广东省汕头市金山中学2021-2022学年高一上学期期末考试数学含答案

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64 14. （3，0）
16.
17.解：
（1），解得
（2）
=
解：
(1)由题意知，A=3−1=2，T2=π2，
∴T=2πω=π，∴ω=2，
∴函数f(x)=2cs(2x−π6)+1；
(2)设α∈(0,π)，则f(α2)=2cs(α−π6)+1=2，
∴cs(α−π6)=12，∴α−π6∈(−π6,5π6)，
∴α−π6=π3， ∴α=π2．
解：
(1)当0≤x<6时，由题意，设fx=ax2+bx+ca≠0．
由表格数据可得f0=c=0f1=a+b+c=74f2=4a+2b+c=3，解得a=−14b=2c=0,
所以当0≤x<6时， fx=−14x2+2x，
当x≥6时， fx=13x−t由表格数据可得f9=139−t=19，
解得t=7．
所以当x≥6时， fx=13x−7，
综上 fx=−14x2+2x,0≤x<613x−7,x≥6．
(2)当0≤x<6时， fx=−14x2+2x=−14x−42+4．
所以当x=4时，函数fx的最大值为4;
当x≥6时， fx=13x−7单调递减，
所以fx的最大值为f6=136−7=3，
因为4>3，所以函数fx的最大值为4．
20.解：
(1)由f(x)=23sin xcs x+1−2sin2x，
得f(x)=3(2sin xcs x)+(2cs2x−1)=3sin 2x+cs 2x=2sin(2x+π6)，
所以函数f(x)的最小正周期为π．
又因为f(x)=2sin(2x+π6)在区间上为增函数，在区间和π6,π2上为减函数，
而，，fπ6=2，fπ2=−1，
所以函数f(x)在区间−π2,π2上的最大值为2，最小值为−2．
(2)由(1)可知f(x0)=2sin(2x0+π6)．
又因为f(x0)=65，所以sin(2x0+π6)=35．
由x0∈[π4,π2]，得2x0+π6∈[2π3,7π6]，
从而cs(2x0+π6)=− 1−sin2(2x0+π6)=−45，
因此cs 2x0=cs[(2x0+π6)−π6]=cs(2x0+π6)csπ6+sin(2x0+π6)sinπ6=3−4310．
21解：
函数f(x)=x2+(x−2)a−3x+2=x2+(a−3)x−2(a−1)
=(x−2)[x−(1−a)]，
所以x1+x2=2+(1−a)=2+(−2)=0，解得a=3，
(2)不等式f(x)−x+3≥0，即a(x−2)≥−(x2−4x+5)，
由x>2得x−2>0，所以a≥−x2−4x+5x−2对任意x>2恒成立；
当x>2时，−x2−4x+5x−2=−(x−2+1x−2)≤−2，
当且仅当x=3时取“=”号；
所以a≥−2，即a的取值范围是[−2,+∞)．
22解：
(1)当a=−2时，f(x)=−2x2+1．
方程f(x)=x可化为2x2+x−1=0，解得x=−1或x=12，
所以f(x)的不动点为−1和 12；
(2)①因为函数f(x)有两个不动点x1，x2，
所以方程f(x)=x，即ax2−x+1=0的两个实数根为x1，x2，
记p(x)=ax2−x+1，则p(x)的零点为x1和x2，
因为x1<2即a(4a−1)<0，解得0所以实数a的取值范围为(0,14)；
②因为g(x)=lga[f(x)−x]=lga(ax2−x+1)，
方程g(x)=x可化为lga(ax2−x+1)=x，即ax=ax2−x+1,ax2−x+1>0．
因为00，所以p(x)=0有两个不相等的实数根，
设p(x)=ax2−x+1=0的两个实数根为m，n，不妨设m因为函数p(x)=ax2−x+1图象的对称轴为直线x=12a，p(1)=a>0，12a>1，p(1a)=1>0，
所以1记ℎ(x)=ax−(ax2−x+1)，
因为ℎ(1)=0，且p(1)=a>0，所以x=1是方程g(x)=x的实数根，
所以1是g(x)的一个不动点，
ℎ(n)=an−(an2−n+1)=an>0，
因为04，ℎ(1a)=a1a−1且ℎ(x)的图象在[n,1a]上的图象是不间断曲线，
所以ョx0∈(n,1a)，使得ℎ(x0)=0，
又因为p(x)在(n,1a)上单调递增，所以p(x0)>p(n)=0，
所以x0是g(x)的一个不动点，
综上，g(x)在(a,+∞)上至少有两个不动点．
1
2
3
4
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9
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11
12
C
B
C
A
C
D
D
B
AB
ABC
AD
ABC