广东省广州市2024~2025学年高一下学期期中考试数学检测试题（含答案）

这是一份广东省广州市2024~2025学年高一下学期期中考试数学检测试题（含答案），共8页。试卷主要包含了答卷前，考生务必将自己的姓名等内容，欢迎下载使用。
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
注意事项：
1、答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等信息填写在答题纸上．
2、答案必须填写在答题纸的相应位置上，答案写在试题卷上无效．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1. 已知复数，，为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知是平面内的一组基底，则下列四组向量中，能作为一组基底的是（ ）
A 和B. 和
C. 和D. 和
3. 如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知的三个内角所对的边分别为，且满足，则（ ）
A. B. C. D.
5. 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，下列命题正确的是（ ）
A. AB与HG相交B. AB与EF平行
C. AB与CD相交D. EF与CD异面
6. 如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，m，在点测得塔顶的仰角为，则塔高（ ）
A 30mB. m
C. mD. m
7. 设向量的夹角为，定义.若平面内不共线的两个非零向量满足：，与的夹角为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知点为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9. 已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 复数的虚部为
C. 若对应的向量为对应的向量为，则向量对应的复数为
D. 若复数是关于的方程的一个根，则
10. 在中，下列结论中，正确的是（ ）
A. 若，则是等腰三角形
B. 若，则
C. 若，则锐角三角形
D. 若，若有两解，则长的取值范围是
11. 如图，是边长为2的正方形，都垂直于底面，且，点在线段上，平面交线段于点，则（ ）
A. 四点共面
B. 该几何体体积为6
C. 过四点四点的外接球表面积为
D. 截面四边形的周长的最小值为10
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 如图，已知正方形的边长为3，且，则____________．
13. 下列命题正确有____________．
①若直线上有无数个点不在平面内，则
②若直线与平面平行，则与平面内的所有直线都平行
③若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点
④如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行
14. 已知四棱锥的5个顶点都在球的球面上，且平面，则球的表面积为_______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．
15. 已知向量．
（1）当且时，求；
（2）当，求向量与的夹角．
16. 如图，圆锥的底面直径和高均是2cm，过上的一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱．
（1）若是的中点，求圆锥挖去圆柱剩下几何体的表面积和体积；
（2）当为何值时，被挖去的圆柱的侧面积最大？并求出这个最大值．
17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2为菱形，是以为斜边的等腰直角三角形，分别是的中点.
（1）求证：平面；
（2）设为的中点，过三点的截面与棱交于点，指出点的位置并证明.
18. 在斜中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且．
（1）求；
（2）若点M为AC中点，且，求的面积．
19. 如图，半圆O的直径为，A为直径延长线上的点，，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC．设．
（1）当时，求四边形OACB的周长；
（2）克罗狄斯·托勒密（Ptlemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段OC的长取最大值时，求．
（3）问：B在什么位置时，四边形OACB的面积最大，并求出面积的最大值．
高一年级 数学试卷答案
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
注意事项：
1、答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等信息填写在答题纸上．
2、答案必须填写在答题纸的相应位置上，答案写在试题卷上无效．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
【1题答案】
【正确答案】C
【2题答案】
【正确答案】B
【3题答案】
【正确答案】B
【4题答案】
【正确答案】C
【5题答案】
【正确答案】D
【6题答案】
【正确答案】D
【7题答案】
【正确答案】A
【8题答案】
【正确答案】D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
【9题答案】
【正确答案】ACD
【10题答案】
【正确答案】BD
【11题答案】
【正确答案】ACD
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
【12题答案】
【正确答案】
【13题答案】
【正确答案】③
【14题答案】
【正确答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分．
【15题答案】
【正确答案】（1）
（2）
【16题答案】
【正确答案】（1）表面积，体积；
（2），.
【17题答案】
【正确答案】（1）证明见解析
（2）为的中点，证明见解析
【18题答案】
【正确答案】（1）
（2）的面积为
【19题答案】
【正确答案】（1）；
（2）；
（3）当B满足时，四边形OACB的面积最大，最大值为