湖北省十堰市2024-2025学年高二上学期1月期末数学试题（Word版附解析）

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本试题卷共 4 页，共 19 道题，满分 150 分，考试时间 120 分钟.
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡和试卷指定位置上，并将考号条形码贴
在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试题卷、草稿纸上无效.
3.非选择题用 0.5 毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内.答在试题卷、
草稿纸上无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知数列 ， ， ， ，…，则该数列的第 项为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知空间四点 ， ， ， ，则下列选项正确的是（ ）
A. B. 与 夹角的余弦值为
C. D.
3. 直线 的图象如图所示，则圆 与直线 的位置关系为（ ）
A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法确定
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4. 曲率半径可用来描述曲线上某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大，则曲线在该点处的弯曲程度越小.已
知椭圆 上点 处的曲率半径 .若椭圆 上所有点
的曲率半径的最大值为 ，最小值为 2，则椭圆 的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
5. 2024 年奥运会在巴黎举行，中国运动员的拼搏精神给人们留下了深刻印象.为了增加学生对奥运知识的了
解，弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识能力测试.根据测试成绩（单位：分），将所得数
据按照 ， ， ， ， ， 分成 6 组，其频率分布直方图如图
所示，用频率近似概率，从测试成绩中随机抽取 2 个，抽取的 2 个中至少有 1 个低于 60 分的概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 在棱长为 6 正四面体 中， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
7. “杨辉三角”是中国古代重要的数学成就.如图，这是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记 为图中虚
线上的数 1，3，6，10，…构成的数列 的第 项，则 （ ）
A. 12210 B. 6105 C. 6205 D. 12220
8. 已知 为坐标原点，直线 与直线 的交点为 ，则直线 的倾
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斜角的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 若 为等差数列， ， ， 是数列 的前 项和，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 数列 单调递减 C. 有最大值 D.
10. 一个盒子中装有标号为 1，2，3，4，5 的五张号签，从中有放回地随机选取两张号签，每次取一张.事
件 “第一次取到标号为 1 或 2 的号签”，事件 “第二次取到标号为 5 的号签”，事件 “两张号签标
号之和为 5”，则（ ）
A. 与 独立 B. 与 对立 C. D.
11. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过点 的直线 交 于 A，B
两点，则下列选项正确的是（ ）
A. 若 A，B 在左支上，且 为正三角形，则 的离心率为
B. 若 A，B 分别在左、右两支上，且 为正三角形，则 的渐近线方程为
C. 若 A，B 在左支上， ， ， 成等差数列，且 ，则 的离心率为
D. 若 A，B 分别在左、右两支上，过点 作直线 的垂线交双曲线 于点 ， ，且 B，O，D
三点共线，则双曲线 的渐近线方程为
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12 若直线 与直线 平行，则 __________.
13. 定义： 是圆 外一点，过点 所作的圆 的两条切线 ，PN（M，N 为切点）相互垂直，若圆 经
过点 P，M，N，C，则称 为圆 的“伴随点”，圆 为“ 伴随圆”.已知圆 ：
， 为圆 的“伴随点”，则“ 伴随圆”圆 的标准方程为_____.
14. 已知 是数列 前 项和， ，则 __________.
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某公司的入职面试中有 5 道难度相当的题目，面试者需要从中随机抽取 3 道题回答，至少答对 2 道题才
算通过，否则面试失败.面试者甲能答对其中 3 道题，面试者乙答对每道题的概率都是 ，假设抽到的不同
题目能否答对是相互独立的.
（1）求面试者甲､乙各自通过面试的概率；
（2）求甲､乙至少有一人通过面试的概率.
16. 如图，在多面体 中，平面 平面 ，四边形 为直角梯形， ，
， ， .
（1）证明： .
（2）求平面 与平面 夹角 余弦值.
17. 已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上，点 到 轴的距离为 ，与焦点 的
距离为 4，直线 与 交于 A，B 两点.
（1）求抛物线 方程；
（2）若直线 的斜率为 1，与 轴的交点为 ，且 ，求 ；
（3）若直线 过点 ， 为坐标原点，直线 与抛物线 的准线交于点 ，证明： 平行于 轴.
18. 在数列 中，已知 ， .
（1）证明 是等差数列，并求出 的通项公式.
（2）若数列 满足 ， ，设数列 的前 项和为 .
①求 ，并证明 ；
②证明： .
19. 已知椭圆 ，A，B 分别是椭圆 的左、右顶点，M，N 是椭圆 上异于 A，B
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的两个点，当四边形 为菱形时，四边形 的周长为 ，面积为 4.
（1）求椭圆 的方程.
（2）若 ， 的斜率分别为 ， ，且 ，证明：直线 过定点.
（3）在（2）的条件下，若直线 ， 交于点 ，直线 ， 交于点 ，求 的最小值.
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