2025年高考第三次模拟考试卷：数学（新高考八省专用01 ）（解析版）

这是一份2025年高考第三次模拟考试卷：数学（新高考八省专用01 ）（解析版），共13页。试卷主要包含了已知函数的部分图象如图所示，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，又，故，故选D
2．若函数的最小正周期为，则（ ）
A．B．3C．D．
【答案】D
【解析】因为的最小正周期为，所以，得，故选D
3．已知为虚数单位，若是纯虚数，则实数（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【解析】因为，
所以，解得，故选B.
4．在中，若，，对角线的交点为O，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】．故选B
5．已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为12，到轴的距离为9，则（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】D
【解析】设抛物线的焦点为，由抛物线的定义知，
因为点到轴的距离为9，即，所以，解得，故选D
6．美味的火锅中也充满了有趣的数学知识，如图将火锅抽象为乙图的两个同心圆柱，大、小圆柱的半径分别为25cm与5cm，汤料只放在两圆柱之间，将汤勺视为一条线段，若将汤锅装满，将汤勺置于两圆柱之间无论如何放置汤料都不会将汤勺淹没，则汤勺长度最短为：（ ）cm.
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】将投影至底面为，是底面大圆的一条弦且与小圆相切（切点为）时最长，所以，所以，故选：C.
7．在中，若，，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】B
【解析】由题设有，故，故，
由余弦定理可得，
故，故三角形外接圆的半径为，故选B.
8．已知函数，若方程有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】方程有三个不同的实数根，即函数的图象与直线有三个不同交点，
作函数的图象如图所示，，

观察图象，得当时，函数的图象与直线有三个交点，
所以实数a的取值范围是，故选B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（多选）已知双曲线的离心率为，右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则（ ）
A．渐近线方程为B．渐近线方程为
C．D．
【答案】BC
【解析】由题意可得，设，则，
所以圆A的圆心为，半径长为t，双曲线的渐近线方程为，即，
圆心A到渐近线的距离，
所以弦长，
可得是边长为b的等边三角形，即有．
故选：BC.
10．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）

A．的最小正周期为
B．当时，的值域为
C．将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称
D．将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象
【答案】AC
【解析】A.，故A正确；
B.，，由图知，
则，即，
因，故，则，
当时，，故，故B错误；
C.新函数，因，故C正确；
D.新函数，故D错误.
故选：AC.
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若曲线在点处的切线方程为，则
B．若，则函数在上单调递增
C．若，则函数在上的最小值为
D．若，则
【答案】BCD
【解析】首先对函数求导，可得.
曲线在点处的切线斜率等于该点处的导数值，即.
已知切线方程为，其斜率为，所以，解得，故选项错误.
当时，，.
当时，，则，即.
根据导数与函数单调性的关系，当函数的导数大于时，函数单调递增，
所以函数在上单调递增，故选项正确.
，令，即，解得.
当时，.
当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增.
所以在处取得最小值，，故C选项正确.
当时，，则，在上单调递增.
当时，，，不满足.
当时，令，得.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以在处取得最小值.
令，对其求导得.
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
所以在处取得最大值.
要使，则，所以，故选项正确.
故选：BCD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．随机变量，若，则 ．
【答案】
【解析】因为正态分布关于均值对称，已知，那么点与点关于均值对称.可列出等式. 得到.解得.
13．已知，若，则 ．
【答案】0
【解析】由题意，所以，即，
令，则，令，则，
所以.
14．已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为 ．
【答案】或
【解析】令，
则，
由当时，，所以，
即在上是增函数，
由题意是定义在上的偶函数，所以，
所以，
所以是偶函数，在递减，
所以，，
即不等式等价为，
所以，解得或．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）在春节联欢晚会上进行了机器人团体舞蹈表演，某机构随机抽取了100名观众进行问卷调查，得到了如下数据：
(1)依据的独立性检验，试分析对机器人表演节目的喜欢是否与性别有关联？
(2)从这100名样本观众中任选1名，设事件“选到的观众是男性”，事件“选到的观众喜欢机器人团体舞蹈表演节目”，比较和的大小，并解释其意义.
，.
【解】（1）零假设对机器人表演节目的喜欢与性别无关.
根据列联表中的数据得，……3分
依据的独立性检验，可以推断不成立，
即对机器人表演节目的喜欢与性别有关联. …………………………6分
（2）依题意得，， …………………………8分
， 则 …………………………11分
意义：该样本中男性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢的概率比女性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢概率大；
或者男性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢的人数比女性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢多等等 …13分
16．（本小题满分15分）记为数列的前n项和，已知
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和
【解】（1）当时，， …………………………3分
当时，满足上式，所以. …………………………6分
（2）由题知， …………………………7分
所以， …………………………8分
， …………………………10分
两式相减得 …………………………13分
所以 …………………………15分
17．（本小题满分15分）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，，讨论的零点个数.
【解】（1）的定义域为R，. …………………………1分
若，令，得或，令，得；
若，令，得或，令，得. …………………………3分
综上，当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在，上单调递增，在上单调递减. …………………4分
（2）当时，，
令，则， …………………………6分
令，
则.
当和时，，单调递减；
当时，，单调递增. …………………………8分
所以的极小值为，的极大值为， …………………………9分
画出函数的大致图象，如图，
…………………………11分
由图可知，
当或时，函数有1个零点； …………………………13分
当或时，函数有2个零点； …………………………14分
当时，函数有3个零点. …………………………15分
18．（本小题满分17分）平面直角坐标系中，点与定点的距离和它到定直线的距离之比是常数.
(1)求点的轨迹方程；
(2)若不过点的直线交曲线于P，Q两点；
①若以P，Q为直径的圆过点，证明：直线过定点；
②在①条件下，作为垂足.是否存在定点，使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由.
【解】（1）令，结合题设有， …………………………2分
则，
所以，即点的轨迹方程为. …………………………5分
（2）若以P，Q为直径的圆过点，且直线不过点可知，直线的斜率不为0，
可设，，联立，
则，整理得，
且，则，
所以，， …………………………9分
①由题意
， …………………………11分
所以，即或（舍，直线过点），
所以，故直线过定点，得证. …………………………13分
②由，且直线过定点，
故在以为直径的圆上，且中点为， …………………………15分
该点到的距离恒为，
所以，存在定点使. …………………………17分
19．（本小题满分17分）已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作.定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量，都垂直，它的模.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为上一点，.
(1)求的长；
(2)若为的中点，求二面角的余弦值；
(3)若为上一点，且满足，求.
【解】（1）因为底面为矩形，
所以，，
因为底面，底面，
所以，
又，平面，
所以平面，
又平面，所以，
因为， …………………………2分
所以为直线与所成的角，即，
设，则，
，
在中， …………………………4分
又，所以，
解得或（舍去），所以； ………………………5分
（2）在平面内过点作交的延长线于点，连接，
因为底面，底面，所以， …………………………6分
又，，平面，
所以平面，又平面，所以，
所以为二面角的平面角， …………………………7分
因为为的中点，
所以，，
所以， …………………………8分
设二面角的平面角为，则，
所以，
即二面角的余弦值为； …………………………10分
（3）依题意，，又，
所以，，又，所以，
又，平面，所以平面， …………………………12分
在平面内过点作，垂足为，
由平面，平面，所以，
又，平面，所以平面， …………………………14分
在平面内过点作交于点，
在上取点，使得，连接，
所以且，所以四边形为平行四边形，
所以，又，即， …………………………16分
所以. …………………………17分

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