河北省承德市2024-2025学年高二下学期3月份月考数学检测试卷（含答案）

这是一份河北省承德市2024-2025学年高二下学期3月份月考数学检测试卷（含答案），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知函数的导数为，且，则（ ）
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
2.函数的单调递减区间是（ ）
A. B. C. D.
3.设等差数列的前项和为，若，则当取得最小值时，的值为（ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
4.已知函数，则的极小值点为（ ）
A. B. C. D.
5.若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6.若点在曲线上移动，经过点的切线的倾斜角为，则角的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7.若是R上的增函数，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8.若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知a，b，c为非零实数，则下列说法正确的是（ ）
A. 是a，b，c成等差数列的充要条件
B. 是a，b，c成等比数列的充要条件
C. 若a，b，c成等比数列，则，，成等比数列
D. 若a，b，c成等差数列，则，，成等差数列
10.设函数在R上可导，其导函数为f'x，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A. 函数在上为增函数 B. 函数在上为增函数
C. 函数有极大值和极小值f1 D. 函数有极大值和极小值
11.已知函数，则（ ）
A. 函数区间上单调递减
B. 函数在区间上的最大值为1
C. 函数在点处的切线方程为
D. 若关于的方程在区间上有两解，则
三、填空题（本大题共3小题，共15分
12.关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是________ .
13.已知等差数列的前项和为，则__________.
14.某个体户计划同时销售A，B两种商品，当投资额为x千元时，在销售A，B商品中所获收益分别为千元与千元，其中，，如果该个体户准备共投入5千元销售A，B两种商品，为使总收益最大，则B商品需投________千元．
四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.（本小题13分）已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若的最小值为，求a的值．
16.（本小题15分）在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为q，且.
（1）求与；
（2）证明.
17.（本小题15分）某物流公司计划扩大公司业务，但总投资不超过100万元，市场调查发现，投入资金x(万元)和年增加利润y(万元)近似满足如下关系y=90+2x−3x2+900,x∈0,4090x−x2−1980,x∈40,100．
(1)若该公司投入资金不超过40万元，能否实现年增加利润30万元？
(2)如果你是该公司经营者，你会投入多少资金？请说明理由．
18.（本小题17分）已知函数在处取得极小值．
（1）求实数的值；
（2）若函数有三个零点，求实数的取值范围．
19.（本小题17分）已知函数．
（1）讨论在区间上单调性；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．
答案
1.【正确答案】B
对于求导可得，
当时，有，故可解得.
2.【正确答案】D
由题意对函数求导得，
令，解得，则函数在上单调递减．
3.【正确答案】B
在等差数列中，，又，即.
因此等差数列单调递增，且数列中的项是先为负数，再变为正数，故把所有负数项加起来取得最小值时，的值为8.
4.【正确答案】B
的定义域为R，，又因为在上恒成立，所以，，单调递增，
，，单调递减，，，单调递增，
所以是的极小值点，是的极大值点
5.【正确答案】C
法一：由，可得．
①当时，，此时函数单调递减，
所以当时，函数在区间内存在单调递减区间.
②当时，令，可得，
当时，单调递减；当时，单调递增.
所以函数的减区间为，增区间为，
若函数区间内存在单调递减区间，
只需，得.综上所述，．
法二：函数在区间内存在单调递减区间，则在上有解；
又，即在上有解，所以在上有解，，又函数在上的单调递减，所以，所以．
6.【正确答案】D
对求导，得，
所以曲线上过点切线斜率为，
又因为，所以．
7.【正确答案】C
时，，必为单调递增函数；
时，，则，要使此时是增函数，则，即，
又因为时，，所以，又因为，所以，解得，故要使得是R上的增函数需满足，
8.【正确答案】A
对函数求导得，令，解得，或（舍去），
设，，所以图象向上凹，
画出函数的图象，以及直线得到图象，以及平移直线与函数相切的直线，
则，
即平行于直线的直线与曲线相切的切点坐标为，
因为，所以切点在直线的左侧，
曲线上任意一点到直线距离的最小值为点到直线的距离，
由点到直线的距离公式，可得点P到直线l的距离为．
9.【正确答案】AC
对于选项A：根据等差中项即可得出是a，b，c成等差数列的充要条件，故A正确；对于选项B：，即，又a，b，c为非零实数，所以根据等比中项即可证明a，b，c成等比数列，a，b，c成等比数列，只能证明，b若取负值，则，即是a，b，c成等比数列的充分不必要条件，故B错误；对于选项C：若a，b，c成等比数列，则，则，则，，成等比数列，故C正确；对于选项D：如1，2，3成等差数列，则，故D错误；
10.【正确答案】AD
由函数的图象可知
当时，，则单调递增，
当时，所以单调递减；
当时，所以单调递减；
当时，所以单调递增；
故A正确，B错误，则在处取得极大值，处取得极小值，
即函数有极大值和极小值，故C错误，D正确.
11.【正确答案】AC
因，，所以，
对于A项：则单调递增，单调递减，故A正确；
对于B项：由A项可知，时，；因为，，
所以函数在区间上的最大值为4，故B错误；
对于C项：因为，，所以函数在点处的切线方程为，
即，故C正确；
对于D项：由A,B两项可以画出函数大致图象如下：
所以要使方程在区间上有两解，则，故D错误.
12.【正确答案】
因为不等式在上恒成立，所以在上恒成立，
令，因为，所以，
所以函数在时单调递减，所以，所以.
13.【正确答案】16
因为数列为等差数列，所以，
又，所以.
所以.
14.【正确答案】
当投资额为x千元时，在销售A，B商品中所获收益分别为千元与千元，设投入经销B商品x千元，则投入经销A商品的资金为千元，则B商品获收益：，A商品所获收益为：，所以总的收益千元，则，
可得，
当时，可得，函数单调递增；
当时，可得，函数单调递减；
所以当时，函数取得最大值，最大值为.
15.【正确答案】解：（1）当时，，故，得，
又因为，故所求的切线方程为，化为一般式得．
（2）由题函数定义域为．由题得．
当时，恒成立，故上单调递增，没有最小值．
当时，令，得,令，得，
故的减区间为，区间为，
所以，
得，又因为,故
16.【正确答案】（1）解：设数列的公差为d，又，则，在等比数列中， ，公比为q，则.因为，所以，
解得或（舍去），
故，.
（2）证明：因为，所以.
故
因为，则，所以，得，所以，所以，
即.
17.【正确答案】解：(1)当x∈[0,40]时，y=90+2x−3x2+900，
则y'=2−3×12×2xx2+900=2−3xx2+900，
令y'=0，则2−3xx2+900=0，化简得x2=720，解得x=125或x=−125(舍去)，
当x∈[0,125]时，y'>0，则y=90+2x−3x2+900在[0,125]上递增，
当x∈[125,40]时，y'