湖北省随州市曾都区第一高级中学2022-2023学年高一上学期12月月考数学试题

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1.已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据给定条件，利用交集的定义直接求解作答.
【详解】
因集合，，
所以.
故选：C
2.若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】充分性：若，，则，充分性不成立；
必要性：若，则，由不等式的性质可得，必要性成立.
因此，“”是“”的必要不充分条件.故选：B.
3.已知集合，，则下列说法正确的是（ ）
A．对任意，有B．对任意，有
C．存在，使得D．存在，使得
【答案】D
【解析】
【分析】
根据集合间的关系，全称命题、特称命题的真假判断可得答案.
【详解】
由于，，所以，故存在，使得．
故选：D．
4.若，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据不等式的性质，对选项逐一判断
【详解】
对于A，，因为，故，即，故A错；
对于B，不确定符号，取则，故B错误；
对于C， ，因为，
故，即，故C正确；
对于D，，因为，
故，即，故D错误．
故选：C
5.已知，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
所以，当且仅当，即时，等号成立，
所以，整理得，即.
所以的最大值为.故选：D.
6.已知函数的定义域为，值域为R，则（ ）
A．函数的定义域为R
B．函数的值域为R
C．函数的定义域和值域都是R
D．函数的定义域和值域都是R
【答案】B
【分析】对于A选项：根据抽象函数的定义域令，推出的定义域判断正误；
对于B选项：因为的值域为R，所以的值域为R，进而推导出的值域，判断正误；
对于C选项：令，求出函数的定义域，即可判断正误；
对于D选项：若函数的值域为R，则，即可判断正误；
【详解】对于A选项：令，可得，所以函数的定义域为，故A选项错误；
对于B选项：因为的值域为R，，所以的值域为R，可得函数的值域为R，故B选项正确；
对于C选项：令，得，所以函数的定义域为，故C选项错误；
对于D选项：若函数的值域为R，则，此时无法判断其定义域是否为R，故D选项错误.
故选：B
7.关于函数，描述不正确的是（ ）
A．的定义域为B．的值域为
C．在定义域上是增函数D．的图像关于原点对称
【答案】C
【分析】求出函数的定义域，值域，函数的单调性，对称性， 对选项ABCD分别进行判断即可得．
【详解】解：由题设有，解得或，
故函数的定义域为，故A正确．
当时，，此时，
所以为上的奇函数，故其图象关于原点对称，故D正确．
，
当时，
当时，，
故的值域为，故B正确．
由可得不是定义域上的增函数，故C错误．
故选：C．
8.已知两条直线和，与函数的图像从左至右相交于点,,与函数的图像从左至右相交于,．记线段和在轴上的投影长度分别为，，当变化时，的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】作出函数图像，结合图像计算四点的横坐标，然后求出线段和在轴上的投影长度，，代入，表达关于的函数，整理后，换元法利用基本不等式求最小值.
【详解】作出函数图像如图，如图所示，
设点，，，，
则，，
此时有，，，，
解得，，，，
线段和在轴上的投影长度分别为，
，，
则 ，令，
则，
当且仅当，即时取得最小值，此时的最小值为.
故选：B.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。）
9.已知函数，则下列等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根据余弦函数的奇偶性，对称中心即可选出答案.
【详解】由，则，故A正确，B错误；
令，，得，，即对称中心为，C选项描述的对称中心为，故C正确，令，，得，，即为对称轴，而D选项描述的对称轴是，故D错误.
故选：AC.
10.已知命题，若为真命题，则的值可以为（ ）
A．-2B．-1C．0D．3
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据给定条件求出为真命题的a的取值范围即可判断作答，
【详解】
当时，，为真命题，则成立，
当时，若为真命题，则，解得且，
综上，为真命题时，的取值范围为.
故选：BCD
11.已知幂函数的图象不过原点，则实数的取值可以为（ ）
A．5B．1C．2D．4
【答案】BC
【分析】由幂函数的系数为，列方程求出实数的值，并检验函数的图象是否过原点，得出答案．
【详解】令，解得或，
当时，图象不过原点，成立；
当时，图象不过原点，成立；
故选：BC
12.已知函数，实数，满足，则（ ）
A．B．，，使得
C．D．
【答案】CD
【分析】根据函数解析式，作函数的图象，根据图象的特征，可得选项A、C的正误，根据基本不等式，可得选项B、D的正误.
【详解】画出函数的图象，如图所示．由图知，则，故A错，C对．
由基本不等式可得，所以，则，故B错，D对．
故选：CD．
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13.已知均有意义，则的值为___________．
【答案】
【分析】根据两角和与差的余弦公式，以及三角函数的基本关系式，准确化简，即可求解.
【详解】因为，
可得，
整理得，即，
又由.
故答案为：.
14.若关于x的不等式的解集为，则实数m的值为______.
【答案】3
【解析】
【分析】
根据二次不等式的解，结合韦达定理即可求出m.
【详解】
由题可知，－7和－1是二次方程的两个根，
故.经检验满足题意
故答案为：3.
15.如果函数是奇函数，则的值为______.
【答案】
【分析】根据奇函数的定义，将代入，求出的表达式，再根据确定的取值.
【详解】函数是奇函数，
，即，
或恒成立，
解得：，
又，.
故答案为：.
16.设奇函数的定义域为．若当时，的图像如图所示，则不等式的解集是_________．
【答案】
【分析】不等式，即或，再根据函数的奇偶性及函数图像即可得出答案.
【详解】解：由图可知：当时，，当时，，
因为函数为奇函数，
所以当时，，当时，，
不等式，
即或，
解得.
故答案为：.
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤。）
17.已知集合，且.
（1）求集合；
（2）如果集合，且，求的值组成的集合.
【答案】（1）；（2）.
【详解】
（1）因为，直接将代入方程：得，，
所以，方程为，
即，
解得或，
所以，集合；
（2）因为是的子集，分两类讨论：
①当时，，由于空集是任何集合的子集，
所以，，符合题意；
②当，则或，
代入解得，或，
综合以上讨论得，的取值集合为：.
18.已知，，，求与的值．
【答案】，.
【解析】因为，所以，，
所以，
，
所以，
．
19.已知幂函数在区间上单调递增.
（1）求的解析式；
（2）用定义法证明函数在区间上单调递减.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）解：由题可知：，解得或.
若，则在区间上单调递增，符合条件；
若，则在区间上单调递减，不符合条件.
故.
（2）证明：由（1）可知，.
任取，，且，
则.
因为，
所以，，，
所以，
即，故在区间上单调递减.
20.已知函数的部分图象如图．
(1)求f（x）的表达式；
(2)将函数f（x）的图象向右平移个单位长度得到曲线C，把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到函数g（x）的图象．若关于x的方程在上有两个不同的实数解，求实数m的取值范围．
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）由图象结合五点法求出函数解析式；
（2）由三角函数图象变换得，换元后结合在上的图象可得参数范围．
（1）根据图象，可得，，∴∴，将代入f（x），得，即，，又，∴，∴．
（2）将函数（x）的图象向右平移个单位长度，得曲线C，由题得，∵在[0，]上有两个不同的实数解，∴在[0，]上有两个不同的实数解．∵，令，∴，则需直线与的图象在有两个不同的公共点．画出在时的简图如下：∴实数m的取值范围是．
21.2018年10月24日，世界上最长的跨海大桥—港珠澳大桥正式通车。在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数当桥上的车流密度达到220辆/千米，将造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米，车流速度为100千米/时研究表明：当时，车流速度v是车流密度x的一次函数.
（1）当时，求函数的表达式；
（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时）可以达到最大？并求出最大值.
【答案】（1）；（2）当车流密度为110辆/千米时，车流量最大，最大值为6050辆/时.
【解析】（1）由题意，当时，v(x)=100，
当时，设，则
解得：，
∴
（2）由题意，
当时，的最大值为
当时，，
的最大值为
∴当车流密度为110辆/千米时，车流量最大，最大值为6050辆/时.
22.已知函数是偶函数.
(1)求的值；
(2)若方程有解，求实数的取值范围；
(3)若函数，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)存在，-1
【分析】（1）根据偶函数的定义，结合对数运算，可求得答案；
（2）根据（1）的结果，写出函数的解析式，利用基本不等式求出其值域，即可求得实数的取值范围；
（3）整理化简，采用换元法将问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题求解,讨论二次函数图象的对称轴和区间的位置关系，可求得最值,判断是否存在问题.
(1)
函数是偶函数，
，即,
,即，
.
(2)
由（1）可知： ，
方程有解，即有解，
即有解，而，当且仅当时取等号，
故，
实数a的取值范围是
(3)
假设存在满足条件的实数m，
由题意，可得
令，则，
令，
函数的图象开口向上，对称轴为直线，
当，即时，
，解得；
当，即时
，解得（舍去）；
当，即时，
，解得（舍去）.
综上，存在实数m使得的最小值为0，此时实数m的值为-1.