广东省汕头市金山中学2022-2023学年高一数学下学期期中考试试题（Word版附答案）

2022级高一·五月·三校联考

数学试题

（满分 150分。考试时间 120分钟。）

注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。并用2B铅笔将对应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答卷无效。

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回。

第I卷（选择题）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1．已知集合，，则

A． B． C．  D．

2．若复数，则

A． B． C． D．

3．已知等边三角形的边长为2，且，则

A． B． C． D．

4．已知，则

A． B． C． D．

5．已知实数满足，则下列各项中一定成立的是

A． B． C． D．

6．定义在上的函数满足.若的图象关于直线对称，则下列选项中一定成立的是

A． B． C． D．

7.珠穆朗玛峰是印度洋板块和欧亚板块碰撞挤压形成的．这种挤压一直在进行，珠穆朗玛峰的高度也一直在变化．由于地势险峻，气候恶劣，通常采用人工攀登的方式为珠峰“量身高”．攀登者们肩负高精度测量仪器，采用了分段测量的方法，从山脚开始，直到到达山顶，再把所有的高度差累加，就会得到珠峰的高度．2020年5月，中国珠峰高程测量登山队8名队员开始新一轮的珠峰测量工作．在测量过程中，已知竖立在点处的测量觇标高10米，攀登者们在处测得到觇标底点和顶点的仰角分别为70°，80°，则、的高度差约为       

（参考数据：）

A．10米 B．9.72米 C．9.40米 D．8.62米

8．已知函数在上单调递减，则的取值范围为

A． B． C． D．

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对5分，部分选对得2分，有选错得0分。

9．已知平面向量，，则下列说法正确的是

A．与的夹角的余弦值为    B．在方向上的投影向量为

C．与垂直的单位向量的坐标为    D．若向量与向量共线，则

10．已知函数，则下列结论正确的是

A．                

B．在上为增函数

C．若的值域为

D．方程有且仅有两个解

11．主动降噪耳机工作的原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声，设噪声声波曲线函数为，降噪声波曲线函数为，已知某噪声的声波曲线函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是

A．

B．

C．曲线的对称轴为，

D．将图象向左平移个单位后得到的图象

12.如图所示，在直三棱柱中，棱柱的侧面均为矩形，，，，是线段上的一动点，则取值可能为

A.         B.            C.          D.

第II卷（非选择题）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．扇形的周长是4，面积是1，则扇形的圆心角的弧度数是___________.

14．已知正实数满足，则的最小值为__________.

15．圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为________.

16．已知为的外心，若 ，则最小值___________.

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17．已知，且

（1）求的值；     （2）若，求的值.

18．已知，是方程的两个根

（1）证明；     

（2）若复数满足，求最小值.

19．已知命题：“，不等式恒成立”为真命题．

（1）求实数取值的集合；

（2）设不等式的解集为，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围.

20.在中，角 的对边分别为，若，且

（1）求；        

（2）求边上高的最大值.

21．有一个半径为，圆心角的扇形铁皮，现利用这块铁皮并根据下列方案之一，裁剪出一个矩形.

方案1：如图1，裁剪出的矩形的顶点在线段上，点在弧上，点在线段上；

方案2：如图2，裁剪出的矩形的顶点分别在线段上，顶点在弧上，并且满足，其中点为弧的中点.

(1)按照方案1裁剪，设，用表示矩形的面积，并求出其最大面积；

(2)按照方案2裁剪，求矩形的最大面积，并与（1）中的结果比较后指出按哪种方案可以裁剪出面积最大的矩形.

22．若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在，使成立，则称该函数为“圆满函数”.已知函数；

（1）判断函数是否为“圆满函数”，并说明理由；

（2）设，证明：有且只有一个零点，且.

2022级高一·五月·三校联考

数学科 答案及评分标准

一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分。

二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分。

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

17．【详解】（1）因为，所以，               -----------------------1分

又因为，所以，因此，      -----------------------3分

所以.                                 -----------------------5分

（2）因为，所以，                              -----------------------6分

又，所以，

所以，                                     -----------------------7分

所以，               -----------------------9分

即.                                                 -----------------------10分

18．（1）由复数范围内，实系数方程的求根公式得,不妨有

 --------------------4分

                           -----------------------6分               

（2）设复数在复平面内所对的点分别， 则      -----------------------7分

因为满足，则点在线段的垂直平分线上，即直线,  -----------------------8分

 又，                                                  --------------------9分

复数在复平面内所对应点为，                                   -----------------------10分

故当且仅当线段垂直轴时，最小值为                          -----------------------12分

                                     -----------------------1分

若，恒成立，则，                -----------------------3分

解得或，                                                   -----------------------5分

即                                                -----------------------6分

                   -----------------------1分    

   ------------3分

            -----------------5分                                                    --------------------6分

                               ---------------1分

               -------------------3分

            -------------------5分

                                  -----------------6分           

-----------------------7分

                           -----------------------9分

                          -----------------------11分                                                  

                                           -----------------------12分

20. （1）因为，由正弦定理

得 ，即，                     -----------------------2分

故,                                            -----------------------4分

因为，故.                                           -----------------------6分

（2）因为的面积，所以要求边上高的最大值，即求的面积最大值--7分             

由余弦定理得，即，则，-----------------------9分

当且仅当时取等号                                               -----------------------10分

故的面积                            -----------------------11分

所以边上高的最大值为                                         -----------------------12分

21． （1）解：由图1知：，  

则，                                 -----------------------2分

所以矩形的面积为：，

            -----------------------4分

 -----------------------5分

当，即，矩形面积取得最大值为；                   -----------------------6分

（2）由图2知：设 ，则，， -----------------------8分

所以矩形的面积为：，

，----------10分

当，即，矩形面积取得最大值为；                    ----------------------11分

因为，所以方案1可以裁剪出面积最大的矩形；    ----------------------12分

22．解：（1）若是“圆满函数”.取，存在，使得

，即，整理得，但是，矛盾， -------------------3分

所以不是“圆满函数”.                                               -----------------------4分

（2）易知函数的图象在上连续不断.               

（3）①当时，因为与在上单调递增，所以在上单调递增.因为，，              ----------------5分

所以.根据函数零点存在定理，存在，使得，

所以在上有且只有一个零点.                                      ---------------------6分

②当时，因为单调递增，所以，因为.

所以，所以在上没有零点.                               ---------------7分

综上：有且只有一个零点.                                             ----------------------8分

因为，即，                         ---------------------9分

所以，.            ----------------------10分

因为在上单调递减，所以，                   ---------------------11分

所以.                                                       ---------------------12分