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河北省承德市2023-2024学年高二下学期3月阶段性考试数学试卷（原卷版+解析版）
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这是一份河北省承德市2023-2024学年高二下学期3月阶段性考试数学试卷（原卷版+解析版），文件包含河北省承德市2023-2024学年高二下学期3月阶段性考试数学试卷原卷版docx、河北省承德市2023-2024学年高二下学期3月阶段性考试数学试卷解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。
本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题日的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 3位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（ ）
A. 5种B. 6种C. 8种D. 9种
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，可得每位同学都有2种报名方法，结合分步计数原理，即可求解.
【详解】由题意，3位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，
则每位同学都有2种报名方法，则这3为同学共有种不同的报名方法，
故选：C.
【点睛】利用分步计数原理解决问题的策略：
（1）利用分步计数原理解决问题时要注意事件发生的过程来合理分步，即分步是有先有后的顺序，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤时相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事；
（2）分步必须满足两个条件：一是各步骤相互独立，互不干扰；二是步与步之间确保连续，逐步完成.
2. 已知函数的导函数为，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】对等式两边求导，求导的时候注意是个常数，求导之后令即可得出答案.
【详解】因为，所以，令，则，．
故选：C
3. 已知函数在上可导，且满足，则函数在点处的切线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件，利用导数的定义即可得到，再由导数的几何意义即可得出结果.
【详解】由，得到，
由导数定义知，所以函数在点处的切线的方程为，
即，
故选：D.
4. 已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由的图象得到的单调性，从而得到的正负，即可得解.
【详解】由的图象可知，在和上单调递增，在上单调递减，
则当时，时，时，
所以不等式的解集为.
故选：A
5. 若函数在区间内有极值点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出函数的导数，依题意可得在区间内有零点，参变分离可得，根据对勾函数的性质求出的取值范围，即可得到的取值范围，最后检验时不符合题意，即可得解.
【详解】解：函数，，
若函数在区间上有极值点，
则在区间内有零点，
由可得，
因为在上单调递减，在上单调递增，又，，，
所以，
，
当时，，不符合题意，
所以实数的取值范围是.
故选：C．
6. 定义域为的函数满足，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
引入，得是奇函数，由导数得在上的单调性，从而得在上的单调性，不等式转化为，由单调性可得解．
【详解】∵且，∴是奇函数，
设，则时，，∴在是减函数．
又是奇函数，∴也是奇函数，因此在是递减，
从而在上是减函数，
不等式为，即，∴．
故选：B．
【点睛】本题考查用导数确定函数的单调性解不等式，解题关键是引入新函数，然后由已知条件确定奇偶性，单调性．引入的新函数可根据要求的式的形式变换，可根据条件结合导数的运算法则确定．
7. 已知，，，则有（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】函数，则，确定函数的单调性，通过单调性可确定大小.
【详解】把a，b，c变形得，，，
所以构造函数，则.，
令，则在上恒成立，
所以在区间上单调递增，因为，
所以在上恒成立，
所以函数在上单调递增，
所以，即.
故选：C.
8. 若函数与函数有公切线，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】设公切线与函数切于点，则切线方程为；设公切线与函数切于点，则切线方程为，所以有∵，∴．
又，令，∴．
设，则，∴在(0，2)上为减函数，则，∴，故选A．
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义等基础知识，考查了推理论证能力，运算能力，创新意识，考查了函数与方程，分类与整合，转化与化归等数学思想方法，属于难题，由切线方程可得，分离参数，得到关于的函数，求出的取值范围即可，因此正确运用导数的性质是解决问题的关键.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁、戊五个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是（ ）
A. 所有可能的方法有种
B. 若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有61种
C. 若同学A必须去工厂甲，则不同的安排方法有20种
D. 若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有60种
【答案】BD
【解析】
【分析】由分步计数乘法原理，结合特殊元素优先考虑原则逐项分析，计算作答.
【详解】对于A，每名同学有5种选择方法，则所有可能的方法有种，A不正确；
对于B，由选项A知，所有可能的方法有种，工厂甲没有同学去的方法有种，
所以工厂甲必须有同学去的不同的安排方法有种，B正确；
对于C，同学A必须去工厂甲，则同学B，C的安排方法有种，C不正确；
对于D，三名同学所选工厂各不相同的安排方法有种，D正确.
故选：BD
10. 已知函数，且恒成立，则满足条件的值可能是（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据已知条件及函数单调性的定义，构造函数，再利用函数的单调性与导函数的关系将所求问题转化为不等式恒成立问题，进而转化为求函数的最值问题，再利用导数法研究函数的最值即可求解.
【详解】不妨设，，可得，
设，则，，
所以在区间上单调递减，
所以在上恒成立，
因为，
所以，
即在上恒成立，
当时，,
当时，，
令，，则，
所以在上单调递减，
当时，取的最小值为，即，
所以实数的取值范围为.
结合选项满足条件的值可能是；.
故选：BD.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用函数单调性的定义及函数单调性与导函数的关系，将所求问题转化问不等式恒成立问题，进而转化为求函数的最值问题，再利用导数法研究函数的最值即可.
11. 已知函数，则（ ）
A. 当时，函数恰有1个零点
B. 当时，函数恰有2个极值点
C. 当时，函数恰有2个零点
D. 当函数恰有2个零点时，必有一个零点为2
【答案】ABD
【解析】
【分析】求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，从而确定极值点的个数和零点个数，从而判断选项的对错.
【详解】因为，
所以，
令，，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以 ，
对于A：当时，，即恒成立，
所以上单调递增，
又，，
所以函数恰有1个零点，A正确；
对于B：当时，，
令，有，设，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，作出图象如下图：
又，所以方程必有个根，
即必有两个零点，设为，且，
当时，，即，
当时，，即，
当时，，即，
所以函数在上单调递增，在单调递减，在上单调递增，
即函数恰有2个极值点，B正确；
对于CD：当函数有2个零点时，或，
所以或，
将或代入得
或，
解得或，故C错误，D正确.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：导数问题要学会转化，比如零点个数问题转化方程根的个数，或者函数图象交点个数.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 世界数学三大猜想：“费马猜想”、“四色猜想”、“哥德巴赫猜想”，其中“四色猜想”和“费马猜想”已经分别在年和年荣升为“四色定理”和“费马大定理”．如今，哥德巴赫猜想仍未解决．哥德巴赫猜想描述为：任何不小于的偶数，都可以写成两个质数之和．（质数是指在大于的自然数中，除了和它本身以外不再有其他因数的自然数）．在不超过的质数中，随机选取两个不同的数，其和为奇数取法有________种．
【答案】
【解析】
【分析】列举出不超过的质数，分析可知必取，然后在剩余个奇数中任选一个即可，即可得出不同的选法种数.
【详解】不超过的质数有：、、、、、、，共个，
在这个数中随机选取两个不同的数，其和为奇数，则必取，
然后在剩余个奇数中任选一个即可，
所以，不同的取法种数为种.
故答案为：.
13. 已知，若关于x的方程有3个不同实根，则实数取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用导函数研究出函数的单调性，极值情况，画出函数图象，并将函数的根的问题转化为两函数交点个数问题，数形结合求出实数的取值范围.
【详解】当时，，，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
且，当时，恒为正，
当时，，，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
且，
画出的图象如下：
要想关于x的方程有3个不同实根，则要函数与有3个不同的交点即可，
显然当时，符合要求.
故答案为：
14. 当时，恒成立，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】将在上恒成立恒成立转化为在上恒成立，在构造函数，再利用导数法研究函数的单调性，进而转化为在上恒成立,等价于，.最后利用导数法研究函数的最值，结合对数不等式即可求解.
【详解】因为当时，恒成立，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
令，可得，
所以在上单调递增，且，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
所以，即可.
令，可得，
令则，解得，
当时，,
当时，,
所以在上单调递增，在上单调递减,
所以，
所以，解得，
所以实数取值范围是.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是将在上恒成立恒成立转化为所以在上恒成立，在构造函数，再利用函数的单调性，进而转化为在上恒成立,再利用导数法研究函数的最值即可.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知函数在点处的切线方程为.
（1）求实数、的值；
（2）求函数的极值．
【答案】（1），
（2）极小值为，无极大值
【解析】
【分析】（1）求出，由导数的几何意义可得，可得出关于、的方程组，即可解出这两个未知数的值；
（2）利用导数分析函数的单调性，利用极值与导数的关系可求得该函数的极值.
【小问1详解】
解：因为，则，
因为函数在点处的切线方程为，
则，解得.
【小问2详解】
解：函数的定义域为，则，
由可得，列表如下：
所以，函数的单调减区间为，单调增区间为，
故函数的极小值为，无极大值.
16. 设a为实数，函数．
（1）求的极值；
（2）对于，都有，试求实数a的取值范围．
【答案】（1）极大值为，极小值为
（2）
【解析】
【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，由此可求得函数的极大值和极小值；
（2）分析可知，利用导数求得函数在上的最小值，求出函数在上的最大值，可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.
【小问1详解】
函数的定义域为，，
令，可得或，列表如下：
故函数的极大值为，极小值为.
【小问2详解】
对于，，都有，则.
由（1）可知，函数在上单调递减，在上单调递增，
故当时，，
因为，且时，，
当时，，
故函数在上单调递减，再上单调递增，，
故，
由题意可得，故.
17. 某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应提高的比例为，年销售量也相应增加.已知年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量.
（1）若年销售量增加的比例为，写出本年度的年利润p(万元)关于x的函数关系式；
（2）若年销售量关于x的函数为，则当x为何值时，本年度年利润最大？最大年利润是多少？
【答案】（1）
（2）当时，本年度的年利润最大，最大年利润为万元
【解析】
【分析】（1）根据年利润公式代入得出p(万元)关于x函数；
（2）写出本年度的年利润函数，利用导数讨论函数的单调性得出最大值.
【小问1详解】
由题意得：本年度每辆车的投入成本为，出厂价为，年销售量为.
因此本年度的年利润
.
【小问2详解】
本年度的年利润为
，
则，
令，解得或(舍去).
当时，，当时，，
所以时，有最大值.
所以当时，本年度的年利润最大，最大年利润为万元.
18. 已知函数
（1）若，判断函数的单调性，并求出函数的最值.
（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增，最小值为，无最大值
（2）
【解析】
【分析】（1）把的值代入函数的解析式，从而根据导数判断函数的单调性，进而可求函数的最值；
（2）利用导数判断函数的单调性，根据单调性可求函数的最小值；根据题意列出满足条件的的不等式，从而求出的范围，然后验证即可.
【小问1详解】
易知函数的定义域为，
当时，，
所以，
当时，；当，；
所以在上单调递减，在上单调递增；
由此可得，的最小值为，无最大值.
【小问2详解】
因为，所以.
当时，在上恒成立，所以在上单调递增，
故可得函数至多只有一个零点，不符合题意；
当时，令，设该方程的解为，
则在上，；在上，，
所以在上单调递减，在上单调递增；
为了满足有两个零点，则有 ①
因为是方程的解，所以，两边取对数可得 ②，
将②式代入①式可得，所以的取值范围为.
且当时，由②式得，所以在上仅有1个零点；当时，，故可得在上仅有1个零点；
综上，若函数存在两个零点，则实数的取值范围是.
19. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当恒成立时，求取值范围；
（3）证明：.
【答案】（1）答案见解析
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）借助导数，对及进行分类讨论即可得；
（2）令，由，即可得其必要条件，再借助导数对及的情况分类讨论即可得解；
（3）借助（2）中所得，可得，令，可得，累加即可得证.
【小问1详解】
，
当时，易知，所以函数在上单调递减，
当时，令，解得，
令，解得，即在上单调递增，
令，得，即在上单调递减，
综上，当时，函数在上单调递减，
当时，在上单调递减，在上单调递增；
【小问2详解】
令，
，故恒成立，即，
，令，则，
所以在上单调递增，
当时，，又，
有，即单调递减，
，即单调递增，
所以，
所以当时，成立；
当时，可得，，
所以
又
所以存在，使得，即，
，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
，由可得，
，
综上，的取值范围为；
【小问3详解】
由（2）知，当时，有，即，
令，得，
，
，
即.
【关键点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于从（2）中所得，再令，可得，再累加即可得证.减
极小值
增
递增
极大值
递减
极小值
递增
本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题日的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 3位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（ ）
A. 5种B. 6种C. 8种D. 9种
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，可得每位同学都有2种报名方法，结合分步计数原理，即可求解.
【详解】由题意，3位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，
则每位同学都有2种报名方法，则这3为同学共有种不同的报名方法，
故选：C.
【点睛】利用分步计数原理解决问题的策略：
（1）利用分步计数原理解决问题时要注意事件发生的过程来合理分步，即分步是有先有后的顺序，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤时相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事；
（2）分步必须满足两个条件：一是各步骤相互独立，互不干扰；二是步与步之间确保连续，逐步完成.
2. 已知函数的导函数为，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】对等式两边求导，求导的时候注意是个常数，求导之后令即可得出答案.
【详解】因为，所以，令，则，．
故选：C
3. 已知函数在上可导，且满足，则函数在点处的切线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件，利用导数的定义即可得到，再由导数的几何意义即可得出结果.
【详解】由，得到，
由导数定义知，所以函数在点处的切线的方程为，
即，
故选：D.
4. 已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由的图象得到的单调性，从而得到的正负，即可得解.
【详解】由的图象可知，在和上单调递增，在上单调递减，
则当时，时，时，
所以不等式的解集为.
故选：A
5. 若函数在区间内有极值点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出函数的导数，依题意可得在区间内有零点，参变分离可得，根据对勾函数的性质求出的取值范围，即可得到的取值范围，最后检验时不符合题意，即可得解.
【详解】解：函数，，
若函数在区间上有极值点，
则在区间内有零点，
由可得，
因为在上单调递减，在上单调递增，又，，，
所以，
，
当时，，不符合题意，
所以实数的取值范围是.
故选：C．
6. 定义域为的函数满足，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
引入，得是奇函数，由导数得在上的单调性，从而得在上的单调性，不等式转化为，由单调性可得解．
【详解】∵且，∴是奇函数，
设，则时，，∴在是减函数．
又是奇函数，∴也是奇函数，因此在是递减，
从而在上是减函数，
不等式为，即，∴．
故选：B．
【点睛】本题考查用导数确定函数的单调性解不等式，解题关键是引入新函数，然后由已知条件确定奇偶性，单调性．引入的新函数可根据要求的式的形式变换，可根据条件结合导数的运算法则确定．
7. 已知，，，则有（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】函数，则，确定函数的单调性，通过单调性可确定大小.
【详解】把a，b，c变形得，，，
所以构造函数，则.，
令，则在上恒成立，
所以在区间上单调递增，因为，
所以在上恒成立，
所以函数在上单调递增，
所以，即.
故选：C.
8. 若函数与函数有公切线，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】设公切线与函数切于点，则切线方程为；设公切线与函数切于点，则切线方程为，所以有∵，∴．
又，令，∴．
设，则，∴在(0，2)上为减函数，则，∴，故选A．
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义等基础知识，考查了推理论证能力，运算能力，创新意识，考查了函数与方程，分类与整合，转化与化归等数学思想方法，属于难题，由切线方程可得，分离参数，得到关于的函数，求出的取值范围即可，因此正确运用导数的性质是解决问题的关键.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁、戊五个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是（ ）
A. 所有可能的方法有种
B. 若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有61种
C. 若同学A必须去工厂甲，则不同的安排方法有20种
D. 若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有60种
【答案】BD
【解析】
【分析】由分步计数乘法原理，结合特殊元素优先考虑原则逐项分析，计算作答.
【详解】对于A，每名同学有5种选择方法，则所有可能的方法有种，A不正确；
对于B，由选项A知，所有可能的方法有种，工厂甲没有同学去的方法有种，
所以工厂甲必须有同学去的不同的安排方法有种，B正确；
对于C，同学A必须去工厂甲，则同学B，C的安排方法有种，C不正确；
对于D，三名同学所选工厂各不相同的安排方法有种，D正确.
故选：BD
10. 已知函数，且恒成立，则满足条件的值可能是（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据已知条件及函数单调性的定义，构造函数，再利用函数的单调性与导函数的关系将所求问题转化为不等式恒成立问题，进而转化为求函数的最值问题，再利用导数法研究函数的最值即可求解.
【详解】不妨设，，可得，
设，则，，
所以在区间上单调递减，
所以在上恒成立，
因为，
所以，
即在上恒成立，
当时，,
当时，，
令，，则，
所以在上单调递减，
当时，取的最小值为，即，
所以实数的取值范围为.
结合选项满足条件的值可能是；.
故选：BD.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用函数单调性的定义及函数单调性与导函数的关系，将所求问题转化问不等式恒成立问题，进而转化为求函数的最值问题，再利用导数法研究函数的最值即可.
11. 已知函数，则（ ）
A. 当时，函数恰有1个零点
B. 当时，函数恰有2个极值点
C. 当时，函数恰有2个零点
D. 当函数恰有2个零点时，必有一个零点为2
【答案】ABD
【解析】
【分析】求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，从而确定极值点的个数和零点个数，从而判断选项的对错.
【详解】因为，
所以，
令，，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以 ，
对于A：当时，，即恒成立，
所以上单调递增，
又，，
所以函数恰有1个零点，A正确；
对于B：当时，，
令，有，设，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，作出图象如下图：
又，所以方程必有个根，
即必有两个零点，设为，且，
当时，，即，
当时，，即，
当时，，即，
所以函数在上单调递增，在单调递减，在上单调递增，
即函数恰有2个极值点，B正确；
对于CD：当函数有2个零点时，或，
所以或，
将或代入得
或，
解得或，故C错误，D正确.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：导数问题要学会转化，比如零点个数问题转化方程根的个数，或者函数图象交点个数.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 世界数学三大猜想：“费马猜想”、“四色猜想”、“哥德巴赫猜想”，其中“四色猜想”和“费马猜想”已经分别在年和年荣升为“四色定理”和“费马大定理”．如今，哥德巴赫猜想仍未解决．哥德巴赫猜想描述为：任何不小于的偶数，都可以写成两个质数之和．（质数是指在大于的自然数中，除了和它本身以外不再有其他因数的自然数）．在不超过的质数中，随机选取两个不同的数，其和为奇数取法有________种．
【答案】
【解析】
【分析】列举出不超过的质数，分析可知必取，然后在剩余个奇数中任选一个即可，即可得出不同的选法种数.
【详解】不超过的质数有：、、、、、、，共个，
在这个数中随机选取两个不同的数，其和为奇数，则必取，
然后在剩余个奇数中任选一个即可，
所以，不同的取法种数为种.
故答案为：.
13. 已知，若关于x的方程有3个不同实根，则实数取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用导函数研究出函数的单调性，极值情况，画出函数图象，并将函数的根的问题转化为两函数交点个数问题，数形结合求出实数的取值范围.
【详解】当时，，，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
且，当时，恒为正，
当时，，，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
且，
画出的图象如下：
要想关于x的方程有3个不同实根，则要函数与有3个不同的交点即可，
显然当时，符合要求.
故答案为：
14. 当时，恒成立，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】将在上恒成立恒成立转化为在上恒成立，在构造函数，再利用导数法研究函数的单调性，进而转化为在上恒成立,等价于，.最后利用导数法研究函数的最值，结合对数不等式即可求解.
【详解】因为当时，恒成立，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
令，可得，
所以在上单调递增，且，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
所以，即可.
令，可得，
令则，解得，
当时，,
当时，,
所以在上单调递增，在上单调递减,
所以，
所以，解得，
所以实数取值范围是.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是将在上恒成立恒成立转化为所以在上恒成立，在构造函数，再利用函数的单调性，进而转化为在上恒成立,再利用导数法研究函数的最值即可.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知函数在点处的切线方程为.
（1）求实数、的值；
（2）求函数的极值．
【答案】（1），
（2）极小值为，无极大值
【解析】
【分析】（1）求出，由导数的几何意义可得，可得出关于、的方程组，即可解出这两个未知数的值；
（2）利用导数分析函数的单调性，利用极值与导数的关系可求得该函数的极值.
【小问1详解】
解：因为，则，
因为函数在点处的切线方程为，
则，解得.
【小问2详解】
解：函数的定义域为，则，
由可得，列表如下：
所以，函数的单调减区间为，单调增区间为，
故函数的极小值为，无极大值.
16. 设a为实数，函数．
（1）求的极值；
（2）对于，都有，试求实数a的取值范围．
【答案】（1）极大值为，极小值为
（2）
【解析】
【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，由此可求得函数的极大值和极小值；
（2）分析可知，利用导数求得函数在上的最小值，求出函数在上的最大值，可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.
【小问1详解】
函数的定义域为，，
令，可得或，列表如下：
故函数的极大值为，极小值为.
【小问2详解】
对于，，都有，则.
由（1）可知，函数在上单调递减，在上单调递增，
故当时，，
因为，且时，，
当时，，
故函数在上单调递减，再上单调递增，，
故，
由题意可得，故.
17. 某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应提高的比例为，年销售量也相应增加.已知年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量.
（1）若年销售量增加的比例为，写出本年度的年利润p(万元)关于x的函数关系式；
（2）若年销售量关于x的函数为，则当x为何值时，本年度年利润最大？最大年利润是多少？
【答案】（1）
（2）当时，本年度的年利润最大，最大年利润为万元
【解析】
【分析】（1）根据年利润公式代入得出p(万元)关于x函数；
（2）写出本年度的年利润函数，利用导数讨论函数的单调性得出最大值.
【小问1详解】
由题意得：本年度每辆车的投入成本为，出厂价为，年销售量为.
因此本年度的年利润
.
【小问2详解】
本年度的年利润为
，
则，
令，解得或(舍去).
当时，，当时，，
所以时，有最大值.
所以当时，本年度的年利润最大，最大年利润为万元.
18. 已知函数
（1）若，判断函数的单调性，并求出函数的最值.
（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增，最小值为，无最大值
（2）
【解析】
【分析】（1）把的值代入函数的解析式，从而根据导数判断函数的单调性，进而可求函数的最值；
（2）利用导数判断函数的单调性，根据单调性可求函数的最小值；根据题意列出满足条件的的不等式，从而求出的范围，然后验证即可.
【小问1详解】
易知函数的定义域为，
当时，，
所以，
当时，；当，；
所以在上单调递减，在上单调递增；
由此可得，的最小值为，无最大值.
【小问2详解】
因为，所以.
当时，在上恒成立，所以在上单调递增，
故可得函数至多只有一个零点，不符合题意；
当时，令，设该方程的解为，
则在上，；在上，，
所以在上单调递减，在上单调递增；
为了满足有两个零点，则有 ①
因为是方程的解，所以，两边取对数可得 ②，
将②式代入①式可得，所以的取值范围为.
且当时，由②式得，所以在上仅有1个零点；当时，，故可得在上仅有1个零点；
综上，若函数存在两个零点，则实数的取值范围是.
19. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当恒成立时，求取值范围；
（3）证明：.
【答案】（1）答案见解析
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）借助导数，对及进行分类讨论即可得；
（2）令，由，即可得其必要条件，再借助导数对及的情况分类讨论即可得解；
（3）借助（2）中所得，可得，令，可得，累加即可得证.
【小问1详解】
，
当时，易知，所以函数在上单调递减，
当时，令，解得，
令，解得，即在上单调递增，
令，得，即在上单调递减，
综上，当时，函数在上单调递减，
当时，在上单调递减，在上单调递增；
【小问2详解】
令，
，故恒成立，即，
，令，则，
所以在上单调递增，
当时，，又，
有，即单调递减，
，即单调递增，
所以，
所以当时，成立；
当时，可得，，
所以
又
所以存在，使得，即，
，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
，由可得，
，
综上，的取值范围为；
【小问3详解】
由（2）知，当时，有，即，
令，得，
，
，
即.
【关键点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于从（2）中所得，再令，可得，再累加即可得证.减
极小值
增
递增
极大值
递减
极小值
递增
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