广东省汕头市金山中学2023-2024学年高一上学期期末考试 数学试题（含答案）

这是一份广东省汕头市金山中学2023-2024学年高一上学期期末考试 数学试题（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（ ）
A．B．C．D．
3．若a，b为实数，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件
4．已知为奇函数，为偶函数，若当时，，则（ ）
A．－2B．－1C．D．
5．一种药在病人血液中的量保持1500mg以上才有效，而低于500mg病人就有危险．现给某病人注射了这种药2500mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过（ ）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效（附：，，答案采取四舍五入精确到0.1h）
A．2.3小时B．3.5小时C．5.6小时D．8.8小时
6．已知函数在上有4个零点，则实数a的最大值为（ ）
A．B．C．D．
7．设，，，，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数是定义域为的偶函数，当时，，若关于x的方程，有且只有7个不同实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本题共4小题，共20分．
9．下列结论正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，的最小值是2
C．当时，的最小值是4
D．设，，且，则的最小值是9
10．函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象可由函数向左平移个长度单位得到
B．是函数图象的一条对称轴
C．若，则的最小值为
D．方程在区间上只有一个根时，实数a的取值范围为
11．在平面直角坐标系xOy中，已知任意角以x轴的正半轴为始边，若终边经过点且，定义：，称“”为“正余弦函数”．对于正余弦函数，正确的是（ ）
A．该函数的值域为
B．该函数图象关于原点对称
C．该函数图象关于直线对称
D．该函数的单调递增区间为，
12．已知函数，的定义域均为，且，，若的图象关于直线对称，则以下说法正确的是（ ）
A．为奇函数B．
C．，D．若的值域为，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．函数零点的个数为______．
14．将函数的图象沿x轴向右平移个长度单位后，得到一个偶函数的图象，则的最小值为______．
15．______．
16．若实数a，b，c满足，，则c的最大值是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题10分）已知非空集合，．
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
18．（本小题12分）已知，．
（1）求的值；
（2）若，且，求的值．
19．（本小题12分）一个大风车的半径为8米，风车按逆时针方向匀速旋转，并且12分钟旋转一周，它的最低点离地面2米，设风车开始旋转时其翼片的一个端点P在风车的最低点，求：
（1）点P离地面距离h（米）与时间t（分钟）之间的函数关系式；
（2）在第一圈的什么时间段点P离地面的高度超过14米？
20．（本小题12分）已知函数，．
（1）求方程的解集；
（2）若不等式对于恒成立，求m的取值范围．
21．（本小题12分）
已知函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为．
（1）求函数图象的对称轴方程；
（2）若函数在上的零点为，，求的值．
22．（本小题12分）设函数的定义域为D，若存在，使得成立，则称在定义域D上存在不动点（是的一个“不动点”）．已知函数．
（Ⅰ）若函数在区间上存在不动点，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设函数，若，都有成立，求实数a的取值范围．
2023级高一第一学期期末考试数学试卷参考答案
13．4 14． 15． 16．
17．解：（1）当时，，，
解不等式得：，即，所以．
（2）若“”是“”的充分不必要条件，即，
当时，即，，满足条件；
当时，即，，有（等号不同时成立），
解得：；即实数a的取值范围为．
18．解：（1）∵，，∴，解得，
∴；
（2）∵，且，∴，∴．
∴，
又∵，∴．
19．解：（1）设，由题意得：，，；
则，当时，，即；因此，；
因此，，；
（2）由题意：，即：；则：；
又因为，所以．
20．解：（1），
因为，则，即，
则或，解得或，
所以方程的解集为；
（2）对，，设，，
所以不等式对于恒成立等价于
不等式对于恒成立，即对于恒成立，
设，，由基本不等式可知，当时，取得最小值，
∴，∴m的取值范围为．
21．解：（1），
由题意可得周期，即，∴，
∴，由，得．
所以函数图象的对称轴方程为．
（2）由函数在上的零点为，，不妨设，
可知，且．
易知与关于对称，则，
∴．
22．解：（Ⅰ）由题意知，，即在上有解，
令，，则，则在上有解，
即在上有解，
根据对勾函数的图象与性质得，在上单调递减，在上单调递增，
则，则，所以，
故实数a的取值范围为；
（Ⅱ），则，
则，
又在上是减函数，则，，
则，，
令，，则，所以，
则，易知函数在上单调递增，则；
函数在上单调递减，则，
所以，解得．故实数a的取值范围为．1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
B
D
D
A
C
A
A
AD
BC
CD
BC