湖南省2025届高三下学期仿真演练二数学试题（解析版）

这是一份湖南省2025届高三下学期仿真演练二数学试题（解析版），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，
则，
所以，
，
故选：B.
2. 已知集合，集合，则（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】对于集合A：由题意，得，
所以，
对于集合B，，则，
所以，
因此.
故选：A
3. 若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】原式，
故选：B.
4. 若函数与直线恰有三个交点，则a取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】画出的图象，
由图象可知a的范围是.
故选：D
5. 从两名男同学和四名女同学中随机选出三人参加数学竞赛，则恰好选出一名男同学和两名女同学的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】六名同学选名同学，有种选法，
其中恰好选出一名男同学和两名女同学有种选法，
所以，
故选：C.
6. 已知是直三棱柱，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足，，若三棱柱有内切球，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，
根据正弦定理得，，
则，
因为，所以，则，即，
则，又，
所以，所以，即，
设的内切圆半径为，
则，即，
要使三棱柱有内切球，说明内切球半径刚好为，
所以三棱柱的高为内切球的直径，即.
故选：B.
7. 数列满足，为其前项和，若对任意正整数，，若时，恒有成立，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由已知
当，时，，即，
当，时，，得，
当，时，，得，
又当，时，，即，解得，
则，，，，，
当，时，，得，
当，时，，得，
所以，
故选：B.
8. 若椭圆的左右焦点分别为，，直线l：与椭圆交于A，B两点，若点P为线段上的动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】联立直线与椭圆的方程，
可得，即得，代入，
得，，，，
因为，令则，则，
若，，
又因为，的面积都为定值，
因此，
因此我们只需要求的最小值即可，
设，，，
作差得，时最小为，
因此；
同理，当时，，
，当时最小为0，
S最小为，综合比较可的最小值为，
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若，均为复数，下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若，则
C. 若，
D. 若，在复平面内对应的点在第一象限，则实数n的范围是
【答案】AC
【解析】，，则，
，，故A正确
设，，则，而，故B错误
设，，则，则，故C正确
因为，因此，所对应点为
该点在第一象限，说明，即，故D错误.
故选：AC.
10. 已知函数，下列说法正确的是（ ）
A. 当时，
B. 是周期函数，且最小正周期为
C. 不存在直线与曲线相切
D. 若，，，则
【答案】ACD
【解析】由函数，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，当且仅当时等号成立；
又函数，恒成立，函数单调递减，
所以当时，，
所以，A选项正确；
由，周期为，故B选项错误；
令，方程无解，故C选项正确；
，且在单调递增，
因此，所以，
所以，，故D选项正确；
故选：ACD.
11. 为抛物线上一点，按照如下方式构造与：过点作的切线交轴于，取中点为，过点作的切线，切点为，与轴交于点，与为两个不同的点，为抛物线的焦点，若，则（ ）
A. 数列为等比数列
B. 数列为等比数列
C.
D.
【答案】BCD
【解析】由抛物线，即，，
当时，过点做抛物线的切线，则切线斜率为：，
则切线方程为，即，则，
又为中点坐标值为，，
过的切线，代入，得，，
可得，，故A错误，B正确；
又，则，
所以，，所以
则，故D正确；
过点的切线为，所以，
令，，即，又，
，
所以，故C正确；
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若随机变量，且，则______.
【答案】0.7
【解析】随机变量，且，故，
所以.
故答案为：0.7
13. 已知椭圆，为的右焦点，为第一象限内椭圆上的一点，过点作的切线，与、轴分别交于，两点，若，则点的坐标为______.
【答案】
【解析】设，，
易知切线斜率存在，
则设切线方程为
，可得，
则，
所以，代入直线，可得，
即，即直线为，即，
令，得，同理令，得，
因此，，
又因为，，
故，得，，
故点的坐标为，
故答案为：.
14. 若函数，，若，为偶函数，则______.若为奇函数，则______.
【答案】①. ， ②. ，
【解析】当时，，
若为偶函数，则，
，
整理得恒成立，
恒成立，
因此，，
若为奇函数，则，即
整理得：
，
因此，此时，.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知在中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且，，D为外一点.
（1）求角A；
（2）若A，B，C，D四点共圆，求四边形面积的最大值.
解：（1）由及正弦定理得，
即，
又，故，
因为，所以，所以，，
所以，所以.
（2）由题意为圆内接四边形，所以，
又，由余弦定理得，所以，所以，
同理，，所以，
所以，
所以四边形面积为
，
所以四边形面积最大值为.
16. 已知椭圆，，，M为C上异于P，Q一点，O为坐标原点.
（1）当点P到直线的距离为1时，求直线的斜率；
（2）若直线交于点N，，的面积分别为和，若，求直线的斜率.
解：（1）设，由题意
解得，所以的斜率为；
（2）过点P作，所以，
所以，设，，所以
，联立
联立
所以，，
解得，，所以直线的斜率为或.
17. 如图，正三棱锥的各棱长均为，，，分别是，，的中点，连接，，点为底面内边上的高所在直线上的动点，为的中心（图中未画出），
（1）若平面平面直线，证明：平面
（2）若，平面与平面的夹角的余弦值为，求.
解：（1），，分别是，，的中点，
，
又平面，平面，
平面，
平面，且平面平面，
，
又平面，平面，
平面；
（2）由三棱锥为正三棱锥，且为底面的中心，
则平面，
又由已知三棱锥的各棱长均为，
，，
，，，，
又为底面内边上的高所在直线上的动点，
，
，
，，
设平面的一个法向量为，
则，
令，可得，
又易知平面的一个法向量为，
则，，
解得.
18. 已知函数
（1）证明：.
（2）若有且只有一个零点，求a的范围.
（1）证明：，，
当时，；
当时，要证，即证，即证
即证，
构造函数，
当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，
所以函数在处取得最小值，所以，即可得证，所以；
（2）解：令，
当时，，
则在上单调递增，故，函数无零点；
当时，，由（1）得，，
所以，所以，在上单调递增，，，
，当时，，且，
因为在上单调递增，所以存在一个，使，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又因为，所以，在上没有零点，
又因为，所以，又因为，且在上单调递增，
此时存在一个使，
但当时，无零点,
综上，.
19. 甲同学与乙同学进行如下游戏：在个白色小方格中，甲同学将从上往下数的第i行，从左往右数的第j列涂黑，而乙同学从除黑色方格以外的任意一格出发，只能往前、后、左、右四个方向移动，且不能经过黑色方格.若乙可以不重复的一次性经过所有白色方格，则乙获胜，否则甲获胜，记甲涂黑的方格为.
（1）若，甲同学随机涂黑一个方格，求甲获胜的概率.
（2）若甲将涂黑，求证：当m为奇数时，甲一定获胜.
（3）若m为奇数，乙从出发，甲将涂黑，其中i，j不同时为1，求证：甲获胜的概率.
（1）解：甲随机涂黑一个，在方格的四个角和中心处，显然乙可以不重复地一次性经过所有白色方格，
只有当甲涂黑，，，时，乙无法不重复地一次性经过所有白色方格，
故甲获胜概率为.
（2）证明：我们为格子标号：
乙不妨从1出发，则乙的路线必定是1→2→1→2…，
若乙要获胜，则标号为1的格子数与标号为2的格子数之差的绝对值不大于1，
若最后是2，则说明1的数量和2的数量相同，若最后是1，则说明比2多一个，
由于m为奇数，则第3，5，7…列，1的数量比2的数量多1个，
这样的列数一共有个，也就是1比2的数量多，
同理，第2，4，6，…，2的数量比1的数量多一个（不考虑黑格），这样的列一共有列，
因此1的数量比2的数量多个，
但实际情况是第二列中1的数量和2的数量一样多，因此1的数量比2的数量多两个，
这说明乙无法不重复地一次性经过所有白色方格，因此当m为奇数时，甲一定获胜.
（3）证明：受到（2）的启发，我们仍然为格子标号：
乙的路线仍然是1→2→1→2→…,乙获胜只需要使1和2一样多，或1比2多一个，
我们考虑1比2多两个的情况：
若不考虑涂黑的格子，由（2）可知：1比2的数量多1个
当且仅当涂黑2时，1比2的数量多两个，此时甲一定获胜，
第1，3，5…m列共有个2，第2，4，6…列共有个2，因此一共有个2，
又因为甲可以涂黑除了共个方格，因此甲获胜的概率.1
黑格
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1