湖北省十堰市房县第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试 数学试题（含解析）

这是一份湖北省十堰市房县第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试 数学试题（含解析），共8页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．回答非选择题时，将答案写在答题纸上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1．直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，若，则实数（ ）
A．0或1 B． C．1 D．0或
3．如图，在四面体OABC中，，点在线段OA上，且为BC中点，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．从长度为1，3，6，9，10的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．两条平行直线和间的距离为，则分别为（ ）
A． B． C． D．
6．已知定点，若直线过定点且方向向量是，直线过定点且方向向量是，直线在轴上的截距是，直线在轴上的截距是，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
7．甲乙两人各加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否为加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．设定点，当到直线距离最大时，直线与轴的交点，则此时过点且与直线垂直的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．一个袋子中装有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回的依次随机摸出2个球．设事件“第一次摸到红球”，“第二次摸到红球”，“两个球颜色相同”，“两个球颜色不同”，则下列说法正确的是（ ）
A．事件A与事件B互斥 B．事件C与事件D对立
C．事件A与事件C相互独立 D．事件B与事件D相互独立
10．已知直线，直线，则下列结论正确的是（ ）
A．在轴上的截距为 B．过点且可能垂直轴
C．若，则或 D．若，则
11．已知正方体中，三棱锥的体积为，线段，BC的中点分别为E，F，动点M在直线上，动点N在下底面内含边界，且，则（ ）
A．三棱锥的体积为定值 B．动点N的轨迹长度为
C．不存在点N，使得平面DEF D．点N到平面DEF的距离的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．一组数据的平均数等于21，方差，则这组数据中 ．
13．一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的个红球，个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在，则袋中约有绿球
个．
14．若A，B是平面内不同的两定点，动点P满足且，则点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系中，已知点，圆若圆C上存在点M，使，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）求满足下列条件的直线方程；
（1）过点，且与直线平行的直线方程；
（2）过点，且与直线垂直的直线方程；
（3）过点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程．
16．（15分）如图，在棱长为1的正方体中，、分别是棱，上的中点．
（1）求直线与所成角的余弦值；
（2）求平面与平面夹角的正切值．
17．（15分）已知圆的圆心在直线上，且经过点和．
（1）求圆的标准方程；
（2）过点作圆的两条切线，切点分别为，，求
18．（17分）已知直线过定点，直线的方程是．
（1）若直线的横截距为纵截距2倍，求直线的方程．
（2）若直线与，轴正半轴分别交于，两点，过，分别作直线垂线，垂足分别是，．求四边形面积的最小值．
19．（17分）为推动乡村旅游发展提质增效，更好满足人民群众旅游消费升级需求，助力乡村全面振兴，孝感市实施精品示范工程打造“和美休闲旅游乡村”行动方案，实施“微创意、微改造”，促进“精提升”，建设“和美”乡村新风景，打造全国知名的乡村旅游目的地．某学校兴趣小组同学利用暑假时间，在全市范围内调查了个休闲旅游乡村，并从环境风貌、资源价值、基础设施等方面进行综合评分，将评分按照分组，得到如图所示频率分布直方图．
（1）求的值，并求这个休闲旅游乡村评分的平均分；
（2）若评分在分及以上的乡村称为“值得推荐的旅游乡村”，其中评分在）为“推荐指数四颗星”，评分在为“推荐指数五颗星”．兴趣小组同学用分层抽样的方法在“值得推荐的旅游乡村”中抽取个乡村进行第一批次的校内宣传，并从这个乡村中随机抽取个乡村在校园内做展板宣传，求这个乡村正好是“推荐指数四颗星”和“推荐指数五颗星”乡村各一个的概率．
2024—2025学年高二（上）学期期中考试数学答案
1．A
【分析】根据直线与x轴平行，即可求解，
【详解】，直线与x轴平行，故倾斜角为．
故选：A
2．C
【分析】用两直线垂直的充要条件得解．
【详解】若，则，
解得，或．
时，不存在，舍去，故．
故选：C
3．D
【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的线性运算求解即得．
【详解】依题意，
．
故选：D
4．B
【分析】先列举出从长度为1，3，6，9，10的5条线段中任取3条，共有10种取法，再求出取出的三条线段能构成一个三角形的情况有2种，根据古典概型的概率公式即可．
【详解】从长度为1，3，6，9，10的5条线段中任取3条，
可能的情况有：
共有10种可能，
其中，能构成三角形的只有共2种可能，
故这三条线段能构成一个三角形的概率为．
故选：B
5．B
【分析】根据两直线平行的性质求a，再根据平行线的距离公式求d即可．
【详解】因为直线和平行，
所以，解得，
所以两直线分别为和，
所以．
故选：B
6．A
【分析】根据M的坐标以及方向向量分别求解出的方程，由此可求结果．
【详解】因为，即，所以，
因为，即，所以，
所以．
故选：A．
7．C
【分析】根据独立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式计算求得结果．
【详解】恰好有一个等品的概率．
故选：C
8．D
【分析】先分析l所过的定点Q，然后根据时距离最大求出l的方程，再结合直线位置关系，利用点斜式方程求解即可．
【详解】因为：，
令，解得，所以l过定点，
当P到l的距离最大时，
理由如下：
当时，此时P到l的距离为，
当不垂直于l时，过点P作，显然在中，，
所以即为P到l的最大距离，
此时，所以，所以，即，
令，则，所以，
则过点A且与直线l垂直的直线方程为，即，
故选：D
9．BCD
【分析】列出从袋中不放回地依次随机摸出2个球的所有可能情况，利用古典概型求出相应的概率，结合相互独立事件的判定方法和对立事件的概念，即可求出结果．
【详解】从袋中不放回地依次随机摸出2个球的所有可能情况为：
，，共有12种，事件A，B可以同时发生，故事件A与事件B不互斥，故选项A错误；
根据对立事件的概念知，C与D互为对立，故选项B正确；
则，
因为，
且，所以A与C相互独立，故选项C正确；
因为；
且，所以B与D相互独立，故D正确．
故选：BCD
10．AD
【详解】对于A：根据直线方程求截距即可；对于B：根据直线方程分析斜率，即可得结果；
对于C：举反例说明即可；对于D：根据直线垂直列式求参即可．
【解答】直线，直线，
对于选项A：在直线中，令，解得，
所以在x轴上的截距为，故A正确；
对于选项B：因为直线的斜率，
即斜率存在，直线不垂直x轴，故B错误，
对于选项C：若，则直线均为，
即两直线重合，不平行，故C错误；
对于选项D：若，则，解得，故D正确．
故选：AD．
11．BC
【分析】A通过判断与所在的平面关系可判断选项正误；
B由题可得，可得动点N的轨迹图形，即可判断选项正误：
C如图建立以为坐标原点的空间直角坐标系，后由空间向量知识可判断选项正误；
D由BC选项分析结合空间中点到平面距离公式可判断选项正误．
【详解】解：对于A，因为为等腰三角形，面积是定值，
动点M在直线上，不平行所在的平面，
∴点M到面的距离不是定值．
∴．三棱锥的体积为定值，故A错误．
对于B，因为三棱锥的体积为，
设正方形边长为a，所以，故．
因为，则，而，
故，
故动点N的轨迹为以为圆心，为半径的圆在底面内的部分，即四分之一圆弧，故所求轨迹长度为，故B正确．
对于C，以为坐标原点，所在直线分别为x、y、z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，故，
设为平面的法向量，则
令，故为平面的一个法向量，
设，故，
若平面，则，则，解得，但．
所以不存在点N，使得平面，故C正确．
对于D，由BC选项分析，点N到平面的距离
令，则，
则，故D错误．
故选：BC
12．21
【分析】根据方差的计算公式分析出结果．
【详解】因为，
所以，
由平方运算的特点可知，所以．
故答案为：21．
13．8
【分析】用频率估计概率，根据绿球个数除以总个数即可．
【详解】因为通过大量重复的摸球实验后，发现摸到绿球的频率稳定在，所以摸到绿球的概率为，
设不透明的袋中有x个绿球，因为袋中有8个红球，4个白球，
所以，解得：，
故答案为：8．
14．
【分析】由题意得M的轨迹方程，进而得两圆相交，应用相交条件即可得解．
【详解】解：设，因为，
即，平方整理得，
即点M的轨迹是以为圆心，半径的阿氏圆D，
又因为M在圆C上，所以M是圆D、圆C交点，即圆D、圆C相交，
圆，圆心，半径，
所以，即，
解得，即．
故答案为：．
15．（1）
（2）
（3）或
【分析】（1）根据平行直线的斜率相等即可求解；
（2）根据互相垂线直线的斜率乘积为，从而求解直线方程；
（3）分直线过原点、不过原点讨论可得答案．
【详解】（1）设与直线平行的直线方程为，
由于过点，代入，
解得，可得，
所以所求的方程为；
（2）设与直线垂直的直线方程为；
由于过点，代入，解得，
可得，
所以所求的直线方程为；
（3）当直线过原点时，设直线方程为，
代入点可得，
当直线不过原点时，设直线方程为，
代入点，可得，
综上，所求直线方程为或．
16．（1）
（2）
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得两条直线的方向向量，根据向量的夹角公式即可求解异面直线的夹角，
（2）求两个平面的法向量，然后利用法向量即可求得面面角的余弦值．
【详解】（1）以D为原点，以的方向分别为x，y，z轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则
所以．
故
设直线与所成角为，则
（2）因为，所以．
设平面的法向量为，
则，
令，得．
取平面的一个法向量．
设平面与平面的夹角为，
则，
故
即平面与平面夹角的正切值为．
17．（1）
（2）
【分析】（1）首先求出线段的垂直平分线方程，即可求出圆心坐标，再求出半径，即可得解；
（2）依题意点A，P，C，Q四点在以为直径的圆上，求出圆的方程，再两圆方程作差得到切点弦方程，再求出圆心到直线的距离，最后利用勾股定理求出弦长．
【详解】的中点为点，
∴线段的垂直平分线方程为，即．
由，解得，所以圆心．
圆的半径为，
圆C的标准方程为；
（2）由题可知，点A，P，C，Q四点在以为直径的圆上，
以为直径的圆的圆心为，半径为．
∴以为直径的圆的方程为，
是以为直径的圆和圆C的公共弦，
两圆方程相减，得，即，
所在的直线方程为，
由于点到所在的直线的距离为，
．
18．（1）或
（2）4
【分析】（1）分类讨论直线是否经过原点，代入求出参数，由此可求结果；
（2）设出的方程，分别表示出的面积，结合基本不等式求解出四边形面积的最小值．
【详解】（1）当经过时，设，代入，所以，即，
当不经过时，设，代入，解得，即，
所以直线的方程为或．
（2）由题意设，
令，则，所以，令，则，所以，
所以，
因为的倾斜角为，所以，
所以均为等腰直角三角形，
所以，
所以
．
因为，所以，
当且仅当，即（舍）时取等号，
由二次函数性质可知，，当且仅当时取等号，
所以四边形面积的最小值为4．
19．（1），分，
（2）
【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1得到方程求出a，再根据平均数计算公式求出平均数；
（2）首先求出“推荐指数四颗星”和“推荐指数五颗星”各抽取的个数，再由古典概型的概率公式计算可得．
【详解】（1）由频率分布直方可知，
解得；
则这60个休闲旅游乡村评分的平均分为：
（分）；
（2）“推荐指数四颗星”乡村数为（个）；
“推荐指数五颗星”乡村数为（个）；
按照分层抽样，可知“推荐指数四颗星”乡村抽取个，
“推荐指数五颗星”乡村抽取个，
从7个乡村中随机抽取2个乡村共有种情形，
其中“推荐指数四颗星”和“推荐指数五颗星”乡村各一个有种情形，
所以“推荐指数四颗星和“推荐指数五颗星”乡村各一个的概率．