广东省中山市桂山中学2024−2025学年高二下学期4月月考数学试题（含解析）

这是一份广东省中山市桂山中学2024−2025学年高二下学期4月月考数学试题（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．如果函数在处的导数为1，那么（ ）
A．B．1C．2D．
2．已知的展开式中含的项的系数为，则等于（ ）．
A．B．C．D．
3．将2个相同的红球和2个相同的黑球放入两个不同的盒子中，每个盒子中至少放1个球，则不同的放法有（ ）
A．5种B．6种C．7种D．8种
4．函数有（ ）
A．极大值为5，无极小值B．极小值为，无极大值
C．极大值为5，极小值为D．极大值为5，极小值为
5．平面直角坐标系上的一个质点从原点出发，每次向右或向上移动1个单位长度，则移动8次后，质点恰好位于点的移动方式有（ ）
A．56种B．70种C．210种D．1680种
6．展开式中的系数为（ ）
A．15B．20C．30D．35
7．给图中五个区域染色，有四种不同的颜色可供选择，要求边界有重合部分的区域（仅顶点与边重合或仅顶点与顶点重合不算）染上不同的颜色，则不同的染色方法有（ ）
A．216种B．180种C．192种D．168种
8．已知函数的定义域为R，，若对任意，都有，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．有4名同学报名参加三个不同的社团，则下列说法中正确的是（ ）．
A．每名同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有种
B．每名同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有种
C．每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有24种
D．每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有种
10．对于函数，下列说法正确的有（ ）
A．在处取得最小值B．在处取得最大值
C．有两个不同零点D．
11．已知定义在上的函数的导函数是，且．若，则称是的“增值”函数．下列函数是的“增值”函数，其中使得在上不是单调函数的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．某学校高二（1）班上午安排语文、数学、英语、体育、物理门课，要求第一节不安排体育，语文和数学必须相邻，则不同的排课方法共有 种．
13．已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数之和为 .
14．如图，某公园内有一个三角形的人工湖，其中．为便于游客观光，公园的主管部门准备修建两条观光近和（为线段上一点，且异于），已知修建的单位长度费用是修建的单位长度费用的3倍，要使修建这两条观光道的费用最低，则 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外两名老师傅既能当车工又能当钳工，现在要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，则有多少种选派方法？
16．已知函数在处有极值4.
(1)求a，b的值；
(2)求函数在区间上的最值.
17．求的展开式中常数项
18．已知函数．
(1)若对任意的恒成立，求实数的取值范围；
(2)若是函数的极值点，求证：．
19．定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数.已知函数.
(1)当时，判断是否为极值可差比函数，并说明理由；
(2)是否存在使的极值差比系数为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
(3)若，求的极值差比系数的取值范围.
参考答案
1．【答案】A
【详解】因为，所以，
所以．
故选A．
2．【答案】D
【详解】，令，
可得解得.
故选D.
3．【答案】C
【详解】若两个盒子中都放入2个球，则有3种不同的方法；
若一个盒子中放1个球，另一个盒子中放3个球，则有4种不同的方法．
故不同的放法有7种．
故选C.
4．【答案】A
【详解】,
由，得，由，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以在时，取得极大值，无极小值.
故选A
5．【答案】B
【详解】由题可知，该质点向右移动4个单位长度，向上移动4个单位长度，共有种移动方式．
故选B.
6．【答案】A
【详解】分析：由题意，二项式的展开式的通项为，得到展开式的的项，即可得到结果.
详解：由题意，二项式的展开式的通项为，
所以展开式的的项为，
所以展开式的的系数为，故选A.
点睛：本题主要考查了二项式定理的应用，其中熟记二项展开式的通项是解答的关键，着重考查了考生的推理与运算能力.
7．【答案】D
【详解】先对3，4，5染色，有种方法，
若2和3同色，则不同的染色方法有种，
若2和3不同色，则不同的染色方法有种，
综上，不同的染色方法有种．
故选D.
8．【答案】A
【详解】令函数，由，得，
又，求导得，
函数在R上单调递增，不等式，
解得，所以不等式的解集为.
故选A.
9．【答案】AC
【详解】对于AB选项，第1个同学有3种报法，第2个同学有3种报法，
后面的2个同学也有3种报法，根据分步计数原理共有种结果，A正确，B错误；
对于CD选项，每个社团限报一个人，则第1个社团有4种选择，
第2个社团有3种选择，第3个社团有2种选择，
根据分步计数原理共有种结果，C正确，D错误．
故选AC.
10．【答案】BD
【分析】
利用单调性求最值判断A,B，求零点判断C，先转换到同一单调区间内，在比大小判断D即可.
【详解】定义域为，易得，令，,令，，故在单调递增，在单调递减，则的最大值为，故A错误，B正确，
令，解得，可得只有一个零点，故C错误，
易知，且结合单调性知，即成立，故D正确.
故选BD.
11．【答案】CD
【详解】由，可得．
对于A：由，可得：为常数，
令，则，所以，则在上是减函数，故错误；
对于B：由可得：，为常数，
令，则，所以，则在上是增函数，故错误；
对于C，由可得：，为常数，
令，则，所以，
由对勾函数的单调性可知：在上单调递减，在上单调递增，故正确；
对于D，由可得：，为常数，
令，则0，所以，
令，可得，令，可得，
所以在上单调递减，在上单调递增，故正确．
故选CD．
12．【答案】
【详解】先考虑第一节安排体育课，语文和数学必须相邻，则将数学与语文捆绑，形成一个大元素，共有种排法；
接下来只考虑语文和数学必须相邻的情形，只需将数学与语文捆绑，形成一个大元素，共有种排法.
由间接法可知，不同的排法种数为种.
13．【答案】512
【详解】因为的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以
从而奇数项的二项式系数之和为
14．【答案】
【详解】设，修建的单位长度费用为，修建总费用为，
则，
令，则，
所以当时，，当时，，
所以当时，取得最小值，则取得最小值．
15．【答案】185种选派方法.
【分析】方法一：设A，B代表2位老师傅，分情况利用组合数即可求解.方法二：分三种情况，5名男钳工有4，3，2名被选上，利用组合数即可求解.方法三：4名女车工都被选上，有3名被选上或有2名被选上，利用组合数即可求解.
【详解】方法一：设A，B代表2位老师傅．
A，B都不在内的选派方法有＝5(种)，
A，B都在内且当钳工的选派方法有＝10(种)，
A，B都在内且当车工的选派方法有＝30(种)，
A，B都在内且一人当钳工，一人当车工的选派方法有＝80(种)，
A，B有一人在内且当钳工的选派方法有＝20(种)，
A，B有一人在内且当车工的选派方法有＝40(种)，
所以共有＋＋＋＋＋＝185(种)选派方法．
方法二：5名男钳工有4名被选上的方法有＋＋＝75(种)，
5名男钳工有3名被选上的方法有＋＝100(种)，
5名男钳工有2名被选上的方法有＝10(种)，
所以共有75＋100＋10＝185(种)选派方法．
方法三：4名女车工都被选上的方法有＋＋＝35(种)，
4名女车工有3名被选上的方法有＋＝120(种)，
4名女车工有2名被选上的方法有＝30(种)，
所以共有35＋120＋30＝185(种)选派方法．
16．【答案】(1)，
(2)最小值是，最大值是.
【详解】（1），
∵函数在处取得极值4，
∴，，解得，，
∴，经验证在处取得极大值4，
故，.
（2）由（1）可知，，，
令，解得，令，解得或，
因此在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
所以函数在在时取得极小值，极小值为；
在时取得极大值，极大值为，且，，
经比较，函数在区间上的最小值是，最大值是.
17．【答案】
【详解】由题设，，
对于，有，
且为正整数，
令，则，故或或，
所以常数项为.
18．【答案】(1)；
(2)证明见详解.
【详解】（1）由，可得不等式，
由，则，令，
求导可得，令，解得，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
由题意可得；
（2）由，则，令，
求导可得在上恒成立，
则函数在上单调递增，即函数在上单调递增，
由是函数的极值点，可得，即，
由，则，
所以.
19．【答案】(1)是，理由见解析
(2)不存在，理由见解析
(3)
【详解】（1）当时，（），
则
当时，，当，，
所以在和上严格递增，在上严格递减，
所以的极大值为，极小值为，
所以，所以是极值差比函数.
（2）的定义域为，，
假设存在使的极值差比系数为，
则，是方程的两个不相等的正实数根，
则，解得，不妨设，则，
因为
，
所以，从而，得（*）
令（），，
所以在上是严格增函数，所以，
因此（*）无解，所以不存在使的极值差比系数为；
（3）由（2）知极值差比系数为，即，
不妨设，令，，极值差比系数可化为，
，又，解得，
令（），，
设（），，
所以在上单调递减，当时，，
从而，所以在上单调递增，所以，
即，
所以的极值差比系数的取值范围为.
【思路导引】合理利用导函数和“极值可差比函数”定义，在（2）利用极值点的性质找到几个变量间的基本关系，利用函数单调性判断方程无解.（3）中的需要重复利用（2）几个重要的数量关系，对变量进行转化，利用导函数求出单调区间，得出取值范围是关键.