河南省项城市第一初级中学2024-2025学年七年级下学期第一次月考数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份河南省项城市第一初级中学2024-2025学年七年级下学期第一次月考数学试卷（原卷版+解析版），共22页。
注意事项：
1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效．
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 计算的值为（ ）
A. 3B. 6C. 9D. 10
2. 下列算式中，可以用完全平方公式进行计算的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 在2025年蛇年春晚上，一群会跳舞、能抛手绢的人形机器人惊艳亮相，机器人的研发也成为当今时代科研的重点．中国科学院研发出新型的工业纳米机器人，其大小约为．已知，则用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4. 下面是小明同学计算的过程：
解：
①
②
．．．．．③
则步骤①②③依据的运算性质分别是（ ）
A. 同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法
B. 同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方
C. 幂乘方，同底数幂的除法，同底数幂的乘法
D. 幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法
5. 下列算式中，计算结果是的是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，则的值为（ ）
A. 9B. 10C. 12D. 15
7. 如图，我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，介绍了展开式的系数规律，称为“杨辉三角”．如：中各项的系数，正好对应第3行中的1，2，1，则的展开式中第3项的系数为（ ）
A. 5B. 6C. 10D. 15
8. 若（其中为正整数），则的值分别为（ ）
A. 30，10B. 3，11C. 15，10D. 10，10
9. 公园里有一个长为，宽为的长方形花坛，现要在花坛四周放置长椅，如图所示，已知长椅的宽度为，则长椅的面积为（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知两个整式和，将这两个整式的和除以2，得到的结果放在这两个整式之间，可以产生第1个整式串：，，称为第1次操作．再将第1个整式串中任意相邻的两个整式，都按上述方式进行第2次操作，可以得到第2个整式串：，以此类推，下列说法：①第3个整式串中，从左往右数第2个整式与从右往左数第2个整式的积为；②第3个整式串中，所有整式的和为；③第2025个整式串中，共有个整式．其中正确的个数是（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 计算：___________．
12. 已知，则的值为___________．
13. 已知，则的值为___________．
14. 如图所示的一个长方形被分成形状和大小不同的5个部分，已知①②③④都是正方形，⑤是一个长方形．若正方形②的边长是正方形①的边长的3倍，则长方形⑤的面积是正方形①的面积的___________倍．
15. 在学习整式除法之后，小婷通过延伸发现：两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母的降幂排列，然后仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．如图，计算时，可以仿照用竖式计算．请你仿照上面的例子计算的结果为___________．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16 计算：
（1）；
（2）．
17. 数学课上，王老师给学生出了一道题：当时，求的值．小明说：“不用给出的值就可以计算出结果．”小军说：“没有的值不能计算出结果．”你认为他们谁的说法正确，请说明理由．
18. 我们知道：对于正整数，若，则；若，则．因此在比较幂的大小时，我们可以把它们化成底数相同的数，比较次数的大小，或者化成次数相同的数，比较底数的大小．请运用此方法解决下列问题：
（1）比较大小：___________；（填“”“”或“”）
（2）已知，试比较的大小．
19. 已知，求值．
20. 定义新运算：，例如：．按照这种运算规定计算，并求出当等于多少时，该式的值为0．
21. 2025年2月10日，南水北调东线一期工程正式启动本年度调水工作，计划向黄河以北调水1.51亿立方米．如图，某段河道的横截面是梯形，已知上底的长度为，下底的长度为，河道的最大高度为．
（1）求河道横截面的面积；
（2）经测量得出，那么长的南水北调的河道最多可以蓄水多少立方米？（棱柱的体积棱柱的底面积高）
22. 某数学兴趣小组在学习了“平方差公式”后，分别构造了以下四种图形，想用“等面积法”来验证“平方差公式”：
（1）【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有___________；（填序号）
（2）【应用】利用“平方差公式”计算；
（3）【拓展】计算：．
23. 阅读下列材料：利用完全平方公式，把多项式变形为的形式，然后运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等方面都有广泛的应用．例如利用配方法求的最小值．
解：，
因为不论取何值，，
所以当时，的值最小．
所以的最小值为．
根据上述材料，解答下列问题：
【理解探究】
（1）以上解答过程中，主要体现的数学思想是（ ）
A．统计思想 B．数形结合思想 C．转化思想 D．方程思想
【类比应用】
（2）仿照上述方法，将变形为的形式，并求出最小值；
拓展升华】
（3）王大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的长为，宽为，乙菜地的长为，宽为，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由．
2024-2025学年下学期阶段性评价卷一
七年级数学（北师大版）
注意事项：
1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效．
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 计算的值为（ ）
A. 3B. 6C. 9D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，负整数指数幂，零指数幂，根据相关运算法则进行计算即可．
【详解】解：，
故选：D．
2. 下列算式中，可以用完全平方公式进行计算的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式的运用，根据完全平方公式逐项判断即可．
【详解】解：A、，可以用平方差公式计算，故A选项不符合题意；
B、，不能用完全平方公式计算，故B选项不符合题意；
C、，可以用完全平方公式计算，故C选项符合题意；
D、，可以用平方差公式计算，故D选项不符合题意；
故选：C．
3. 在2025年蛇年春晚上，一群会跳舞、能抛手绢的人形机器人惊艳亮相，机器人的研发也成为当今时代科研的重点．中国科学院研发出新型的工业纳米机器人，其大小约为．已知，则用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
【详解】解：，
，
故选：C．
4. 下面是小明同学计算的过程：
解：
①
②
．．．．．③
则步骤①②③依据的运算性质分别是（ ）
A. 同底数幂乘法，幂的乘方，同底数幂的除法
B. 同底数幂除法，同底数幂的乘法，幂的乘方
C. 幂的乘方，同底数幂的除法，同底数幂的乘法
D. 幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了幂的乘法方，同底数幂的乘除法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据小明的解题步骤分析即可．
【详解】解：解：
①（幂的乘方）
②（同底数幂的乘法）
．．．．．③（同底数幂的除法）
故选D．
5. 下列算式中，计算结果是的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了积的乘方，同底数幂的除法，合并同类项，零指数幂，根据积的乘方，同底数幂的除法，合并同类项，零指数幂的定义逐项计算判断即可．
【详解】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，本选项符合题意；
C、与不是同类项，不可以合并，故本选项不符合题意；
D、，故本选项不符合题意，
故选：B．
6. 已知，则的值为（ ）
A. 9B. 10C. 12D. 15
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查平方差公式：，直接平方差公式求出即可．熟记公式结构是解题的关键．
【详解】解：，，
．
故选：A．
7. 如图，我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，介绍了展开式的系数规律，称为“杨辉三角”．如：中各项的系数，正好对应第3行中的1，2，1，则的展开式中第3项的系数为（ ）
A. 5B. 6C. 10D. 15
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式，能根据已知找出规律是解此题的关键，根据已知等式得出规律，再根据所得的规律得出答案即可．
【详解】解：根据题意得：第7行的数分别为1，6，15，20，15，6，1，
第8行的数分别为1，7，21，35，35，21，7，1，
展开式中各项的系数正好对应第3行的数字，
则的展开式中各项的系数正好对应第7行的数分别为1，6，15，20，15，6，1，
的展开式中第3项的系数为15，
故选：D．
8. 若（其中为正整数），则的值分别为（ ）
A. 30，10B. 3，11C. 15，10D. 10，10
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，科学记数法的计算，根据同底数幂的乘法运算法则进行计算即可．
【详解】解：，
，
故选：B．
9. 公园里有一个长为，宽为的长方形花坛，现要在花坛四周放置长椅，如图所示，已知长椅的宽度为，则长椅的面积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查多项式乘多项式，单项式乘单项式的实际应用，正确记忆相关知识点是解题关键．用增加长椅后的面积减去改变前的面积即可．
【详解】解：长方形花坛放置长椅后的长为，宽为，
花坛放置长椅后的面积为，
而花坛原来面积为
所以长椅的面积为，
故选：C．
10. 已知两个整式和，将这两个整式的和除以2，得到的结果放在这两个整式之间，可以产生第1个整式串：，，称为第1次操作．再将第1个整式串中任意相邻的两个整式，都按上述方式进行第2次操作，可以得到第2个整式串：，以此类推，下列说法：①第3个整式串中，从左往右数第2个整式与从右往左数第2个整式的积为；②第3个整式串中，所有整式的和为；③第2025个整式串中，共有个整式．其中正确的个数是（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算，规律型数字的变化类，解题的关键是弄清题意．总结出规律根据题意，分别求得第3个整式串即可判断①②，根据题意，可得第1个整式串中有3个整式，第2个整式串中有5个整式，第3个整式串中有9个整式，即可判断③．
【详解】解：根据题意，第3个整式串为：，
第3个整式串中，从左往右数第2个整式与从右往左数第2个整式的积为，故①错误；
第3个整式串中，所有整式的和为，故②错误；
根据题意，可得第1个整式串中有3个整式，第2个整式串中有5个整式，第3个整式串中有9个整式，由此总结规律，可得第n个整式串中有个整式，
第2025个整式串中有个整式，故③正确；
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 计算：___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了单项式乘多项式，根据单项式乘多项式的运算法则进行计算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 已知，则的值为___________．
【答案】16
【解析】
【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算，熟练掌握幂的乘方运算法则是解题的关键，根据幂的乘方的逆运算，即可求得答案．
【详解】解：，
，
故答案为：16．
13. 已知，则的值为___________．
【答案】81
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，根据已知得到，进而得到，求出结果即可．
【详解】解：，
，
，
故答案：81．
14. 如图所示的一个长方形被分成形状和大小不同的5个部分，已知①②③④都是正方形，⑤是一个长方形．若正方形②的边长是正方形①的边长的3倍，则长方形⑤的面积是正方形①的面积的___________倍．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查列代数式，整式的加减运算，单项式乘以单项式，单项式除以单项式等知识，理解图形中正方形边长与长方形边长之间的关系，列出代数式是解题的关键．根据各个正方形边长之间的关系，表示出长方形⑤的长、宽，即可得出答案．
【详解】解：∵正方形②的边长是正方形①的边长的3倍，
∴设正方形①的边长为，正方形②的边长为，
∴正方形①的面积为
∴正方形③的边长为，
∴正方形④的边长为，
∴长方形⑤的长为：，宽为：，
∴长方形⑤的面积为
则
故答案为：12．
15. 在学习整式的除法之后，小婷通过延伸发现：两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母的降幂排列，然后仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．如图，计算时，可以仿照用竖式计算．请你仿照上面的例子计算的结果为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了多项式与多项式的除法计算，根据所给例子计算即可．
详解】解：用竖式计算，如图，
∴．
故答案为；：．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的运算和实数的运算，熟练掌握相关的运算法则是解本题的关键．
（1）先计算多项式乘以多项式，积的乘方，再合并同类项即可；
（2）分别利用有理数的乘方，零指数幂和负整数指数幂的运算法则计算即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
17. 数学课上，王老师给学生出了一道题：当时，求的值．小明说：“不用给出的值就可以计算出结果．”小军说：“没有的值不能计算出结果．”你认为他们谁的说法正确，请说明理由．
【答案】小明说得对，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了单项式乘多项式化简求值，掌握整式的加减运算法则是解题的关键．先合并同类项，再根据结果判断即可．
【详解】解：小明说得对，理由如下：
．
因为化简结果中不含有，，
所以结果跟，的值无关，
故小明说得对．
18. 我们知道：对于正整数，若，则；若，则．因此在比较幂的大小时，我们可以把它们化成底数相同的数，比较次数的大小，或者化成次数相同的数，比较底数的大小．请运用此方法解决下列问题：
（1）比较大小：___________；（填“”“”或“”）
（2）已知，试比较的大小．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了幂的乘方以及幂的乘方的逆用，解答本题的关键是掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则．
（1）根据幂的乘方运算法则解答即可；
（2）根据幂的乘方的逆用解答即可．
【小问1详解】
解：，
，
，
故答案为：；
【小问2详解】
解：，
，
，
又∵9>8>4，
∴9111>8111>4111，
．
19. 已知，求的值．
【答案】64
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，利用了同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法，可得同类项，根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同，可得关于a、b的方程，解方程，可得答案．
【详解】解：
，
，
，
，
，
故答案为：64．
20. 定义新运算：，例如：．按照这种运算规定计算，并求出当等于多少时，该式的值为0．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了新定义运算，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据定义的新运算可得，然后进行计算即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
，
，
．
21. 2025年2月10日，南水北调东线一期工程正式启动本年度调水工作，计划向黄河以北调水1.51亿立方米．如图，某段河道的横截面是梯形，已知上底的长度为，下底的长度为，河道的最大高度为．
（1）求河道横截面的面积；
（2）经测量得出，那么长的南水北调的河道最多可以蓄水多少立方米？（棱柱的体积棱柱的底面积高）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算，代数式求值，掌握整式混合运算的法则是解题的关键．
（1）根据梯形的面积公式列出代数式，然后根据整式的混合运算法则进行计算即可；
（2）先代入求出梯形面积，再根据棱柱的体积公式列出代数式，然后根据整式的混合运算法则进行计算即可．
【小问1详解】
解：河道横截面的面积为：
；
【小问2详解】
当时，
，
，
答：长的南水北调的河道最多可以蓄水．
22. 某数学兴趣小组在学习了“平方差公式”后，分别构造了以下四种图形，想用“等面积法”来验证“平方差公式”：
（1）【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有___________；（填序号）
（2）【应用】利用“平方差公式”计算；
（3）【拓展】计算：．
【答案】（1）①③ （2）1
（3）
【解析】
【分析】本题考查平方差公式的几何背景，平方差公式的运用，有理数的混合运算，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键．
（1）用不同的方法分别用代数式表示各个图形中左图、右图阴影部分面积即可得出等式，再进行判断即可；
（2）利用平方差公式进行计算即可；
（3）利用平方差公式将原式化为计算即可．
【小问1详解】
解：图①中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，因此面积为，
所以有，因此图①可以验证平方差公式；
图②中，左侧图形阴影部分的面积为，右侧图形阴影部分的面积为，不可验证平方差公式；
图③中，左侧阴影部分的面积为，右侧阴影部分是2个梯形面积，即，
∴，可验证平方差公式；
图④中，左侧阴影部分的面积，右侧阴影部分的面积为，无法验证平方差公式；
故答案为：①③
【小问2详解】
；
【小问3详解】
．
23. 阅读下列材料：利用完全平方公式，把多项式变形为的形式，然后运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等方面都有广泛的应用．例如利用配方法求的最小值．
解：，
因为不论取何值，，
所以当时，的值最小．
所以的最小值为．
根据上述材料，解答下列问题：
【理解探究】
（1）以上解答过程中，主要体现的数学思想是（ ）
A．统计思想 B．数形结合思想 C．转化思想 D．方程思想
【类比应用】
（2）仿照上述方法，将变形为的形式，并求出最小值；
【拓展升华】
（3）王大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的长为，宽为，乙菜地的长为，宽为，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由．
【答案】（1）C；（2）1；（3），理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查完全平方式的应用及整式乘法的应用，根据式子进行变换化成完全平方式是解题的关键．
（1）根据材料即可解答；
（2）利用材料中方法求最小值即可；
（3）先表示出甲、乙两块长方形菜地的面积，再作差，对式子进行配方化成完全平方式，求出最大值即可．
【详解】（1）以上解答过程中，主要体现的数学思想是转化思想，
故选：C；
（2）解：，
因为不论取何值，，
所以当时，的值最小．
所以的最小值为1；
（3）解：，理由如下：
根据题意：甲块长方形菜地的面积为：；
乙长方形菜地的面积为：；
因为
；
因为不论取何值，，
所以，
所以．