广东省中山市2024-2025学年高一下学期4月段考检测数学检测试题（含答案）

这是一份广东省中山市2024-2025学年高一下学期4月段考检测数学检测试题（含答案），共14页。
【注意事项】
1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、4位班座号、10位市统考号，用黑色签字笔或钢笔填写在答题卷密封线内。
2．选择题做在答题卡上，非选择题做在答题卷上。考试结束后，只交答题卡和答题卷。
3.试卷共 4 页，答题卷共 4 页，作答时用黑色签字笔或钢笔直接答在指定答题处。
第 І 卷 （选择题 共 58 分）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．若扇形面积为4，圆心角为2，那么该扇形的弧长为（ ）
A．B．2C．D．4
2．若角的终边过点，则的值等于（ ）
A．B． C． D．
3．若将函数的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，再将图象向右平移个长度单位，则所得到的曲线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．若且，则的取值范围是（ ）.
A．B．C．D．
6．如果点是角终边上一点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数在上满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．若函数的图像关于直线对称，则函数图像的一条对称轴为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有错选的得0分）
9．下列代数式的值为的是（ ）
A．B．
C．D．
10. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数图象向右平移个单位可得函数的图象
D. 若方程在上有两个不等实数根，，则．
11．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）.若一半径为2米的筒车水轮圆心O距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图3中点）开始计时，经过t分钟后点P距离水面的高度为h米，下列结论正确的有（ ）
A．h关于t的函数解析式为
B．点P第一次到达最高点需用时5秒
C．P再次接触水面需用时10秒
D．当点P运动2.5秒时，距水面的高度为1.5米
第Ⅱ卷(非选择题 共 92 分 )
填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．函数的单调递减区间为 .
13．将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若函数为偶函数，则函数在上的值域为 ．
14. 定义在R上的函数，恒有，当时，，则方程的解为_________
三、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．在平面直角坐标系中，角的顶点为点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点
(1)求的值；(2)求的值.
16．已知为锐角，．
(1)求证：；(2)求的值．
17．如图，在扇形OAB中，，半径.在上取一点M，连接，过M点分别向半径OA，OB作垂线，垂足分别为E，F，得到一个四边形MEOF.
（1）设，将四边形MEOF的面积S表示成的函数，并写出的取值范围；
（2）求四边形MEOF的面积S的最大值.
18．已知函数.
(1)先补充下列表格，然后用五点法画出函数在区间上的图象；
(2)求该函数的周期，并写出方程的解集；
(3)结合图象，写出函数的单调增区间.
19．如图，函数的部分图象与直线交于A，B两点，点，在函数的图象上，且的面积为．
(1)求函数的解析式；
(2)设在上的两个零点为，求的值；
(3)将函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，若在[0,b]（）上至少有10个零点，求最小正整数b．
答案
1．D
【分析】由扇形的面积公式计算出半径，再由弧长公式求出即可.
【详解】由扇形的面积公式，可得，解得，
所以弧长为.
故选：D.
2．A
【分析】由已知可得，根据任意角三角函数的定义求解即可.
【详解】由已知可得，因为角的终边过点，
所以.
故选：A.
3．A
【分析】根据三角函数图象变换规律结合题意求解即可.
【详解】将函数的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，得，
再将图象向右平移个长度单位，得.
故选：A
4．B
【分析】由两边平方，根据同角三角函数的平方关系，可化简求出,计算即可求值.
【详解】,
,
即，
所以2，
所以，
因为，
所以，
所以，
故选：B
本题主要考查了同角三角函数的关系，正余弦函数的性质，属于中档题.
5．C
【分析】 利用半角公式和化简等式，再利用三角函数值的正负即可得到的取值范围.
【详解】 由半角公式和化简得
，且，
得，所以.
故选：C.
6．D
【分析】根据三角函数的定义求出、，再利用的展开式可得答案.
【详解】因为点是角终边上一点，
所以，，
.
故选：D.
7．D
【分析】由求出的范围，然后结合正弦函数的图象可得，从而可求出的取值范围.
【详解】因为，所以，
因为，
所以由图象可得，
解得.
故选：D
8．C
【分析】由辅助角公式（正弦）化简函数，由函数对称轴求出的值.由辅助角公式（余弦）化简函数，由的值求出函数的对称轴.
【详解】，
由题意可知是的解，即，
∴，当时，，
，
∴令，即，，
∴函数的对称轴为，
当时，.
故选：C.
9．BCD
【分析】根据同角三角函数的基本关系，结合诱导公式、二倍角公式逐项化简可得结果.
【详解】A. ，A错误.
B.，选项B正确.
C.，选项C正确.
D.∵，
∴
，
∵，∴，D正确.
故选：BCD.
10.AB
【详解】由图可知，，所以，于是A正确，所以，
则，将点代入得：，
所以，，又，所以，所以，
对于B，因为，为最小值，
所以函数的图象关于直线对称，故B正确；
对于C，将函数图象向右平移个单位，
可得函数，故C错误；
对于D，由条件结合图象可知，于是，所以，故D错误．
故选：AB．
11．BC
【分析】根据函数模型的定义与性质，求出A、B和T、ω、φ，写出函数解析式，再判断选项中的命题是否正确．
【详解】函数中，所以，
时，，解得，因为，所以，
所以，
令得，则，解得，
所以x的最小值为5，即点P第一次到达最高点需用时5秒，B正确；
由题意知，点P再次接触水面需用时（秒），C正确；
当时，，点P距水面的高度为2米，D错误．
故选：BC
12．
【分析】根据正切型函数的单调性进行求解即可.
【详解】．
由，
故函数的单调递减区间为
故答案为.
13．
【分析】由题意利用函数的图象变换规律得到的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数在的值域．
【详解】将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，
若函数为偶函数，则，，故函数．
，，，，，，，
则函数在的值域为，
故
14．
【分析】由可得，分析出函数的部分解析式，作出函数图象，先由，求出对应的值，根据图象可得答案.
【详解】由，可得
又当时，，
所以
根据，当时，，
由上的图象，可作出的图象，如图.
当时，
当时，，又
由，可得
15．(1)，
(2)
【分析】（1）根据单位圆上的点的坐标特征列式计算求出，再根据角的定义计算即可；
（2）先应用诱导公式化简，最后根据弦化切计算即可.
【详解】（1）因为角的终边与单位圆交于点
所以解得． --- 2分
因为，所以． --- 4分
由三角函数的定义知，． --- 6分
（2）原式=
--- 9分
--- 11分
--- 13分
16．
【分析】（1）由两角和的正弦公式展开求解出，然后证明即可；
（2）由（1）求出的值，然后利用平方和关系结合角的范围求解即可.
【详解】（1）证明：因为，
所以，又， --- 2分
所以， --- 4分
所以，即 --- 6分
所以 --- 7分
， --- 9分
因为为锐角且
---11分
---13分
---15分
17．（1），；（2）.
【分析】（1）由，利用直角边表示面积即可；
（2）根据第一问，利用三角函数知识求最值即可.
【详解】（1）， ---2分
---4分
， ---6分
由题意要得到四边形MEOF，则. ---8分
（2）由（1）知：，因为，所以， ---10分
所以当，即时， ---12分
四边形MEOF的面积S的最大值为. ---15分
18．(1)答案见解析
(2),方程的解集为
(3)增区间为和
【分析】（1）由函数解析式求出在各个点处的坐标，再用五点作图法作图即可.
（2）通过图像即可求出周期和解集.
(3)结合图像，利用整体代入法即可求得单调增区间.
【详解】（1）
---2分
---6分
, ---8分
由图像得方程的解集为 ---11分
（3）由图像可知单调增区间为
和 ---13分
---15分
所以函数的增区间为和. ---17分
19．(1)；
(2)；
(3)10．
【分析】（1）由题意得，从而可得函数的一条对称轴为，从而可得周期，根据周期公式可得ω的值，再代入C点坐标，即可求得函数的解析式；
（2）由题意可得，代入求解即可；
（3）由题意得，解出函数的零点，可得b的范围，再根据b为整数得答案．
【详解】（1）因为，得到， ---1分
所以的一条对称轴为，
此时，
则，从而解得， ---4分
又，且，得． ---6分
从而； ---7分
（2）由题意得， ---8分
令，得到， ---9分
因为，， ---10分
所以，解得， ---11分
从而； ---12分
（3）根据图象平移得， ---14分
令，则或，
由在[0,b]（）上至少有10个零点，易知，则， ---16分
所以，又b为正整数，故最小正整数b为10． ---17分x
0
x
0
0
1
0
-1
0
0
3
0
1
0