湖北省随州市曾都区第一高级中学2025~2026学年高二上册（10月）月考数学试卷（含答案）

这是一份湖北省随州市曾都区第一高级中学2025~2026学年高二上册（10月）月考数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知向量，，且与互相垂直，则（ ）
A. B. C. D.
2. 直线绕原点逆时针旋转，再向右平移1个单位，所得到的直线为（ ）
A. B. C. D.
3. 直线的倾斜角范围是（ ）
A. B. C. D.
4. 天气预报说，在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%．现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率．用1，2，3，4，5，6表示下雨，用计算机产生了10组随机数180，792，454，417，165，809，798，386，196，206据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知空间中点，，，，若A，B，C，D四点共面，则实数值为（ ）
A. B. C. D.
6. 设，则“”是“直线：与直线：平行”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
7. 若第一象限内的点关于直线的对称点在直线上，则的最小值为（ ）
A. 1B. 4C. 10D. 16
A.1 B.2 C.3 D.4
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
A. 若，则，相互独立 B. 若和相互独立，则和一定不互斥
C. 若和互斥，则和一定相互独立 D.
10. 下列说法在确的是（ ）
A. 若方程表示直线，则
B. 分别为直线与上任意一点，则的最小值为
C. 直线l过点且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为
D. 直线与相交于点，则过点，的直线方程为
11. 如图，在棱长为2正方体中，E为边AD的中点，点P为线段上的动点，设，则（ ）
A. 当时，EP//平面
B. 当时，取得最小值，其值为
C. 的最小值为
D. 当平面CEP时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知直线的一个方向向量是，则直线的倾斜角______．
13. 一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”（如213，134等），若，且a，b，c互不相同，则这个三位数为”有缘数”的概率是__________．
14. 已知，，则的最小值为_____.
四. 解答题
15. 已知一条动直线，
（1）求直线恒过定点的坐标；
（2）若直线不经过第二象限，求m的取值范围；
16. 已知的三个顶点分别为．
（1）求边的中线和高所在直线的方程；
（2）若直线l过顶点A，且原点到直线l的距离为2，求直线l的方程．
17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，，E为棱PD的中点，F是线段PC上一动点．
（1）求证：平面平面PAB；
（2）若直线BF与平面ABCD所成角的正弦值为时，求点C到平面AEF的距离．
18.为了建设书香校园，营造良好的读书氛围，学校开展“送书券”活动该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响.连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券.游戏规则如下表：
(1)分别求出游戏一，游戏二的获胜概率；
(2)当时，求游戏三的获胜概率；
(3)一名同学先玩了游戏一，试问为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大.
19. 出租车几何或曼哈顿距离（Manhattan Distance）是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，是种使用在几何度量空间的几何学用语，用以标明两个点在空间（平面）直角坐标系上的绝对轴距总和.例如：在平面直角坐标系中，若，，两点之间的曼哈顿距离.
（1）已知点，，求的值；
（2）记为点B与直线上一点的曼哈顿距离的最小值.已知点，直线：，求；
（3）已知三维空间内定点，动点P满足，求动点P围成的几何体的表面积.
数学参考答案
12. 【答案】（也可写为） 13 .【答案】 14. 【答案】
15.【解析】【小问1详解】由题意，整理得，所以不管取何值时，直线恒过定点的坐标满足方程组，解得，即………………6分
小问2详解】由上问可知直线恒过定点，当，直线斜率不存在时，
此时直线是，显然满足题意；…………8分
当时，由直线不经过第二象限，直线与轴有交点时，
则纵截距小于或等于零即可，令，则，
即 ，解得；…………12分
综上所述：…………13分
16.【解析】【小问1详解】①边的中点为，又直线的斜率为，边上的中线所在直线的方程为，即．…………3分
②直线的斜率为，边上的高所在直线的斜率为，
边上的高所在直线的方程为，即．…………6分
【小问2详解】①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意；……9分
②当直线的斜率存在时，直线的方程可设为，即，
由题意，原点到直线的距离为2，即，解得，
所求直线的方程为．…………14分
综上，所求直线的方程为x=2或．…………15分

17. 【解析】【小问1详解】证明：因为，，则，
平面，平面，，
，、平面，平面，…………5分
平面，因此，平面平面.…………6分
【小问2详解】因为底面，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、，…………7分
设，，其中，
易知平面的一个法向量为，
由已知可得，解得，
所以，为的中点，即，…………10分
设平面的法向量为，，，则，取，可得，…………13分
，因为，所以点C到平面AEF的距离为：.…………15分
18. 【详解】（1）设事件“游戏一获胜”，“游戏二获胜”，“游戏三获胜”，游戏一中取出一个球的样本空间为，则，
因为，所以，.所以游戏一获胜的概率为.
游戏二中有放回地依次取出两个球的样本空间，
则，因为，
所以，所以，所以游戏二获胜的概率为.…………4分
（2）游戏三中不放回地依次取出两个球的样本的个数为，
时，样本的个数为2，所以所求概率为；…………9分
（3）设“先玩游戏二，获得书券”，“先玩游戏三，获得书券”，
则，且，，互斥，相互独立，
所以
又，且，，互斥，
所以
若要接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率大，则，
所以，即.
进行游戏三时，不放回地依次取出两个球的所有结果如下表：
当时，，舍去当时，，满足题意，
因此的所有可能取值为.……………………17分
19. 【解析】【小问1详解】，所以.…………3分
【小问2详解】设动点为直线上一点，则，
所以，即，
当时，；当时，；当时，；
综上，为.……………………10分
【小问3详解】动点P围成的几何体为八面体，每个面均为边长的正三角形，
其表面积为.证明如下：不妨将A平移到处，设，
若，则，当时，即，
设，，，则，
所以P，，，四点共面，所以当时，P在边长为的等边三角形内部（含边界）.同理可知等边三角形内部任意一点，均满足.
所以满足方程的点P，构成的图形是边长为的等边三角形内部（含边界）.由对称性可知，P围成的图形为八面体，每个面均为边长为的等边三角形.
故该几何体表面积.……………………17分
游戏一
游戏二
游戏三
箱子中球的
颜色和数量
大小质地完全相同的红球3个，白球2个
（红球编号为“1，2，3”，白球编号为“4，5”）
取球规则
取出一个球
有放回地依次取出两个球
不放回地依次取出两个球
获胜规则
取到白球获胜
取到两个白球获胜
编号之和为获胜
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
C
A
B
B
B
C
A
B
AB
BD
BC
第二次第一次
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5