北京市大峪中学2024-2025学年七年级下学期期中考试 数学试卷（含解析）

这是一份北京市大峪中学2024-2025学年七年级下学期期中考试 数学试卷（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）如图，直线a截直线b，c，下列说法正确的是（ ）
A．∠1与∠2是同旁内角B．∠1与∠3是同旁内角
C．∠2与∠3是同位角D．∠3与∠4是内错角
2．（2分）如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的一组对边上．如果∠1＝25°，那么∠2的度数是（ ）
A．20°B．25°C．30°D．15°
3．（2分）如图，ABC沿着BC所在直线的方向，向右平移到△DEF，已知BC＝5，EC＝3，那么平移的距离为（ ）
A．8B．5C．3D．2
4．（2分）下列四个数中，是无理数的是（ ）
A．0B．49C．-3D．﹣5
5．（2分）下列各数中，16的算术平方根为（ ）
A．±4B．4C．±8D．8
6．（2分）估算13的值（ ）
A．在1到2之间B．在2到3之间
C．在3到4之间D．在4到5之间
7．（2分）二元一次方程组x+y=6x-3y=-2的解是（ ）
A．x=5y=1B．x=-5y=-1
C．x=4y=2D．x=-4y=-2
8．（2分）下列属于二元一次方程的是（ ）
A．xy+2x﹣y＝7B．4x+1＝yC．1x+y＝5D．x2﹣y2＝2
9．（2分）如果∠α与∠β的两边分别平行，∠α比∠β的3倍少36°，则∠α的度数是（ ）
A．18°B．126°
C．18°或126°D．以上都不对
10．（2分）下列命题中，假命题是（ ）
A．对顶角相等
B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
D．如果a∥b，b∥c，那么a∥c
二、填空题（本题20分，每小题2分）
11．（2分）把命题“互为相反数的两个数的和为零”写成“如果…那么…”的形式： ．
12．（2分）如图，若∠BOC＝54°，BO⊥DE，垂足为O，则∠AOD＝ 度．
13．（2分）8的立方根是 ．
14．（2分）若一个正数的两个平方根分别是a﹣1和2a﹣5，则a是 ．
15．（2分）比较大小：3 2（填“＜”，“＝”或“＞”）．
16．（2分）如图，PA，PB，PC是村庄P到公路l的三条路线，其中路线PB⊥公路l，这三条路线中最短的路线是 ，理由是 ．
17．（2分）今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？设鸡x只，兔y只，则可列方程组为 ．
18．（2分）在方程3x﹣y＝5中，用含x的代数式表示y为 ．
19．（2分）如果关于x，y的二元一次方程组3x+2y=2mx-y=3m+5的解互为相反数，那么m＝ ．
20．（2分）学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．已知某木艺艺术品加工完成共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，加工要求如下：
①工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D都完成后进行；
②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；
③各道工序所需时间如下表所示：
在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要 分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要 分钟．
三、解答题（本题共60分，其中，第21、24、27、28小题，每小题10分，第21小题10分，第23小题15分，第25小题3分，第26、29小题每小题10分）
21．（10分）计算：
（1）38+16+|1-2|-2；
（2）3（2-3）+2（2+3）．
22．（5分）求下列各式中x的值：
（1）2x2＝18；
（2）（x﹣1）3＝﹣27．
23．（15分）解方程组：
（1）y=4-x2x-y=-1（用代入法解）；
（2）2x+y=12x-y=4；
（3）x-y=8x+y+z=32x-y+z=14．
24．（5分）填写证明的理由
已知：如图，AB∥CD，EF、CG分别是∠AEC，∠ECD的角平分线；求证：EF∥CG．
证明：∵AB∥CD（已知）
∴∠AEC＝∠ECD（ ）
又∵EF平分∠AEC（已知）
∴∠1=12∠ （ ）
同理∠2=12∠
∴∠1＝∠2（ ）
∴EF∥CG（ ）
25．（3分）已知：如图，AB∥CD，BE交CD于点M，∠B＝∠D．求证：BE∥DF．
26．（6分）北京时间2023年10月26日，神舟十七号载人飞船发射取得了圆满成功！神舟十七号发射成功并对接中国空间站，标志着中国载人航天走过空间站关键技术验证阶段和建造阶段．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进A、B两种航天载人飞船模型进行销售，据了解，2件A种航天载人飞船模型和3件B种航天载人飞船模型的进价共计95元；3件A种航天载人飞船模型和2件B种航天载人飞船模型的进价共计105元．
（1）求A，B两种航天载人飞船模型每件的进价分别为多少元？
（2）若该超市计划正好用250元购进以上两种航天载人飞船模型（两种航天载人飞船模型均有购买），请你写出所有购买方案．
27．（5分）如图：点A，B，C分别是∠MON的边OM，ON上的点．连接AB，AC，过B点作BE∥AC交AO于点E，点D是线段BC上任意一点，过点D作DF∥AB交线段AC于点F．
（1）补全图形；
（2）请判断∠ABE与∠CFD的关系，并证明你的结论．
28．（5分）大家知道2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用2-1来表示2的小数部分，因为2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
（1）17的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）如果5的小数部分为a，13的整数部分为b，求a+b-5的值．
29．（6分）“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．现将两灯射出的光束看作是两条射线，如图1所示，灯A射出的光束AA′从AM开始顺时针旋转至AN便立即往回旋转，灯B射出的光束BB′从BP开始顺时针旋转至BQ便立即往回旋转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a度/秒，灯B转动的速度是b度/秒，a，b满足|a﹣2|+（b﹣1）2＝0．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝2：1．
（1）填空：a＝ ，b＝ ，∠BAN＝ °；
（2）若灯B射出的光束BB′先转动15秒，灯A射出的光束AA′才开始转动，在灯B射出的光束BB′到达BQ之前（即灯B转动角度小于180°），A灯转动多少秒时，两灯射出的光束互相平行？
（3）如图2，两灯同时开始转动，在灯A射出的光束AA′到达AN之前（即灯A转动角度小于180°），若两灯射出的光束交于点C，过C作∠ACD＝120°，交PQ于点D，在转动过程中，∠ACD的度数保持不变，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．
2024-2025学年北京市大峪中学七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一、选择题（本大题共10道小题，每小题2分，共20分）
1．（2分）如图，直线a截直线b，c，下列说法正确的是（ ）
A．∠1与∠2是同旁内角B．∠1与∠3是同旁内角
C．∠2与∠3是同位角D．∠3与∠4是内错角
【分析】根据邻补角，同旁内角、同位角、内错角的定义逐项分析即可解答．
【解答】解：A、∠1与∠2是同旁内角，故原说法正确，符合题意；
B、∠1与∠3是邻补角，故原说法错误，不符合题意；
C、∠2与∠3是内错角，故原说法错误，不符合题意；
D、∠3与∠4是同旁内角，故原说法错误，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了邻补角、同旁内角、同位角、内错角，同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
2．（2分）如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的一组对边上．如果∠1＝25°，那么∠2的度数是（ ）
A．20°B．25°C．30°D．15°
【分析】根据∠1的度数求出∠3的度数，再结合平行线的性质即可解决问题．
【解答】解：如图所示，
∵∠1＝25°，
∴∠3＝45°﹣25°＝20°．
∵直尺的对比平行，
∴∠2＝∠3＝20°．
故选：A．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．
3．（2分）如图，ABC沿着BC所在直线的方向，向右平移到△DEF，已知BC＝5，EC＝3，那么平移的距离为（ ）
A．8B．5C．3D．2
【分析】根据平移的性质即可解决问题；
【解答】解：由题意平移的距离为BE＝BC﹣EC＝5﹣3＝2，
故选D．
【点评】本题考查平移变换，解题的关键是理解题意，属于中考基础题．
4．（2分）下列四个数中，是无理数的是（ ）
A．0B．49C．-3D．﹣5
【分析】根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【解答】解：A、0是有理数，故此选项不符合题意；
B、49=7，是有理数，故此选项不符合题意；
C、-3是无理数，故此选项符合题意；
D、﹣5是有理数，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，算术平方根，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，6，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
5．（2分）下列各数中，16的算术平方根为（ ）
A．±4B．4C．±8D．8
【分析】根据算术平方根的定义计算即可．
【解答】解：16的算术平方根为4，
故选：B．
【点评】本题考查了算术平方根，熟练掌握这个定义是解题的关键．
6．（2分）估算13的值（ ）
A．在1到2之间B．在2到3之间
C．在3到4之间D．在4到5之间
【分析】首先确定13的范围，根据二次根式的性质即可得出答案．
【解答】解：∵9＜13＜16
∴3＜13＜4．
故选：C．
【点评】本题考查了无理数的大小比较和二次根式的性质的应用，知道：9＜13＜16，9=3，16=4．
7．（2分）二元一次方程组x+y=6x-3y=-2的解是（ ）
A．x=5y=1B．x=-5y=-1
C．x=4y=2D．x=-4y=-2
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：x+y=6①x-3y=-2②，
①×3+②得：4x＝16，
解得：x＝4，
把x＝4代入①得：y＝2，
则方程组的解为x=4y=2．
故选：C．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
8．（2分）下列属于二元一次方程的是（ ）
A．xy+2x﹣y＝7B．4x+1＝yC．1x+y＝5D．x2﹣y2＝2
【分析】根据二元一次方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．方程xy+2x﹣y＝7是二元二次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
B．方程4x+1＝y是二元一次方程，故本选项符合题意；
C．方程1x+y＝5是分式方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
D．方程x2﹣y2＝2是二元二次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程的定义，能熟记二元一次方程的定义（只含有两个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1的整式方程叫二元一次方程）是解此题的关键．
9．（2分）如果∠α与∠β的两边分别平行，∠α比∠β的3倍少36°，则∠α的度数是（ ）
A．18°B．126°
C．18°或126°D．以上都不对
【分析】由∠α与∠β的两边分别平行，即可得∠α与∠β相等或互补，然后设∠α＝x°，由∠α比∠β的3倍少36°，分别从∠α与∠β相等或互补去分析，求得方程，解方程即可求得∠α的度数．
【解答】解：∵∠α与∠β的两边分别平行，
∴∠α与∠β相等或互补，
设∠α＝x°，
∵∠α比∠β的3倍少36°，
∴若∠α与∠β相等，则x＝3x﹣36，解得：x＝18，
若∠α与∠β互补，则x＝3（180﹣x）﹣36，解得：x＝126，
∴∠α的度数是18°或126°．
故选：C．
【点评】此题考查了平行线的性质．此题难度适中，解题的关键是注意若∠α与∠β的两边分别平行，即可得∠α与∠β相等或互补，注意方程思想与分类讨论思想的应用．
10．（2分）下列命题中，假命题是（ ）
A．对顶角相等
B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
D．如果a∥b，b∥c，那么a∥c
【分析】根据对顶角相等、平行线的性质、平行公理及其推论判断即可．
【解答】解：A、对顶角相等，是真命题，不符合题意；
B、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故本选项命题是假命题，符合题意；
C、过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，是真命题，不符合题意；
D、如果a∥b，b∥c，那么a∥c，是真命题，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
二、填空题（本题20分，每小题2分）
11．（2分）把命题“互为相反数的两个数的和为零”写成“如果…那么…”的形式： 如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零 ．
【分析】根据命题的结构直接求解即可．
【解答】解：命题“互为相反数的两个数的和为零”写成“如果…那么…”的形式为：如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零，
故答案为：如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零．
【点评】本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握命题的结构是解答此题的关键．
12．（2分）如图，若∠BOC＝54°，BO⊥DE，垂足为O，则∠AOD＝ 36 度．
【分析】需先根据已知条件和所给的图形，列出所要求的式子，即可求出答案．
【解答】解：∵BO⊥DE，
∴∠BOD＝90°，
∵∠BOC＝54°，
∴∠AOD＝180°﹣54°﹣90°＝36°．
故答案为：36．
【点评】本题主要考查了垂线，在解题时要根据已知有条件，再结合图形列出式子是本题的关键．
13．（2分）8的立方根是 2 ．
【分析】如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，由此即可得到答案．
【解答】解：∵23＝8，
∴8的立方根是2．
故答案为：2．
【点评】本题考查立方根，关键是掌握立方根的定义．
14．（2分）若一个正数的两个平方根分别是a﹣1和2a﹣5，则a是 2 ．
【分析】根据一个正数的平方根互为相反数，可得a+1和2a﹣7的关系，根据互为相反数的和为0，可得a的值．
【解答】解：根据题意知a﹣1+2a﹣5＝0，
解得：a＝2．
故答案为：2
【点评】此题考查了平方根的性质，解决本题的关键是理解并掌握平方根的性质，题目整体较为简单，适合随堂训练．
15．（2分）比较大小：3 ＜ 2（填“＜”，“＝”或“＞”）．
【分析】求出2=4，根据4＞3即可求出答案．
【解答】解：∵2=22=4，
∴3＜2，
故答案为：＜．
【点评】本题考查了实数的大小比较的应用，关键是求出2=4，题目比较典型，难度不大．
16．（2分）如图，PA，PB，PC是村庄P到公路l的三条路线，其中路线PB⊥公路l，这三条路线中最短的路线是 PB ，理由是 垂线段最短 ．
【分析】根据垂线段最短进行判断即可．
【解答】解：由垂线段最短可知，这三条路线中最短的路线是PB，理由是垂线段最短．
故答案为：PB．垂线段最短．
【点评】本题考查垂线段最短，理解垂线段最短是正确判断的前提．
17．（2分）今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？设鸡x只，兔y只，则可列方程组为 x+y=352x+4y=94 ．
【分析】根据实际可知，鸡有两条腿，兔子有四条腿，再根据有若干只鸡和兔关在同一笼子里，它们一共有35个头，94条腿，即可列出相应的方程组．
【解答】解：设鸡x只，兔y只，
则可列方程组为，x+y=352x+4y=94，
故答案为：x+y=352x+4y=94．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，找出等量关系，列出相应的方程组．
18．（2分）在方程3x﹣y＝5中，用含x的代数式表示y为 y＝3x﹣5 ．
【分析】将x看作已知数，求出y即可．
【解答】解：原方程整理得y＝3x﹣5．
故答案为：y＝3x﹣5．
【点评】此题考查了解二元一次方程，熟练掌握该知识点是关键．
19．（2分）如果关于x，y的二元一次方程组3x+2y=2mx-y=3m+5的解互为相反数，那么m＝ 5 ．
【分析】先求出关于x，y的二元一次方程组3x+2y=2mx-y=3m+5的解，再根据其解互为相反数即可求出m的值．
【解答】解：3x+2y=2m①x-y=3m+5②，
①×2，得2x﹣2y＝6m+10③，
①+③，得5x＝8m+10，
解得x=8m+105，
把x=8m+105代入②，得y=-7m+155，
∵方程组的解互为相反数，
∴x+y＝0，
∴8m+105-7m+155=0，
解得m＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，正确计算是解题的关键．
20．（2分）学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．已知某木艺艺术品加工完成共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，加工要求如下：
①工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D都完成后进行；
②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；
③各道工序所需时间如下表所示：
在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要 53 分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要 28 分钟．
【分析】将所有工序需要的时间相加即可得出由一名学生单独完成需要的时间；假设这两名学生为甲、乙，根据加工要求可知甲学生做工序A，乙学生同时做工序B；然后甲学生做工序D，乙学生同时做工序C，乙学生工序C完成后接着做工序G；最后甲学生做工序E，乙学生同时做工序F，然后可得答案．
【解答】解：由题意得：9+9+7+9+7+10+4＝55（分钟），
即由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，需要55分钟；
假设这两名学生为甲、乙，
∵工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，且工序A，B都需要9分钟完成，
∴甲学生做工序A，乙学生同时做工序B，需要9分钟，
然后甲学生做工序D，乙学生同时做工序C，乙学生工序C完成后接着做工序G，需要11分钟，
最后甲学生做工序F，乙学生同时做工序E，需要8分钟，
∴若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，最少需要9+11+8＝28（分钟），
故答案为：55，28．
【点评】本题考查了逻辑推理与时间统筹，根据加工要求得出加工顺序是解题的关键．
三、解答题（本题共60分，其中，第21、24、27、28小题，每小题10分，第21小题10分，第23小题15分，第25小题3分，第26、29小题每小题10分）
21．（10分）计算：
（1）38+16+|1-2|-2；
（2）3（2-3）+2（2+3）．
【分析】（1）由算术平方根、立方根、绝对值的意义进行化简，然后进行计算即可；
（2）由二次根式的乘法进行化简，然后计算加减运算，即可得到答案．
【解答】解：（1）原式＝2+4+2-1-2
＝5；
（2）原式＝32-33+22+23
＝52-3．
【点评】本题考查了二次根式的乘法，二次根式的加减运算，算术平方根、立方根、绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行解题．
22．（5分）求下列各式中x的值：
（1）2x2＝18；
（2）（x﹣1）3＝﹣27．
【分析】（1）先求x2＝9，再根据平方根定义求得x；
（2）利用立方根定义求得x﹣1＝﹣3，然后解方程．
【解答】解：（1）原方程整理得x2＝9，
则x＝±3；
（2）原方程整理得x﹣1＝﹣3，
解得x＝﹣2．
【点评】本题考查了利用平方根和立方根的定义解方程，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题关键．
23．（15分）解方程组：
（1）y=4-x2x-y=-1（用代入法解）；
（2）2x+y=12x-y=4；
（3）x-y=8x+y+z=32x-y+z=14．
【分析】（1）利用代入消元法解出方程；
（2）利用加减消元法解出方程；
（3）方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：（1）y=4-x①2x-y=-1②，
由①代入②得2x﹣（4﹣x）＝﹣1，
解得x＝1，
把x＝1代入①得，y＝4﹣1＝3，
∴原方程组的解为x=1y=3；
（2）2x+y=1①2x-y=4②，
由①+②得：4x＝5，
解得x=54，
把x=54代入②得：52-y＝4，
解得y=-32，
∴原方程组的解为x=54y=-32；
（3）x-y=8①x+y+z=3②2x-y+z=14③，
①+②得：2x+z＝11④，
②+③得：3x+2z＝17⑤，
④×2﹣⑤得：x＝5，
把x＝5代入①得：5﹣y＝8，
解得y＝﹣3，
把x＝5，y＝﹣3代入②得：5﹣3+z＝3，
解得z＝1，
则方程组的解为x=5y=-3z=1．
【点评】此题考查了解三元一次方程组，解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
24．（5分）填写证明的理由
已知：如图，AB∥CD，EF、CG分别是∠AEC，∠ECD的角平分线；求证：EF∥CG．
证明：∵AB∥CD（已知）
∴∠AEC＝∠ECD（ 两直线平行，内错角相等 ）
又∵EF平分∠AEC（已知）
∴∠1=12∠ AEC （ 角平分线的意义 ）
同理∠2=12∠ ECD
∴∠1＝∠2（ 等式的性质二 ）
∴EF∥CG（ 内错角相等，两直线平行 ）
【分析】根据平行线的性质和判定，角平分线的意义，填写理由即可．
【解答】解：故答案为：两直线平行，内错角相等；AEC，角平分线的意义，ECD，等式的性质二；内错角相等，两直线平行．
【点评】考查平行线的性质和判定，角平分线的意义以及等式的性质，根据图形直观，选择合适的理由是正确解答的前提．，
25．（3分）已知：如图，AB∥CD，BE交CD于点M，∠B＝∠D．求证：BE∥DF．
【分析】先由AB∥CD，可得∠B＝∠BMD，由已知条件∠B＝∠D，等量代换可得∠BMD＝∠D，即可得出答案．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠BMD（两直线平行，内错角相等）．
∵∠B＝∠D，
∴∠BMD＝∠D．
∴BE∥DF（内错角相等，两直线平行）．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练应用平行线的判定与性质进行求解是解决本题的关键．
26．（6分）北京时间2023年10月26日，神舟十七号载人飞船发射取得了圆满成功！神舟十七号发射成功并对接中国空间站，标志着中国载人航天走过空间站关键技术验证阶段和建造阶段．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进A、B两种航天载人飞船模型进行销售，据了解，2件A种航天载人飞船模型和3件B种航天载人飞船模型的进价共计95元；3件A种航天载人飞船模型和2件B种航天载人飞船模型的进价共计105元．
（1）求A，B两种航天载人飞船模型每件的进价分别为多少元？
（2）若该超市计划正好用250元购进以上两种航天载人飞船模型（两种航天载人飞船模型均有购买），请你写出所有购买方案．
【分析】（1）设A种飞船模型每件进价x元，B种飞船模型每件进价y元，根据“2种A型飞船模型和3种B型飞船模型的进价共计95元；3种A飞船模型和2种B型飞船模型的进价共计105元”，即可得关于x、y的一元二次方程组，解之即可；
（2）设购进a件A型飞船模型和b件B型飞船模型，根据总价＝单价×数量，得到关于a、b的二元一次方程，结合a、b是正整数即可得所有购买方案．
【解答】解：（1）设A种飞船模型每件进价x元，B种飞船模型每件进价y元，
根据题意，得2x+3y=953x+2y=105，
解得x=25y=15，
答：A种飞船模型每件进价25元，B种飞船模型每件进价15元；
（2）设购进a件A型飞船模型和b件B型飞船模型，
根据题意，得25a+15b＝250，
∴a=10-35b，
∵a，b均为正整数，
∴当b＝5时，a＝7；当b＝10时，a＝4；当b＝15时，a＝1，
∴所有购买方案如下：
①购进7件A型飞船模型和5件B型飞船模型；
②购进4件A型飞船模型和10件B型飞船模型；
③购进1件A型飞船模型和15件B型飞船模型．
【点评】本题考查了二元一次方程组的实际应用及二元一次方程的正整数解的应用，找准等量关系列出二元一次方程（组）是解题关键．
27．（5分）如图：点A，B，C分别是∠MON的边OM，ON上的点．连接AB，AC，过B点作BE∥AC交AO于点E，点D是线段BC上任意一点，过点D作DF∥AB交线段AC于点F．
（1）补全图形；
（2）请判断∠ABE与∠CFD的关系，并证明你的结论．
【分析】（1）连接AB，AC，过B点作BE∥AC交AO于点E，点D是线段BC上任意一点，过点D作DF∥AB交线段AC于点F即可．
（2）依据平行线的性质，即可得到∠ABE与∠CFD的关系．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）∠ABE与∠CFD的关系为：∠ABE＝∠CFD．
证明：∵BE∥AC，
∴∠ABE＝∠BAC，
∵DF∥AB，
∴∠CFD＝∠BAC，
∴∠ABE＝∠CFD．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等．
28．（5分）大家知道2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用2-1来表示2的小数部分，因为2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
（1）17的整数部分是 4 ，小数部分是 17-4 ；
（2）如果5的小数部分为a，13的整数部分为b，求a+b-5的值．
【分析】（1）判断出17在哪两个相邻的整数之间，即可得出结论；
（2）先判断出5及13在哪两个相邻的整数之间，即可得出a、b的值，再代入求解．
【解答】解：（1）∵4＜17＜5，
∴17的整数部分是4，小数部分是17-4；
故答案为：4，17-4；
（2）∵2＜5＜3，3＜13＜4，
∴5的整数部分是2，小数部分a=5-2，13的整数部分b＝3，
∴a+b-5=5-2+3-5=1．
【点评】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
29．（6分）“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．现将两灯射出的光束看作是两条射线，如图1所示，灯A射出的光束AA′从AM开始顺时针旋转至AN便立即往回旋转，灯B射出的光束BB′从BP开始顺时针旋转至BQ便立即往回旋转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a度/秒，灯B转动的速度是b度/秒，a，b满足|a﹣2|+（b﹣1）2＝0．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝2：1．
（1）填空：a＝ 2 ，b＝ 1 ，∠BAN＝ 60 °；
（2）若灯B射出的光束BB′先转动15秒，灯A射出的光束AA′才开始转动，在灯B射出的光束BB′到达BQ之前（即灯B转动角度小于180°），A灯转动多少秒时，两灯射出的光束互相平行？
（3）如图2，两灯同时开始转动，在灯A射出的光束AA′到达AN之前（即灯A转动角度小于180°），若两灯射出的光束交于点C，过C作∠ACD＝120°，交PQ于点D，在转动过程中，∠ACD的度数保持不变，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．
【分析】（1）由二非负数的和为零得a﹣2＝0，b﹣1＝0，求出a、b，再由补角的定义，即可求解；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，①当0＜t＜90时，由平行线的性质可得∠CAM＝∠PBD，得出一元一次方程，即可求解；②当90＜t＜115时，同理可求；
（3）由角的和差得∠BAC＝2t﹣120°，∠BCA＝180°﹣（∠ABC+∠BAC），∠BCD＝120°﹣∠BCA，即可求解；
【解答】解：（1）由题意可得：a﹣2＝0，b﹣1＝0，
∴a＝2，b＝1，
∵∠BAM＝2∠BAN，
∵∠BAM+∠BAN＝180°，
∴3∠BAN＝180°，
∴∠BAN＝60°，
故答案为：2，1，60；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
①当0＜t＜90时，如图1，
∵PQ∥MN，
∴∠PBD＝∠BDA，
∵AC∥BD，
∴∠CAM＝∠BDA，
∴∠CAM＝∠PBD，
∴2t＝15+t，
解得：t＝15；
②当90≤t＜165时，如图2，
∵PQ∥MN，
∴∠PBA+∠BAN＝180°，
∵AB∥CD，
∴∠CAN＝∠BDA，
∴∠PBD+∠CAN＝180°，
∴15+t+（2t﹣180）＝180，
解得t＝115；
当t＝15或t＝115时，两灯的光束互相平行．
（3）不会变化．
理由如下：设灯A射线转动时间为t秒，
∵∠MAC＝2t，∠MAB＝120°，
∴∠BAC＝2t﹣120°
＝2（t﹣60°），
又∵∠DBC＝t，∠ABD＝120°，
∴∠ABC＝120°﹣t，
∠BCA＝180°﹣（∠ABC+∠BAC）
＝180°﹣t，
又∵∠ACD＝120°，
∴∠BCD＝120°﹣∠BCA
＝120°﹣（180°﹣t）
＝t﹣60°
∴∠BAC：∠BCD＝2：1，
∴∠BAC和∠BCD关系不会变化．
【点评】本题考查了角的和差，非负数的和为零，平行线的性质，一元一次方程的应用等，能熟练利用角的和差表示出所求的角及一元一次方程求解，同时能由边的不同位置进行分类讨论是解题的关键．
工序
A
B
C
D
E
F
G
所需时间/分钟
9
9
7
9
7
10
4
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
A
D
C
B
C
C
B
C
B
工序
A
B
C
D
E
F
G
所需时间/分钟
9
9
7
9
7
10
4