的1，2，1，则的展开式中第3项的系数为（ ）
A．5B．6C．10D．15
8．若（其中为正整数），则的值分别为（ ）
A．30，10B．3，11C．15，10D．10，10
9．公园里有一个长为，宽为的长方形花坛，现要在花坛四周放置长椅，如图所示，已知长椅的宽度为，则长椅的面积为（ ）
A．B．
C．D．
10．已知两个整式和，将这两个整式的和除以2，得到的结果放在这两个整式之间，可以产生第1个整式串：，，称为第1次操作．再将第1个整式串中任意相邻的两个整式，都按上述方式进行第2次操作，可以得到第2个整式串：，以此类推，下列说法：①第3个整式串中，从左往右数第2个整式与从右往左数第2个整式的积为；②第3个整式串中，所有整式的和为；③第2025个整式串中，共有个整式．其中正确的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
二、填空题（本大题共5小题）
11．计算： ．
12．已知，则的值为 ．
13．已知，则的值为 ．
14．如图所示的一个长方形被分成形状和大小不同的5个部分，已知①②③④都是正方形，⑤是一个长方形．若正方形②的边长是正方形①的边长的3倍，则长方形⑤的面积是正方形①的面积的 倍．
15．在学习整式的除法之后，小婷通过延伸发现：两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母的降幂排列，然后仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．如图，计算时，可以仿照用竖式计算．请你仿照上面的例子计算的结果为 ．
三、解答题（本大题共8小题）
16．计算：
(1)；
(2)．
17．数学课上，王老师给学生出了一道题：当时，求的值．小明说：“不用给出的值就可以计算出结果．”小军说：“没有的值不能计算出结果．”你认为他们谁的说法正确，请说明理由．
18．我们知道：对于正整数，若，则；若，则．因此在比较幂的大小时，我们可以把它们化成底数相同的数，比较次数的大小，或者化成次数相同的数，比较底数的大小．请运用此方法解决下列问题：
(1)比较大小：___________；（填“”“”或“”）
(2)已知，试比较的大小．
19．已知，求的值．
20．定义新运算：，例如：．按照这种运算规定计算，并求出当等于多少时，该式的值为0．
21．2025年2月10日，南水北调东线一期工程正式启动本年度调水工作，计划向黄河以北调水1.51亿立方米．如图，某段河道的横截面是梯形，已知上底的长度为，下底的长度为，河道的最大高度为．
(1)求河道横截面的面积；
(2)经测量得出，那么长的南水北调的河道最多可以蓄水多少立方米？（棱柱的体积棱柱的底面积高）
22．某数学兴趣小组在学习了“平方差公式”后，分别构造了以下四种图形，想用“等面积法”来验证“平方差公式”：
(1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有___________；（填序号）
(2)【应用】利用“平方差公式”计算；
(3)【拓展】计算：．
23．阅读下列材料：利用完全平方公式，把多项式变形为的形式，然后运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等方面都有广泛的应用．例如利用配方法求的最小值．
解：，
因为不论取何值，，
所以当时，的值最小．
所以的最小值为．
根据上述材料，解答下列问题：
【理解探究】
（1）以上解答过程中，主要体现的数学思想是（ ）
A．统计思想 B．数形结合思想 C．转化思想 D．方程思想
【类比应用】
（2）仿照上述方法，将变形为的形式，并求出最小值；
【拓展升华】
（3）王大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的长为，宽为，乙菜地的长为，宽为，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由．
参考答案
1．【答案】D
【详解】解：，
故选D．
2．【答案】C
【分析】根据完全平方公式逐项判断即可．
【详解】解：A、，可以用平方差公式计算，故A选项不符合题意；
B、，不能用完全平方公式计算，故B选项不符合题意；
C、，可以用完全平方公式计算，故C选项符合题意；
D、，可以用平方差公式计算，故D选项不符合题意；
故选C．
3．【答案】C
【详解】解：，
，
故选C．
4．【答案】D
【分析】根据小明的解题步骤分析即可．
【详解】解：解：
①（幂的乘方）
②（同底数幂的乘法）
．．．．．③（同底数幂的除法）
故选D．
5．【答案】B
【分析】根据积的乘方，同底数幂的除法，合并同类项，零指数幂的定义逐项计算判断即可．
【详解】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，本选项符合题意；
C、与不是同类项，不可以合并，故本选项不符合题意；
D、，故本选项不符合题意，
故选B．
6．【答案】A
【详解】解：，，
．
故选A．
7．【答案】D
【分析】根据已知等式得出规律，再根据所得的规律得出答案即可．
【详解】解：根据题意得：第7行的数分别为1，6，15，20，15，6，1，
第8行的数分别为1，7，21，35，35，21，7，1，
展开式中各项的系数正好对应第3行的数字，
则的展开式中各项的系数正好对应第7行的数分别为1，6，15，20，15，6，1，
的展开式中第3项的系数为15，
故选D．
8．【答案】B
【分析】根据同底数幂的乘法运算法则进行计算即可．
【详解】解：，
，
故选B．
9．【答案】C
【分析】用增加长椅后的面积减去改变前的面积即可．
【详解】解：长方形花坛放置长椅后的长为，宽为，
花坛放置长椅后的面积为，
而花坛原来的面积为
所以长椅的面积为，
故选C．
10．【答案】B
【分析】总结出规律根据题意，分别求得第3个整式串即可判断①②，根据题意，可得第1个整式串中有3个整式，第2个整式串中有5个整式，第3个整式串中有9个整式，即可判断③．
【详解】解：根据题意，第3个整式串为：，
第3个整式串中，从左往右数第2个整式与从右往左数第2个整式的积为，故①错误；
第3个整式串中，所有整式的和为，故②错误；
根据题意，可得第1个整式串中有3个整式，第2个整式串中有5个整式，第3个整式串中有9个整式，由此总结规律，可得第n个整式串中有个整式，
第2025个整式串中有个整式，故③正确；
故选B．
11．【答案】
【分析】根据单项式乘多项式的运算法则进行计算即可．
【详解】解：
12．【答案】16
【分析】根据幂的乘方的逆运算，即可求得答案．
【详解】解：，
，
13．【答案】81
【分析】根据已知得到，进而得到，求出结果即可．
【详解】解：，
，
14．【答案】
【分析】根据各个正方形边长之间的关系，表示出长方形⑤的长、宽，即可得出答案．
【详解】解：∵正方形②的边长是正方形①的边长的3倍，
∴设正方形①的边长为，正方形②的边长为，
∴正方形①的面积为
∴正方形③的边长为，
∴正方形④的边长为，
∴长方形⑤的长为：，宽为：，
∴长方形⑤的面积为
则
15．【答案】
【分析】根据所给例子计算即可．
【详解】解：用竖式计算，如图，
∴．
16．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先计算多项式乘以多项式，积的乘方，再合并同类项即可；
（2）分别利用有理数的乘方，零指数幂和负整数指数幂的运算法则计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
17．【答案】小明说得对，理由见解析
【分析】先合并同类项，再根据结果判断即可．
【详解】解：小明说得对，理由如下：
．
因为化简结果中不含有，，
所以结果跟，的值无关，
故小明说得对．
18．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据幂的乘方运算法则解答即可；
（2）根据幂的乘方的逆用解答即可．
【详解】（1）解：，
，
，
故答案为：；
（2）解：，
，
，
又，
，
．
19．【答案】64
【分析】根据同底数幂的乘法，可得同类项，根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同，可得关于a、b的方程，解方程，可得答案．
【详解】解：
，
，
，
，
20．【答案】
【分析】根据定义的新运算可得，然后进行计算即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
，
，
．
21．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据梯形的面积公式列出代数式，然后根据整式的混合运算法则进行计算即可；
（2）先代入求出梯形面积，再根据棱柱的体积公式列出代数式，然后根据整式的混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：河道横截面的面积为：
；
（2）当时，
，
，
答：长的南水北调的河道最多可以蓄水．
22．【答案】(1)①③
(2)1
(3)
【分析】（1）用不同的方法分别用代数式表示各个图形中左图、右图阴影部分面积即可得出等式，再进行判断即可；
（2）利用平方差公式进行计算即可；
（3）利用平方差公式将原式化为计算即可．
【详解】（1）解：图①中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，因此面积为，
所以有，因此图①可以验证平方差公式；
图②中，左侧图形阴影部分的面积为，右侧图形阴影部分的面积为，不可验证平方差公式；
图③中，左侧阴影部分的面积为，右侧阴影部分是2个梯形面积，即，
∴，可验证平方差公式；
图④中，左侧阴影部分的面积，右侧阴影部分的面积为，无法验证平方差公式；
故答案为：①③
（2）
；
（3）
．
23．【答案】（1）C；（2）1；（3），理由见解析
【分析】（1）根据材料即可解答；
（2）利用材料中方法求最小值即可；
（3）先表示出甲、乙两块长方形菜地的面积，再作差，对式子进行配方化成完全平方式，求出最大值即可．
【详解】（1）以上解答过程中，主要体现的数学思想是转化思想，
故选C；
（2）解：，
因为不论取何值，，
所以当时，的值最小．
所以的最小值为1；
（3）解：，理由如下：
根据题意：甲块长方形菜地的面积为：；
乙长方形菜地的面积为：；
因为
；
因为不论取何值，，
所以，
所以．