河北省承德市第二中学2024−2025学年高二下学期3月份月考 数学试卷（含解析）

这是一份河北省承德市第二中学2024−2025学年高二下学期3月份月考 数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知函数的导数为，且，则（ ）
A．-2B．-1C．1D．2
2．函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
3．设等差数列的前项和为，若，则当取得最小值时，的值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
4．已知函数，则的极小值点为（ ）
A．B．C．D．
5．若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．若点在曲线上移动，经过点的切线的倾斜角为，则角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．若是R上的增函数，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
8．若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知a，b，c为非零实数，则下列说法正确的是（ ）
A．是a，b，c成等差数列的充要条件
B．是a，b，c成等比数列的充要条件
C．若a，b，c成等比数列，则，，成等比数列
D．若a，b，c成等差数列，则，，成等差数列
10．设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．函数在上为增函数B．函数在上为增函数
C．函数有极大值和极小值D．函数有极大值和极小值
11．（多选题）已知函数，则（ ）
A．函数在区间上单调递减
B．函数在区间上的最大值为1
C．函数在点处的切线方程为
D．若关于的方程在区间上有两解，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是 .
13．已知等差数列的前项和为，则 .
14．某个体户计划同时销售A，B两种商品，当投资额为x千元时，在销售A，B商品中所获收益分别为千元与千元，其中，，如果该个体户准备共投入5千元销售A，B两种商品，为使总收益最大，则B商品需投 千元．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若的最小值为，求a的值．
16．在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为q，且.
(1)求与；
(2)证明：.
17．某物流公司计划扩大公司业务，但总投资不超过100万元，市场调查发现，投入资金x（万元）和年增加利润y（万元）近似满足如下关系．
(1)若该公司投入资金不超过40万元，能否实现年增加利润30万元？
(2)如果你是该公司经营者，你会投入多少资金？请说明理由．
18．已知函数在处取得极小值．
(1)求实数的值；
(2)若函数有三个零点，求实数的取值范围．
19．已知函数．
(1)讨论在区间上单调性；
(2)若恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1．【答案】B
【详解】，，，解得.
故选B.
2．【答案】D
【详解】解：函数的定义域是，，
令，解得，
所以函数在上单调递减．
故选D．
3．【答案】B
【详解】，即.
因此数列单调递增，
故当取得最小值时，的值为8.
故选B.
4．【答案】B
【分析】的定义域为R，求导得，分析的符号，的单调性，极值点，即可得出答案．
【详解】的定义域为R，
，
所以在上，单调递增，
在上，单调递减，
在上，单调递增，
所以是的极小值点，
故选B．
5．【答案】C
【详解】由，可得．
①当时，，此时函数单调递减，所以当时，函数在区间内存在单调递减区间.
②当时，令，可得，当时，单调递减；当时，单调递增.所以函数的减区间为，增区间为，若函数在区间内存在单调递减区间，只需，得.
综上所述，．
故选C.
6．【答案】D
【分析】先设切点坐标，然后求导计算切点斜率，得到斜率范围，最后得到倾斜角范围即可.
【详解】设，，则
所以过点切线斜率
所以
所以得
故选D.
7．【答案】C
【详解】当时，为单调递增函数；
当时，，则，
令，即，而，则可得，
故要使得是R上的增函数，
需满足，解得，
故选C.
8．【答案】A
【分析】首先求平行于直线与曲线相切的切点坐标，再代入点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】由函数，可得，，令，解得或（舍去），
设，，所以图象向上凹，
如图画出函数的图象，以及直线得到图象，以及平移直线与函数相切的直线，
则，
即平行于直线的直线与曲线相切的切点坐标为，
，所以切点在直线的左侧，
曲线上任意一点到直线距离的最小值为点到直线的距离，
由点到直线的距离公式，可得点P到直线l的距离为．
故选A.
9．【答案】AC
【分析】根据等差中项与等比中项对选项一一验证即可得出答案.
【详解】对于选项A：根据等差中项即可得出是a，b，c成等差数列的充要条件，故A正确；
对于选项B：，即，又a，b，c为非零实数，所以根据等比中项即可证明a，b，c成等比数列，而a，b，c成等比数列，只能证明，即是a，b，c成等比数列的充分不必要条件，故B错误；
对于选项C：若a，b，c成等比数列，则，则，则，，成等比数列，故C正确；
对于选项D：若a，b，c成等差数列，则，无法得到，故D错误.
故选AC.
10．【答案】AD
【详解】由图可知当时，所以，
当时，所以，
当时，所以，
当时，所以，
所以在上为增函数，在上为减函数，在上为减函数，
在上为增函数，故A正确，B错误，
则在处取得极大值，处取得极小值，
即函数有极大值和极小值，故C错误，D正确.
故选AD.
11．【答案】AC
【详解】因为，，
所以，
令，即；令，即，
所以函数在区间上单调递减，在上单调递增，故A正确；
因为，，
所以函数在区间上的最大值为4，故B错误；
因为，，
所以函数在点处的切线方程为，
即，故C正确；
因为，函数大致图象如图，
要使方程在区间上有两解，
则，故D错误.
故选AC.
12．【答案】
【详解】因为不等式在上恒成立，
所以在上恒成立，
令，
因为，
所以，
所以函数在时单调递减，
所以，
所以.
13．【答案】16
【详解】因为数列为等差数列，所以.
所以.
14．【答案】/1.5
【详解】设投入经销B商品x千元，则投入经销A商品的资金为千元，所获得的收益千元，
则，
可得，
当时，可得，函数单调递增；
当时，可得，函数单调递减；
所以当时，函数取得最大值，最大值为.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当时，，则，
由，得，
所以所求的切线方程为，即．
（2）由题意得的定义域为．
由，得．
当时，，在上单调递增，没有最小值．
当时，令，得，令，得，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以，
得，得．
16．【答案】(1)，
(2)证明见解析
【详解】（1）设数列的公差为d，因为，所以，解得或（舍），
故，.
（2）因为，所以.故，
因为，所以，所以，所以，即.
17．【答案】(1)不能实现
(2)投资45万元时，公司年增加利润最大为45万元
【详解】（1）当时，，
则，
令，则，化简得，解得或（舍去），
当时，，则在上递增，
当时，，则在上递减，
所以当时，取得最大值，
因为，所以目标不能实现；
（2）由（1）可知，当时，公司年增加最大利润为万元，
当时，，
所以当时，取得最大值45，
因为，
所以投资45万元时，公司年增加利润最大为45万元.
18．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：因为，则，
由题意可得，解得，
当，时，，
显然，函数在处可取得极值.
因此，.
（2）解：问题等价于有三个不等的实数根，求的范围.
由，得或，
由，得，
所以在、上单调递增，在上单调递减，
则函数的极大值为，极小值为，如下图所示：
由图可知，当，直线与函数的图象有个交点，
因此，实数的取值范围是.
19．【答案】(1)答案见解析；
(2)
【详解】（1）由，
在时，，
若，即在区间上单调递增；
若，即在区间上单调递减；
若，令，令，
可知在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：时，在区间上单调递增；
时，在区间上单调递减；
时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）根据题意可知恒成立，
设，
则，
令，
则定义域上单调递增，易知，
即，使得，
即时，，此时单调递减，
时，，此时单调递增，
则，
所以，即
单调递增
单调递减