2025年高考第三次模拟考试卷：数学（江苏专用01）（解析版）

这是一份2025年高考第三次模拟考试卷：数学（江苏专用01）（解析版），共17页。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 若全集，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得，，所以，
故选：A
2.若复数z满足，则（ ）
A. B. 1C. 2D.
【答案】A
【解析】因为，
所以，
所以，
故选：A.
3. 已知向量，，，若，则（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】B
【解析】因为，，
所以，
因为，
所以，解得，
故选：B
4. 延庆妫水公园岸边设有如图所示的护栏，护栏与护栏之间用一条铁链相连.数学中把这种两端固定的一条均匀，柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状称为悬链线.已知函数的部分图象与悬链线类似，则下列说法正确的是（ ）

A. 为奇函数B. 的最大值为1
C. 在上单调递增D. 方程有2个实数解
【答案】D
【解析】对A，定义域为R，∵，则为偶函数，A错误；
对BC，又∵，根据，在R上均单调递增，
则在在R上单调递增，且，
则当时，则，当时，则，
∴的单调递减区间为，单调递增区间为，故C错误；
则，即的最小值为，B错误；
对D，令,，
再结合指数函数性质知方程有2个实数根,故D正确.
故选：D
5. 北斗七星是夜空中的七颗亮星，我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载，它们成的图形像我国古代舀酒的斗，故命名北斗七星.北斗七星不仅是天上的星象，是古人藉以判断季节的依据之一.如图，用点A，B，C，D，E，F，G表示某季节的北斗七星，其中B，D，E，F看作共线，其他任何三点均不共线，若过这七个点中任意三个点作三角形，则所作的不同三角形的个数为（ ）
A. 35B. 34
C. 31D. 30
【答案】C
【解析】从这七个点任意选取三个点有个，
其中共线的四点中有个不能构成三角形，
所以不同的三角形个数有31个，
故选：C.
6.当时，方程的解的个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】由，得，
即，所以，
解得，则或，
因为，
当时，则或，
当时，则，
因此共有三个解.
故选：D.
7. 设为双曲线的右焦点，，分别为的两条渐近线的倾斜角，已知点到其中一条渐近线的距离为1，且满足，则双曲线的焦距为（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】D
【解析】双曲线，其渐近线方程为，不妨设，.
右焦点到渐近线（不妨取这条）的距离为.
根据双曲线的性质，则，已知点到其中一条渐近线的距离为，所以.
因为，分别为的两条渐近线的倾斜角，且，又，所以，解得. 可得，即，解得.
可得，所以. 双曲线的焦距为.
故选：D.
8. 已知一几何体上半部分为圆台，下半部分为圆锥，其中圆锥底面的半径为，高为．圆台的两底面的半径分别为和，高为．该几何体内接于表面积为的球，则圆台的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】外接球半径，则．
，
设外接球球心，在即
在即
则，
，
故选：D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 已知一组数据，，，的方差为3，则，，，的方差也为3
B. 对具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数m的值是
C. 已知随机变量X服从正态分布，若，则
D. 已知随机变量X服从二项分布，若，则
【答案】BCD
【解析】对于A：设的平均数为，方差为，
则，，
所以，，，的平均数为，
所以方差为
，故选项A不正确；
对于B：因为线性回归直线过样本点中心，所以，可得，
故选项B正确；
对于C：因为随机变量服从正态分布，所以对称轴为，又，
而，所以，
则，故选项C正确；
对于D：因为服从二项分布，所以，
所以，则，故选项D正确.
故选：BCD
10.已知数列是首项为2的等比数列，其前项和为，若，则（ ）
A. B.
C. ，D.
【答案】BC
【解析】设公比为，根据题意有，
所以或，
当时，，，
当时，，故A错误，B正确；
当时，，，
当时，，，
所以，，故C正确；
当时，，故D错误.
故选：BC.
11.已知函数存在两个极值点，且，．设的零点个数为，方程的实根个数为，则（ ）
A. 当时，B. 当时，
C 当时，D. 一定能被3整除
【答案】ABC
【解析】由题意可知为二次函数，且为的零点，
由得或，
当时，令，解得或；令，解得，
所以在内单调递增，在内单调递减，
则为极大值点，为极小值点，
所以，即，
若，则，此时，与矛盾，故，A说法正确；
所以有2个根，有1个根，可知，B说法正确；
当时，令，解得，令，解得或，
所以在内单调递增，在内单调递减，
则为极大值点，为极小值点，
所以，即，
若，则，此时，与矛盾，故，
当fx2=−x2>0，即时，可知，，此时，，
当，即时，可知，，此时，，
当，即时，可知，，此时，，
综上C说法正确，D说法错误；
故选：ABC
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则______.
【答案】
【解析】，
．
故答案为：．
13. 小明参加一项篮球投篮测试，测试规则如下：若出现连续两次投篮命中，则通过测式；若出现连续两次投篮不中，则不通过测试.已知小明每次投篮命中的概率均为，则小明通过测试的概率为__________.
【答案】
【解析】设第一次投篮成功为事件B，通过测试为事件A，
则，
所以，
所以，
故答案为：
14.已知分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上三个不同的点，直线的方程为，且的平分线经过点，设内切圆的半径分别为，则__________.
【答案】5
【解析】由题意可知，
所以由，
由上得，且
所以，
所以，所以即，
令得，故直线经过点，
联立，
所以，
所以同理可得，
所以.
故答案为：5.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
在中，内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若为的中点，且的长为2，求的最大值，并求此时的值．
【答案】(1)；(2)的最大值为8，.
【解析】（1）在中，由及正弦定理得，（2分）
由余弦定理得，（4分）
而，
所以.（6分）
（2）在中，由余弦定理得，（8分）
则，
即，当且仅当时取等号，（11分）
此时，
所以的最大值为8，.（13分）
（15分）
一个不透明的盒子中装有规格完全相同的3个小球，标号分别为，现采用有放回的方式摸球两次，每次摸出1个小球，记第一次摸到的小球号码为，第二次摸到的小球号码为.
（1）记“”为事件，求；
（2）完成两次摸球后，再将与前面3个球规格相同的4号球和5号球放入盒中，并进行第三次摸球，且将第三次摸到的小球号码记为，号码中出现偶数的个数记为，求的分布列及数学期望.
【答案】（1） （2）分布列见解析；.
【解析】（1）两次摸球，摸出的小球号码的所有情况共种，（2分）
其中，满足“”的情形有：
时，；时，；时，；共5种情况，（5分）
故；（7分）
X的可能取值为，
则，，
，，（11分）
故X的分布列为：
（13分）
故（15分）
17．（15分）
如图，在中，，，是边上一点，将沿翻折至，且平面平面.当面积最大时：
（1）求；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）因为，
所以当时，即 面积最大，（2分）
又当时，因为平面，
所以平面，而平面，
所以平面平面，符合题意，
显然，（5分）
因为，，
所以，因此设，
由余弦定理可知：
（7分）
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，
，
由（1）可知平面，
所以平面的法向量为，（9分）
设平面的法向量为，，
于是有，（13分）
所以二面角的余弦值为.
（15分）
18．（17分）
已知，且曲线在点处的切线方程为.
（1）求的值；
（2）设的导函数为，求的单调区间；
（3）证明：当时，.
【答案】（1）
（2）单调递增区间为，单调递减区间为；
（3）证明见解析
【解析】（1）因为，所以，（2分）
因为曲线在点处的切线方程为，
所以，解得；（4分）
（2）由（1）可得，所以，
则，定义域为，
所以，（6分）
因为，令，即，解得；
令，即，解得，（8分）
所以的单调递增区间为，单调递减区间为；（9分）
（3）由（2）可知在上单调递增，
又，，
又，
所以，即，
所以，使得，（12分）
所以当时，即，所以在上单调递减；
当时，即，所以在上单调递增；（14分）
又，，
所以，
所以当时，.（17分）
19．（17分）
已知抛物线的焦点为F，在第一象限内的点和第二象限内的点都在抛物线C上，且直线过焦点F．按照如下方式依次构造点：过点作抛物线C的切线与x轴交于点，过点作x轴的垂线与抛物线C相交于点，设点的坐标为．用同样的方式构造点，设点的坐标为．
（1）证明：数列都是等比数列；
（2）记，求数列的前n项和；
（3）证明：当时，直线都过定点．
【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析
【解析】（1）抛物线C的方程可化为，求导可得，
将点的坐标代入抛物线C的方程，有， （2分）
过点的切线的方程为，代入，有，
整理为，（3分）
令，可得，有，
故数列是公比为的等比数列，
同理，数列也是公比为的等比数列；（4分）
（2）由焦点，设直线的方程为，
联立方程消去y后整理为，有，（6分）
由数列是公比为的等比数列，有，
有，（8分）
有，
两边乘以，有，
两式作差，有，
有，可得；（11分）
（3）由（2）知，点的坐标为，点的坐标为，
直线的斜率为， （13分）
直线的方程为， （15分）
令，有，
故当时，直线过定点．（17分）
X
0
1
2
3
P