备战2025年中考数学压轴专项(江苏专用)压轴专题05二次函数(角度问题)(学生版+解析)练习

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例题1 （24-25 江苏扬州·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为．

(1)请直接写出、、三点坐标．
(2)如图，点是第四象限内抛物线上的一点，过点作轴的垂线，交直线于点，求线段长度的最大值；
(3)如图，若点在抛物线上且满足，求点的坐标；
例题2如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知抛物线的顶点坐标为，与x轴分别交于点A，B．连接，点D是线段上方抛物线上的一动点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，在点D运动过程中，连接，求面积的最大值；
(3)如图2，在点D运动过程中，连接交于点E，点F在线段上，连接，若，求点F横坐标的最大值．
例题3综合与探究
如图，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点C，点在抛物线上，点P是抛物线在第四象限内的一个动点，过点P作交直线于点Q，连接、、，设点P的横坐标为m．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)求四边形面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)若点M是抛物线上任意一点，是否存在点M，使得，若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由．

1．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，二次函数（m是常数，且）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段交于点E，与x轴交于点F．连接．若，则m的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，二次函数（m是常数，且）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段交于点E，与x轴交于点F．连接AC．若，则m的值为 ．
3．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点B，P为第一象限抛物线上的动点，连接、、、，与相交于点Q．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设的面积为，的面积为，当时，求点P的坐标；
(3)抛物线上存在点P，满足，则点P的坐标为__________．
4．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线（）与轴交于、两点，与轴交于点，若满足．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)连接、，
①求证：；
②在抛物线上找一点，使得，请求出点的坐标．
5、如图，已知抛物线经过点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P为该抛物线上一动点．
①当点P在直线下方时，过点P作轴，交直线于点E，作轴．交直线于点F，求的最大值；
②若，求点P的横坐标．
6．如图，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在x轴上找一点E，使的值最小，求出此时点E的坐标，并求的最小值；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
7．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图1，二次函数的图象经过和，交y轴于点，连接．点D为第一象限抛物线上一动点，过点D分别作x轴和y轴的垂线，交于点E和点F．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)求面积的最大值及此时点D的坐标：
(3)当面积最大时，在抛物线上是否存在一点M，使，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．与y轴交于点C，连接．
(1)求A、B、C三点的坐标；
(2)若点P是x轴上一点，当为等腰三角形时，求点P的坐标；
(3)点Q是二次函数图象上的一个动点，请问是否存在点Q使？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
9．如图，二次函数（a是常数，且）的图象与x轴相交于点、（点A在点的左侧），与y轴相交于点C，且，连接．
(1)填空：______ ，的坐标为______ ；
(2)如图1，点为抛物线上一点，且在，C两点之间运动，连接与相交于点E，连接，，当的值最大时，求直线的表达式；
(3)如图2，动点在抛物线的对称轴上，连接、、，若，请求出点的坐标．
10．（24-25·江苏扬州·二模）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点，顶点为D．O为坐标原点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)求四边形的面积；
(3)P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若，则P点的坐标为_______．
11．（24-25·江苏淮安·一模）如图①，二次函数的图象与直线交于、两点．点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，交该二次函数的图象于点，设点的横坐标为．
(1) ， ；
(2)若点在点的上方，且，求的值；
(3)将直线向上平移4个单位长度，分别与轴、轴交于点、（如图②）．
①记的面积为，的面积为，是否存在，使得点在直线的上方，且满足=？若存在，求出及相应的、的值；若不存在，请说明理由．
②当时，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、、，若，直接写出点F的坐标．
12．（2024·江苏宿迁·三模）已知，如图，直线与轴、轴相交于点、点，点的坐标为，点的坐标为，抛物线经过点．
(1) ， ， ， ；
(2)延长至点，作的平分线，两条角平分线相交于点，求的值；
(3)在（2）的条件下，在抛物线的对称轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
13．（2024·江苏无锡·二模）如图，已知二次函数的图象与轴交于A、B（A在B左侧），与轴交于C，在函数图象上取一点D，点D和点C的纵坐标相同，，．
(1)求二次函数的表达式；
(2)在x轴上取点M（m，0），若二次函数图象上存在一点N，使得，且满足条件的点N有且只有3个，请求出m的值．
14．如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点C，P为第四象限内抛物线上一个动点，过点P作轴于点M，连接，，与y轴交于点D．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)求四边形面积的最大值；
(3)当时，求直线的函数表达式及点P的坐标．
15．（2024·江苏无锡·一模）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴交于点A，B，二次函数的图象G经过点A，点B，与x轴交于点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图2，点P在第一象限内二次函数图象上，分别过点P作直线，x轴的垂线，垂足是E，F，当取得最大值时，求点P的坐标；
(3)如图3，将二次函数的图象G沿射线的方向平移，平移后的二次函数图象恰好经过点B，点Q为图象上一点，直线与直线相交于点M，若，求点Q的横坐标．
16．（2025九年级下·江苏·专题练习）如图在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象经过，两点，且与轴的负半轴交于点，动点在直线下方的二次函数图象上．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图2，过点作于点，是否存在点，使得中的某个角恰好等于的2倍？若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由．
17．（2024·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、（在左侧），与轴交于，一次函数的图象经过、两点．
(1)分别求出、的值；
(2)在二次函数图象上是否存在点，且满足？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
18．（24-25九年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，．

(1)求这个二次函数的表达式；
(2)点是二次函数图像上轴下方的一个动点，过点作轴交直线于点，连接，将沿折叠，当的对应点恰好落在轴上时，请求出点的坐标；
(3)在二次函数的图象上，是否存在点，使得若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
19．（2025·江苏盐城·模拟预测）如图，四边形是矩形，点的坐标为，点的坐标为，点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向点出发，同时点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向点运动，当点与点重合时运动停止．设运动时间为秒．

(1)当时，______；
(2)当与相似时，求的值；
(3)当时，抛物线经过，两点，与轴交于另一点抛物线的顶点为，问该抛物线上是否存在点，使？若存在，求出所有满足条件的的坐标；若不存在，说明理由．
知识考点与解题策略
【解题思路】
二次函数与角有关问题包括等角、倍角、特殊角以及三角函数问题.
倍角问题，往往将其转化成等角问题.
对于等角问题，一般有以下解决路径：
(1)将等角转化在一个三角形中，利用等腰三角形两边相等，借助距离公式解决；
(2)用等角的三角比相等，构造直角三角形，寻找比例关系；
(3)利用角的和差关系，寻找等角，而等角存在两个相似三角形中，往往是子母三角形，利用比例线段构建数量关系；
(4)利用角平分线的相关性质定理.