广东省东莞市众美中学2025_2026学年高二上学期12月检测数学试卷（含解析）

这是一份广东省东莞市众美中学2025_2026学年高二上学期12月检测数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中相应位置涂黑.
1. 若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】由直线的方向向量求出其斜率，进而求出倾斜角.
【详解】由直线的一个方向向量为，得直线的斜率为1，
所以直线的倾斜角为.
故选：D
2. 如图，梯形中，，，点为空间内任意一点，设，，，则向量可用表示为（ ）

A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】利用向量加减和数乘运算直接求解即可.
【详解】.
故选：D.
3. 已知数列中，，则（ ）
A. 3B. C. D.
【正确答案】C
【分析】由，得，利用递推公式得数列的周期，利用周期即可求解.
【详解】由，得，
又，所以，
所以数列是以3为周期的数列，
故.
故选：C.
4. 已知F₁， F₂是双曲线C: 的两个焦点，P为C上一点，且 若的面积是 则 （ ）
A. B. C. D. 2
【正确答案】A
【分析】利用余弦定理及双曲线的定义求出，再由面积公式计算可得.
【详解】根据双曲线定义得，
所以，即①，
由余弦定理可得：，
即②，
由②-①得：，即，
所以，
又的面积是 所以，解得，
故选：A
5. 设点，，若直线与线段没有交点，则a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】因为直线的斜率为，且直线过定点，所以将直线与线段没有交点时，求a的取值范围，转化为过的直线与线段没有交点时，求直线斜率的相反数问题，可得a的取值范围.
【详解】直线过定点.
如图，，
直线与线段没有交点时，直线斜率满足，
所以.
故选：C.
6. 已知直线被圆截得的弦长为整数，则满足条件的直线共有（ ）
A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条
【正确答案】C
【分析】首先求得，又，而直径是4，所以分进行讨论即可求解.
【详解】圆的圆心、半径分别为，
圆心到直线的距离为，
设直线被圆截得的弦长为，
由于直线被圆所截得的弦长不超过直径长度，故分以下情形讨论：
当时，，解得，
当时，，化简得，解得，
当时，，化简得，该方程无解，
当时，，化简得，该方程无解，
而直线是斜率为且过定点的直线，直线由唯一决定，
综上所述，满足条件的直线共有3条.
故选：C.
7. 椭圆的离心率为，则（ ）
A. 8B. 2或8C. 4或8D. 8或12
【正确答案】B
【分析】分焦点在轴与轴两种情况讨论，分别确定，，再由离心率公式得到方程，解得即可.
【详解】当焦点在轴时，，则，，
所以，解得.
当焦点在轴时，，则，，
所以，解得.
所以或,
故选：B．
8. 已知在等差数列中，，点在函数的图象上，则数列中所有正项的和为（ ）
A. 50B. 55C. 56D. 57
【正确答案】D
【分析】根据题意，解得，又，根据等差数列通项公式解得公差，从而得到通项公式判断正项，进而求和．
【详解】由题得，则，又，则，得，
因此，
令得，即前6项均为正值，第7项开始为负，
则所有正项的和为．
故选：D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 已知等差数列的公差为，前项和为，且，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】ABD
【分析】由等差数列的通项与前项和的关系式，可判断各个选项.
【详解】对于A：由 可得：，
因此，选项 A 正确：
对于B：由 可得：
因为 ，所以 ，
因此，选项 B 正确：
对于C：由 和 ，可得：，
则，故，因此，选项C错误；
对于D：由等差数列的前项和公式可得：，
由选项C可知：，
所以，因此，选项 D 正确.
故选：ABD
10. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，则下列说法正确的是（ ）
A. 准线为
B. 若，则
C. 若，则
D. 到距离最小为3
【正确答案】AC
【分析】由抛物线的定义可判断A选项，由焦半径公式可计算点横坐标，代入抛物线方程可计算纵坐标，从而判断B选项，由点的坐标可计算长，可判断C选项，由点点距公式，结合二次函数的性质可判断D.
【详解】抛物线，则准线方程为：，故A正确；
若，则，故，代入抛物线方程可得：，故，故B错误；
由B选项可知，，则，故C正确；
到的距离为，当时，距离有最小值，故D不正确.
故选：AC
11. 如图，矩形所在平面与正方形所在平面互相垂直，AD=DE=4，为线段上的动点，则（ ）
A.
B. 若为线段的中点，则平面
C. 点B到平面CEF的距离为
D. 的最小值为48
【正确答案】ABC
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积的运算性质、平面的法向量进行求解判断即可.
【详解】因为是矩形，所以，
又因为矩形所在平面与正方形所在平面互相垂直，矩形所在平面与正方形相交于，
所以平面，而平面，
所以，而是正方形，所以，因此建立如下图所示的空间直角坐标系，
则有，
因，
所以有，因此选项A正确；
当为线段中点时，，，，
设平面的法向量为，
于是有，
因为平面，
所以选项B正确；
，，
所以点B到平面CEF的距离为，因此选项C正确；
设，，
，
当时，有最小值47，因此本选项不正确，
故选：ABC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡相应位置上.
12. 已知，两点到直线的距离相等，则_____.
【正确答案】0或
【分析】根据给定条件，利用点到直线的距离公式列式计算得解.
【详解】依题意，，所以或.
故0或
13. 已知经过椭圆的左顶点和上顶点的弦的中点坐标为，则的离心率为________．
【正确答案】
【分析】根据题意求出，再根据椭圆的离心率公式即可得解.
【详解】椭圆的左顶点和上顶点的坐标分别为，
由题意可得，解得，
所以，则，
所以的离心率.
故答案为.
14. 设为数列的前项和，若，，则______.
【正确答案】27
【分析】题中所给式子使用进行转化，得到数列第2项及以后各项的通项公式，用公式求即可．
【详解】由于，则，
所以，
所以.
故答案是.
四、解答题：本题共5小题，共77分.第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.
15. 已知ABC的顶点．
（1）求高所在直线的方程；
（2）求△ABC的面积．
【正确答案】（1）
（2）5
【分析】（1）先求出直线的斜率，再根据垂直关系求出高所在直线的斜率，利用点斜式求出直线方程；（2）先用两点间距离公式求出的长，再利用点到直线距离公式求出高的长度，进而求出面积.
【小问1详解】
依题意可得直线的斜率
由得：，，
故直线的方程为：，即：．
【小问2详解】
依题意直线的方程为，，
点到直线的距离
所以
16. 已知半径为4的圆C与直线：相切，圆心C在y轴的负半轴上．
（1）求圆C的方程；
（2）已知直线：与圆C相交于A，B两点，且△ABC的面积为8，求直线的方程．
【正确答案】（1）
（2）或．
【分析】（1）根据点到直线的距离即可根据相切求解，
（2）根据圆的弦长公式，即可结合面积求解.
【小问1详解】
由已知可设圆心，
圆C与直线：相切，且，
所以，
解得或（舍），
所以圆C的方程为．
【小问2详解】
设圆心C到直线的距离为d，
则，，
即，解得，（舍去）
又，所以，解得，
所以直线的方程为或．
17. 如图1，在平面四边形中，∥，，将沿翻折到的位置，使得平面⊥平面，如图2所示.
（1）设平面与平面的交线为，求证：；
（2）在线段上是否存在一点（点不与端点重合），使得二面角的余弦值为，请说明理由.
【正确答案】（1）证明见解析
（2）存，理由见解析.
【分析】（1）找出交线，利用面面垂直，线面垂直的性质即可证明；
（2）利用已知条件建立空间直角坐标系，利用法向量进行分析求解.
【小问1详解】
证明:延长相交于点，连接，
则为平面与平面的交线，
由平面⊥平面，，平面，
且平面平面，所以平面，
又由∥，所以平面，
因为平面，所以，所以，
【小问2详解】
由（1）知：，
以为坐标原点，以所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，
可得，
则，
设（其中），
则，所以，
设平面QBD的法向量为，
则，
令，可得，所以，
又由平面，所以平面的一个法向量为
则，
解得，
所以存在点为的中点时，使得二面角的余弦值为.
18. 已知椭圆的离心率为，且过点．
（1）求的方程；
（2）若斜率为的直线与轴交于点，与交于，两点，证明：为定值．
【正确答案】（1）
（2）证明见解析
【分析】（1）利用椭圆离心率的性质结合椭圆经过的点求解基本量，得到椭圆方程即可；
（2）利用韦达定理表示出，再利用两点间距离公式表示出目标式，化简得到定值即可.
【小问1详解】
由题意得 ，得，
故的方程为；
【小问2详解】
设，则直线l的方程为，
与联立，得，
则，且，
所以
，
故为定值．
19. 等差数列{}满足，其前n项和为.
（1）求数列{}的通项公式；
（2）求的值.
【正确答案】（1）
（2）89
【分析】（1）根据条件列出关于首项和公差的方程组，即可求通项公式；
（2）根据（1）的结果，求数列的前项和，再代入，即可求解.
【小问1详解】
设首项，公差为d，
依题意得，解得：
∴
【小问2详解】
当时，
∴
，
当时，
∴
，
故，
∴.