贵州省贵阳市观山湖区远大中学2024-2025学年七年级下学期4月期中考试 数学试题（含解析）

这是一份贵州省贵阳市观山湖区远大中学2024-2025学年七年级下学期4月期中考试 数学试题（含解析），共29页。试卷主要包含了不能使用计算器等内容，欢迎下载使用。
（闭卷，满分100分）
同学你好！答题前请以真阅读以下内容：
1．全卷共2页，三个大题，共21小题，满分100分．考试时间为90分钟，考试形式闭卷．
2．一律在答题卡上相应位置作答，在试题卷上答题视为无效．
3．不能使用计算器．
一、选择题（以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，带用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共30分）．
1. 计算的结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，掌握运算法则是解题的关键；根据同底数幂的乘法的运算法则即可得解．
【详解】解：，
故选：．
2. 气凝胶是一种具有纳米多孔结构的新型材料，质量轻、隔热能力强，可应用于航天、军工、建筑等领域，气凝胶颗粒尺寸通常小于．数据“”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：，
故选：A．
3. 如图，直线a，b，c交于点O，若，则与的度数之和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了对顶角，平角的定义，根据对顶角相等，平角的定义求解即可．
【详解】解：如图：
，
，
，
，
，
故选：．
4. 从数学的角度看，对以下语句中的事件判断正确的是（ ）
A. “清明时节雨纷纷”是必然事件B. “离离原上草，一岁一枯荣”是不可能事件
C. “鱼戏莲叶东”是随机事件D. “手可摘星辰”是必然事件
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查对于事件类型的判断．掌握各事件的定义是解题的关键．随机事件在随机试验中，可能出现也可能不出现；不可能事件在随机试验中一定不会出现；必然事件在随机试验中一定会出现．根据各事件的定义逐项判断即可．
【详解】解：、“清明时节雨纷纷”是随机事件，故本选项不符合题意；
、“离离原上草，一岁一枯荣”是必然事件，故本选项不符合题意；
、“鱼戏莲叶东”是随机事件，故本选项符合题意；
、“手可摘星辰”是不可能事件，故本选项不符合题意；
故选：．
5. 长春市解放大路和新民大街分别是东西走向与南北走向，如交通图所示，小明同学想从新民广场尽快走到解放大路，他选择沿新民大街走，小明这样走的数学依据是（ ）
A. 两点之间，线段最短
B 垂线段最短
C. 三角形任意两边之和大于第三边
D. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查垂线段最短，由垂线段的性质，垂线段最短，即可解得．
【详解】解：由题意可得：小明这样走的数学依据是：垂线段最短，
故选：B．
6. 如图，点E在的延长线上，下列条件能判断的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题关键；根据平行线的判定逐项判断即可得解．
【详解】解：、能判断，故本选项不符合题意；
、能判断，故本选项符合题意；
、不能判断，故本选项不符合题意；
、能判断，故本选项不符合题意；
故选：．
7. 小颖从一定高度随机掷一枚质地均匀的硬币，她已经掷了三次硬币，结果都是“反面朝上”．那么，小颖第四次掷硬币时，“正面朝上”与“反面朝上”的可能性的大小为（ ）
A. “正面朝上”的可能性大B. “反面朝上”的可能性大
C. 两者的可能性相同D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是概率的意义，正确理解概率的意义和概率的计算公式是解题的关键．根据概率的意义和概率的计算公式计算即可．
【详解】解：由于硬币质地均匀，
所以小颖第四次掷硬币时，“正面朝上”与“反面朝上”的可能性相同，都是．
故选:C．
8. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了构成三角形的条件，由构成三角形的条件：“任意两边之和大于第三边” 逐一进行判断，即可求解；掌握构成三角形的条件是解题的关键．
【详解】解：A.，不能组成三角形，故不符合题意；
B.，不能组成三角形，故不符合题意；
C.，不能组成三角形，故不符合题意；
D.，能组成三角形，故符合题意；
故选：D．
9. 如图，在中，边上的高是（ ）
A. 线段B. 线段C. 线段D. 线段
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形高的定义，在中，边上的高是过点A向直线所作的垂线段，据此可得答案．
【详解】解：在中，边上的高是线段，
故选：．
10. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查同底数幂的除法，幂的乘方，先根据同底数幂的除法和幂的乘方将转化为，再代入计算即可．解题的关键是掌握：同底数幂的除法法则：同底数的幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
【详解】解：∵，
∴
，
∴的值为．
故选：D．
二、填空题（每小题4分，共16分）．
11. 在7张完全相同的卡片上分别写上数字1，2，3，3，4，4，5，将它们背面朝上混合均匀后，从中任意抽出一张，抽出标有数字4的卡片的概率是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查简单的概率计算，掌握概率的计算公式是解答本题的关键．根据概率公式：概率所求情况数与总情况数之比即可得解．
【详解】解：因为7张完全相同卡片有2张4，
所以抽出标有数字4的卡片的概率是，
故答案为：．
12. ________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了单项式除以单项式，掌握运算法则是解题关键；根据单项式除以单项式的运算法则求解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
13. 如图，在中，，是的角平分线，点E在上，且，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是三角形内角和以及平行线的性质的运用，熟练掌握平行线的性质与三角形内角和是解答此题的关键．根据三角形的内角和可得，再根据角平分线的定义和平行线的性质即可得解．
【详解】解：，
，
又∵是的角平分线，
，
∵，
，
故答案为：．
14. 小红将展开后得到；小明将展开后得到．若两人计算过程无误，则的值为________．
【答案】4049
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，熟悉公式的结构特点是解题的关键．根据完全平方公式展开求出，，根据平方差公式求值即可．
【详解】解：展开后得到，展开后得到，
，，
，
故答案：4049．
三、解答题（本大题共7题，共计54分．解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）．
15. 计算
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算，零次幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据有理数乘方，零指数幂，负整数指数幂运算即可；
（2）根据完全平方公式，平方差公式计算即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
16. 先化简再求值：，其中．
【答案】，12
【解析】
【分析】本题考查整式的混合运算及其求值，熟练掌握运算法则是解答的关键．利用多项式乘多项式和多项式除以单项式运算法则化简原式，再代值求解即可．
【详解】解：原式
，
当时，
原式
．
17. 如图，正方形与正方形的面积之差是6，求阴影部分的面积．
【答案】阴影部分的面积为3
【解析】
【分析】设正方形与正方形的边长分别为和，根据两者面积差为6，可得．利用含、的代数式表示出阴影部分的面积，将整体代入即可求解．
【详解】解：设正方形与正方形的边长分别为和，
由题意得：．
由图形可得：
．
故阴影部分的面积为3．
【点睛】本题考查平方差公式在几何图形中的应用，解题的关键是用含、的代数式表示出阴影部分的面积．
18. 一个不透明的盒子中装有3个白色乒乓球，2个黄色乒乓球，1个红色乒乓球，这些乒乓球除颜色外，形状和大小完全一样，小亮同学从盒子中任意摸出一个乒乓球．
（1）小亮同学摸出红球概率是________．
（2）如果在上述盒子中再放入n个形状和大小完全相同的红色乒乓球，小亮同学从盒子中任意摸出一个乒乓球，若摸到黄色乒乓球的极率为，则________．
（3）在（2）的条件下，小亮和小英同学一起做游戏，小亮从上述盒子中任意摸一个乒乓球，如果摸到红球，小亮获胜，否则小英获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？（请利用概率的知识进行说明）
【答案】（1）
（2）4 （3）这个游戏对双方公平，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查简单的概率计算，掌握概率的计算公式：概率=所求情况数与总情况数之比是解答本题的关键．
（1）根据概率公式求解即可；
（2）利用概率公式列方程求解即可；
（3）根据概率公式分别求出小亮获胜和小英获胜的概率，即可得解．
【小问1详解】
解：因为共有6个乒乓球，其中有1红球，
所以小亮同学摸出红球的概率是，
故答案为：；
【小问2详解】
解：∵摸到黄色乒乓球的概率为，
，
解得：，
故答案为：4；
【小问3详解】
解：这个游戏对双方公平，理由如下：
∵一个不透明的盒子中装有3个白色乒乓球，2个黄色乒乓球，5个红色乒乓球，
∴小亮获胜的概率为，小英获胜的概率为；
∴这个游戏对双方公平．
19. 如图，点B，D在直线上，，，．试求的度数．请你阅读并补全下面的解题过程及推理依据：
解：因为（已知）
所以________（________________）
因为（已知）
所以________（等量代换）
所以（________________）
所以（________________）
因为
所以________
所以________（________________）
【答案】；两直线平行，同位角相等；；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；；对顶角相等
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质和判定，根据题意正确填空是解题的关键；根据平行线的性质和判定填空即可．
【详解】解：因为（已知）
所以（两直线平行，同位角相等）
因为（已知）
所以（等量代换）
所以（同旁内角互补，两直线平行）
所以（两直线平行，同位角相等）
因为
所以
所以（对顶角相等）
20. 如图1，是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）用含m，n的代数式表示图2中阴影部分的面积为________或________；
（2）请观察图2结合（1）写出三个代数式，之间的等量关系：________；
（3）若，请你结合本题（2）中的等量关系，求的值．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式的背景知识以及完全平方公式的变形，解题的关键是认真观察图形，用不同的形式表示图形的面积．
（1）根据阴影部分的面积等于右边大正方形的面积减去左边4个长方形的面积或根据正方形的面积公式计算进而得出答案；
（2）根据（1）中面积相等即可得解；
（3）由（2）可得，代入求值即可．
【小问1详解】
解：根据图1可知，每个长方形的面积为：，
所以图2中阴影部分的面积为，
因为阴影部分为正方形，边长为：，
所以图2中阴影部分的面积为，
所以用含m，n的代数式表示图2中阴影部分的面积为或，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：由（1）可知：，
故答案为：；
【小问3详解】
解：由（2）知：，
，
，
．
21. 【基础情境】
如图1，已知直线，将一个含角的直角三角尺ABC中角的顶点B放在PQ上，边AB，AC与MN分别交于点D，E．
（1）若，则________；
【探究发现】
（2）如图2，请你写出与之间的数量关系，并说明理由；
【延伸拓展】
（3）把三角尺从图3的位置开始绕点B顺时针旋转（），当直线与相交所成的锐角是时，请直接写出的度数．
【答案】（1），（2），（3）或．
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，对于两平行线间有折线的问题，一般在“拐点”处作平行线转化角．
（1）过点C作，得到，推出，根据，，即可得到，即可求解；
（2）过点C作，同（1）可证，根据邻补角的定义即可求解；
（3）①过点C作，则，有，求得，利用即可；②过点A作，与交于点，同理有，利用即可．
【详解】解：（1）如图1，过点C作，
，
，
，
，，
；
（2）如图2，过点C作，
，
，
，
，
，
；
（3）①如图3，过点C作，
，
，
，
，，
，
则；
②如图，过点A作，直线与交于点，
∵与交于，
∴，
，
，
，
，
，
故的度数为或．