数学（知识手册，可打印）-2025年高考考前最后一课

这是一份数学（知识手册，可打印）-2025年高考考前最后一课，共23页。学案主要包含了与任一非零向量共线，时为两点分布等内容，欢迎下载使用。

*2.复数
3.平面向量
*4.不等式
*5.函数的概念与性质
*6.函数﹑基本初等函数的图像与性质
*7. 函数与方程﹑函数模型及其应用
*8. 导数及其应用1
*9. 导数及其应用2
*10. 三角函数的图像与性质
*11. 三角恒等变换
*12. 解三角形
*13. 等差数列﹑等比数列
*14. 等差数列﹑等比数列1
*15. 等差数列﹑等比数列2
注：表中均为正整数
*16.空间几何体（其中r为半径、h为高、l为母线等）
*17.空间点、直线、平面位置关系（大写字母表点、小写字母表直线、希腊字母表平面）：
*18. 空间向量与立体几何
* 19.直线方程
* 20.直线与圆的方程
【注：标准根据上下文理解为圆心到直线的距离与两圆的圆心距】
* 21.圆锥曲线的定义、方程与性质
*22. 圆锥曲线的热点问题
*23.计数原理与二项式定理
*24.统计与统计案例、概率
*25.离散型随机变量及其分布
集合与常用逻辑用语
集合
概念
Ａ={}
元素特点：互异性、无序性、确定性。
一组对象的全体.
关系
子集
Ａ的子集有个，真子集有个，非空真子集有个
；
真子集
相等
运算
交集
【提醒】：数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具.
在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂有关问题。
并集
补集
充要
条件
充分条件
，是的充分条件
若命题对应集合，命题对应集合，则等价于，等价于。
必要条件
，是的必要条件
充要条件
，互为充要条件
量词
全称量词
，含全称量词的命题叫全称命题，其否定为特称命题。
存在量词
，含存在量词的命题叫特称命题，其否定为全称命题。
*常考模式：
全称命题p：；全称命题p的否定p：.
特称命题p：；特称命题p的否定p：.
复数
复数的概念和运算
概念
虚数单位
规定：；实数可以与它进行四则运算，并且运算时原有的加、乘运算律仍成立。。
复数
形如的数叫做复数，叫做复数的实部，叫做复数的虚部。时叫虚数、时叫纯虚数。
复数相等
共轭复数
实部相等，虚部互为相反数。即，则。
运算
加减法
，。
乘法
，
除法
几何意义
复数复平面内的点向量
向量的模叫做复数的模，
主
要
性
质
复数运算
*1.运算律：⑴； ⑵； ⑶.
【提示】注意复数、向量、导数、三角等运算率的适用范围.
*2.模的性质：⑴； ⑵； ⑶.
*3.重要结论： ； ； ，；
性质：T=4；.
【拓展】：或.
平面向量
重要概念
向量
既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段的长度叫做该向量的模。
向量
长度为，方向任意的向量。【与任一非零向量共线】
平行向量
方向相同或者相反的两个非零向量叫做平行向量，也叫共线向量。
向量的模
两点间的距离
若，则
向量夹角
起点放在一点的两向量所成的角，范围是。的夹角记为。
锐角,不同向；为直角；钝角,不反向.向量的夹角带有方向性：向量是有方向的，向量间的夹角表示两个向量正方向的夹角
投影向量
，bcsθaa叫做在方向上的投影向量。
重要法则定理
基本定理
不共线，存在唯一的实数对，使。若为轴上的单位正交向量，就是向量的坐标。
一般表示
坐标表示
共线条件
（共线存在唯一实数，
＝0
垂直条件
。
。
各种运算
加法
运算
法则
设，那么向量叫做与的和，即；向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： ，但这时必须“首尾相连”。
。
算律
交换律，结合律
减法
运算
法则
用“三角形法则”：设
，由减向量的终点指向被减向量的终点。
注意：此处减向量与被减向量的起点相同。“共起点”
数乘
运算
概念
为向量，与方向相同，
与方向相反，。
算律
分配律，，
分配律
与数乘运算有同样的坐标表示。
数量积运算
概念
。
主要性质
，|a·b|≤|a||b|
算律
，分配律，。
算律
向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）
向量的
表示方法
几何表示法
用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；
符号表示法
用一个小写的英文字母来表示，如，，等；
坐标表示法
在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，＝叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
三角形的五个“心”
重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.内心：三角形三内角的平分线相交于一点.
垂心：三角形三边上的高相交于一点.旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.
同向不等式
；

两个实数的顺序关系：
取倒数法则，
基本不等式
最值定理
①，若积，则当时和有最小值；
②，若和，则当是积有最大值.
【推广】：已知，则有.
（1）若积是定值，则当最大时，最大；当最小时，最小.
（2）若和是定值，则当最大时，最小；当最小时，最大
均值不等式
平方平均算术平均几何平均调和平均 当且仅当取“”)

（正数a1=a2=…=an时取等）算术平均几何平均
重要不等式（a、b、c为正数）
当且仅当时取到“”)
，
（，）；

糖水的浓度
，则.【说明】：（）.
“1”的
代换
③已知，若，则有：
④，若则有：
函数概念及其表示
函数的概念
函数用f(x)来表示：即x按照对应法则f对应的函数值为f(x)．函数有解析式和图像两种具体的表示形式。
定义域A：x取值范围组成集合。值域B：y取值范围组成集合。对应法则f：y与x对应关系。
如：函数图像与轴的垂线至多有一个公共点,但与轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个.
定义域题型
(1)具体函数：即有明确解析式的函数，定义域的考查有两种形式: 使函数解析式有意义(如:分母;偶次根式被开方数非负; 零指数幂底数；实际问题有意义；对数真数,底数且；如的解集：；单调增区间；如：不等式的解集
(2) 复合函数定义域求法：只要对应法则相同，括号里整体的取值范围就完全相同。若的定义域为,其复合函数的定义域可由不等式解出；若的定义域为,求的定义域，相当于时,求的值域；如若函数的定义域为，则定义域为___（答：[1,5]）
区间
数轴上的一段数组成的集合可以用区间表示，区间分为开区间和闭区间，开区间用小括号表示，是大于或小于的意思；闭区间用中括号表示，是大于等于或小于等于的意思；
（1）区间是集合的另类表示方式，区间就是集合，具有集合的一般性质。
（2）它是无限集，连续的实数。或表示成（1，2），不能写成。
性质
奇
偶
性
定义
如果,则为偶函数；如果,则 为奇函数。
这两个式子有意义的前提条件是：定义域关于原点对称。确定奇偶性方法有定义法、图像法等；
（1）若判断较为复杂解析式函数的奇偶性，应先化简再判断，如判断函数奇偶性 偶函数；
（2）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反单调性；
（3）若是偶函数,那么；定义域含零的奇函数必过原点()；
判断
定义法判断：⑴定义域是关于原点对称的；（2）计算或；
若函数（a为常数）在定义域上为奇函数，则k=
利用
(1).利用公式：f(-x)=- f(x)，f(-x)= f(x)，计算或求解析式；(2).利用复合函数奇偶性结论：F(x)=f(x)g(x)，奇奇得偶，偶偶得偶，奇偶得奇；F(x)=f(x)+g(x)，当f(x)为奇，g(x)为偶时，代入-x得：F(-x)=-f(x)+g(x),两式相加可以消去f(x),两式相减可以消去g(x),从而解决问题；（4）奇偶函数图像的对称性
周
期
性
对定义域内任意，存在非零常数，，为周期
⑴若对时恒成立,则 的周期为；
⑵若是偶函数,其图像又关于直线对称,则的周期为；
⑶，或或为；
单调性
定义
定义域内一区间，增；减
求单调区间
定义法、导数法、图像法和特值法(用于小题)等（提醒：求单调区间时注意定义域）
导数法： = 1 \* rman i求定义域： = 2 \* rman ii求； = 3 \* rman iii 的解构成增区间；注意：区间表示。如：函数的单调递增区间是 .( )；函数单调增区间是 .(和)
证明
定义法、导数法。判断单调性：小题首选复合函数法，其次求导数；大题首选求导数，其次用定义。
（1）定义法： = 1 \* rman i取值 = 2 \* rman ii作差变形判断符号；
（2）导数法： = 1 \* rman i求； = 2 \* rman ii判断符号；
利用
(1).求值域：利用单调性画出图像趋势，定区间，断。
(2).比较函数值的大小：画图看(3)解不等式：增或；减或(4).求系数：利用常规函数单调性结论，根据单调性求系数。，则范围是；
已知为R上增，则的实数的取值范围。
复合函数
由“同增异减”判定：①分解为基本函数：内函数与外函数；②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内单调性.
已知复合函数单调性，求字母范围： = 1 \* rman i分解出内外层函数； = 2 \* rman ii研究内外层函数的单调性的关系；
= 3 \* rman iii兼顾函数的定义域；如：若y=lg(2-ax)在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是 (1，2)
求函数解析式的常用方法
待定系数法基本步骤
= 1 \* GB3 ①确定所求问题含有待定系数的解析式；二次函数解析式的三种形式： 一般式：；顶点式：； 零点式：.
= 2 \* GB3 ②根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；
= 3 \* GB3 ③解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。
如一元二次不等式解集是,可设
配凑法
若，则函数=_____（答：）
坐标转移
函数关于函数图形关于直线对称，则
函数与 的图像关于原点成中心对称；
方程的思想
对已知等式进行赋值，从而得到关于及另外一个函数的方程组；
函数是一个偶函数，是一个奇函数，且，则等于 ；
若函数分别是上的奇函数、偶函数，且满足，则有=
图象几种常见变换
对称
变换
①函数与的图像关于原点成中心对称
②函数与图像关于直线(轴)对称；
③函数对，或恒成立,图像关于对称；
④若对时,恒成立,则图像关于对称；
函数,的图像关于直线对称(由确定)；
= 5 \* GB3 ⑤函数的图象是把函数的图象沿轴伸缩为原来的得到的。
如若函数是偶函数，则函数的对称轴方程是_______(答：)．
平移变换
左右平移----“左加右减”（针对而言）；上下平移----“上加下减”(针对而言)
翻折变换
；.注意翻折时机和翻折的本质：如由向右平移3单位
求函数值域（最值）的方法
配方法
二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系），如求函数的值域（答：[4,8]）；
换元法
通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，如的值域为_____（答：）（令，。运用换元法时，要特别要注意新元的范围）；
有界性
利用已学过函数的有界性，确定值域，最常用的就是三角函数的有界性，如
单调性
利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，如求；；
数形结合
函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等，如已知点在圆上，求的取值范围（答：）；求的值域（答：）；
判别式
求的值域（答：）；
不等式
利用基本不等式求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
导数法
一般适用于高次多项式函数，如求函数，的最小值。（答：－48）
提醒：求函数的定义域、值域时，你按要求写成集合包括区间形式了吗？
基本初等函数Ⅰ
指数函数

定义域R值域
单调递减，
时，时
单调递增，时，时
对数函数：函数
；
是指数函数，则有（ ）
函数的定义域为
函数的值域为R；函数的值域是__．（0，＋∞）；
在单调递减，时，时
在单调递增，
时，时
幂函数
一般地，形如 的函数称为幂函数，其中为常数．
幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数
幂函数的图象下凸
幂函数的图象上凸
幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．
指数函数对数函数
对数与对数性质：
⑴；⑵对数恒等式
⑶；；
⑷对数换底公式
函数零点
概念
函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点；如：函数在定义域上零点个数为1
存在定理
图象在上连续不断，若，则在内存在零点。
二
分
法
方法
对于在区间，上连续不断，且满足·的函数，通过不断地把函数的零点所在区间一分为二，使区间两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
步骤
第一步
确定区间，验证，给定精确度。
第二步
求区间的中点；
第三步
计算：（1）若，则就是函数的零点；（2）若，则令（此时零点）；（3）若，则令（此时零点）．（4）判断是否达到精确度即若，则得到零点近似值（或）；否则重复（2）～（4）．
函数的零点所在的大致区间是（0，1）或（画图；注意：只能说明函数在分别增，不是在定义域内增，不能误认为零点只有一个（错））
导数及其应用
概念与几何意义
概念
在点处的导数如当 .
几何
意义
（1）“在”点处的切线：ⅰ斜率=ⅱ切线
曲线在点处的切线的斜率是，相应地切线的方程是。
（2）“过”点在曲线上切线：
ⅰ设切点；ⅱ求切线方程； = 3 \* rman iii列方程组：切点在曲线上；切点在切线上； = 4 \* rman iv解方程组，得，求切线。
如，过作的切线，求此切线的方程（答：或）。
如经过原点且与曲线y=相切的方程是 两个切点A(－3，3)或B(－15,)x+y=0或+y=0；
在求曲线的切线方程时，要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线，还是过某点的切线：曲线上某点处的切线只有一条，而过某点的切线不一定只有一条，即使此点在曲线上也不一定只有一条；
物理意义
瞬时速度；V＝s/(t) 表示即时速度。a=v/(t) 表示加速度。
如一物体的运动方程是，其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在时的瞬时速度为____（5米/秒）
运算
基本
公式
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧。
；
运算
法则
复合函数求导法则
如等比数列中，，=4，函数，则
解：故
研究
函数
性质
函数的单调性
①若,则为增函数；若,则为减函数；
若的符号不确定,则不是单调函数。
②若函数在区间（）上单调递增，则，反之等号不成立；若函数在区间（）上单调递减，则，反之等号不成立
如：已知为减函数求字母取值范围,那么不等式恒成立。如：设函数在上单调函数，则实数的取值范围______（答：）；
已知函数若在上单调递增，求的取值范围：；
如：若函数y=－x3+bx有三个单调区间，则b的取值范围是_____解析：y′=－4x2+b，若y′值有正、有负，则b>0；如： 的单调减区间：减区间，你会画图吗？
求函数的单调区间的具体步骤是：①确定的定义域；②计算导数；③求出的根；
④用的根将的定义域分成若干个区间,列表考察这若干个区间内的符号,进而确定的单调区间；
思考
1.导数有哪些应用？（求斜率，判断单调性与求单调区间，求极值与最值，证明不等式），导数的几何意义是什么？物理意义呢？知道是牛顿和莱布尼兹发明了微积分吗？
2．求导数的规则、公式你都记得吗？一共有多少个公式？有两个容易记错！导函数相同的两个原函数一定也相同吗？请举例说明。
3．导数的定义还记得吗？它的几何意义和物理意义分别是什么？利用导数可解决哪些问题？具体步骤还记得吗？求切线，求极值，求单调区间，求最值，
4导数求曲线的切线步骤是什么？你能区别“在”一点处的切线和“过”一点的切线吗？
导数及其应用
研究
函数
性质
极值
函数的极值定义：设函数在点附近有定义，如果对附近所有的点，都有，就说是函数的一个极大值。记作＝，如果对附近所有的点，都有，就说是函数的一个极小值。记作＝。极大值和极小值统称为极值。
极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点
如：设f（x）=x3－3ax2+2bx在x=1处有极小值－1，试求a、b的值，并求出f（x）的单调区间；
解 a=b=－此时f（x）=x3－x2－x，（x）=3x2－2x－1=3（x+）（x－1）
当（x）>0时，x>1或x