备战2025年中考数学压轴专项(江苏专用)压轴专题04二次函数(相似三角形问题)(学生版+解析)练习

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例题1 （24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、E（3，0）两点，与y轴交于点B（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积；
（3）△AOB与△DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由．
例题2如图，在平面直角坐标系xy中，抛物线y=x2向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y=（x﹣h）2+k，所得抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求h、k的值；
（2）判断△ACD的形状，并说明理由；
（3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

1．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，交y轴于点C，且．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)点G是直线上方抛物线上的动点，连接，求面积的最大值．
(3)将直线绕点C逆时针旋转，交抛物线于点Q，求Q点坐标．
2．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于两点，且与轴交于点，直线经过点且与抛物线交于另一点．
(1)填空：写出下列点的坐标______；______；______；
(2)设点是位于直线上方的抛物线上的一个动点，连接，求的面积的最大值；
(3)点在轴上且位于点的左侧，若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标．
3．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点且与x轴的正半轴交于点B．
(1)求k的值及抛物线的解析式．
(2)如图1，若点D为直线上方抛物线上一动点，连接，当时，求D点的坐标；
(3)如图2，若F是线段的上一个动点，过点F作直线垂直于x轴交直线和抛物线分别于点G、E，连接．设点F的横坐标为m，是否存在以C，G，E为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
4．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）直线与轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过B，C两点，与x轴的另一交点为A，连接，点P为上方的抛物线上一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图①，连接，交线段于点D，若，求此时点P的坐标；
(3)如图②，连接．过点P作轴，交线段于点E，若与相似，求出点P的横坐标及线段长．
5．（24-25九年级下·江苏·专题练习）如图，已知过坐标原点的抛物线经过，，，两点，且、是方程两根，抛物线顶点为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，且以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标；
(3)是抛物线上的动点，过点作轴，垂足为，是否存在点使得以点、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（24-25·江苏苏州·阶段练习）如图，抛物线与轴的一个交点为，与轴的交点为，对称轴与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点为轴正半轴上的一个动点，连接，过点作的垂线，与抛物线的对称轴交于点，连接．
①若与相似，求点的坐标；
②若点在轴正半轴上运动到某一位置时，有一边与线段相等，并且此时有一边与线段具有对称性，我们把这样的点称为“对称点”，请直接写出“对称点”的坐标．
7．（24-25九年级下·江苏无锡·阶段练习） 如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线y＝x﹣2经过B、C两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线上的一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及x轴分别交于点D、M．PN⊥BC，垂足为N．设M（m，0）．当点P在直线BC下方的抛物线上运动时，是否存在一点P，使△PNC与△AOC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图，在平面直角坐标系内，点，点，点．连接．
(1)求经过点A、B、C三点的抛物线的表达式；
(2)点D在x轴正半轴上，当以点D、O、C为顶点的三角形与相似时，求点D的坐标．
(3)在（1）的抛物线上找一点E，使得的值最小并求点E的坐标．
9．已知在平面直角坐标系中，抛物线经过点、、三点，点D和点C关于抛物线对称轴对称，抛物线顶点为点G．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)连接、，求的面积；
(3)在对称轴右侧的抛物线上有一点M，平面内是否存在一点N，使得C、G、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；
(4)连接、，将抛物线向下平移后，点D落在平面内一点E处，过B、E两点的直线与线段交于点，当与相似时，直接写出平移后抛物线的解析式．
10．抛物线交轴于，两点（在的左边），交轴于点．
(1)直接写出，，三点的坐标；
(2)如图1，作直线，分别交轴，线段，抛物线于，，三点，连接．若与相似，求的值；
(3)如图2，过的中点作动直线（异于直线）交抛物线于，两点，若直线与直线交于点．证明：点在一条定直线上运动．
11、（24-25九年级上·山东东营·阶段练习）如图，已知抛物线经过A0,3和两点，直线与轴相交于点，是直线上方的抛物线上的一个动点，轴交于点．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若轴交于点，求的最大值；
(3)若以，，为顶点的三角形与相似，请直接写出所有满足条件的点的坐标．
12．（2025九年级下·江苏·专题练习）如图，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴相交于点．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)点D在线段上运动，过点D作x轴的垂线，与交于点Q，与抛物线交于点P．探究是否存在点P使得以点P，C，Q为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
13．如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与轴交于点，经过、、三点的圆的圆心恰好在此抛物线的对称轴上， 的半径为，设与轴交于，抛物线的顶点为．
(1)求的值及抛物线的解析式；
(2)若在抛物线第四象限上，求使四边形的面积最大时的点的坐标；
(3)探究坐标轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请指出点的位置，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图，在矩形中，，，沿直线折叠矩形的一边，使点落在边上的点处．分别以，所在的直线为轴，轴建立平面直角坐标系，抛物线经过，，三点．
(1)求的长及抛物线的解析式；
(2)一动点从点出发，沿以每秒2个单位长的速度向点运动，同时动点从点出发，沿以每秒1个单位长的速度向点运动，当点运动到点时，两点同时停止运动．设运动时间为秒，当为何值时，以、、为顶点的三角形与相似？
15．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点、点，顶点为点C，抛物线M的对称轴交x轴于点D．
(1)直接写出抛物线M的表达式和点C的坐标；
(2)点P在x轴上，当与相似时，求点P坐标．
16．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动．
(1)直接写出A，B，C三点的坐标；
(2)求的最小值以及此时点P的坐标；
(3)过点P作轴于点M，当和相似时，求点Q的坐标．
17．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知抛物线F：经过点，与y轴交于点．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在直线上方抛物线上有一动点C，连接交于点D，求的最大值及此时点C的坐标．
18．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动．
(1)直接写出A，B，C三点的坐标；
(2)过点P作轴于点M，当和相似时，求点Q的坐标．
19．在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
(1)求a，b的值；
(2)点P是直线上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
(3)点Q是直线上方抛物线上一动点，过点作轴于点E，是否存在点Q．使以点B、Q、E为顶点的三角形与相似？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，说明理由．
20．如图，已知二次函数的图象过点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)请你判断是什么三角形，并说明理由．
(3)若点在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点作垂直轴于点，试探究是否存在以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标．若不存在，请说明理由．
21．如图，已知抛物线yax2bxc(a0)经过A(1,0)，B(4,0)，C(0,2)三点．
（1）求这条抛物线和直线BC的解析式；
（2）E为抛物线上一动点，是否存在点E，使以A、B、E为顶点的三角形与COB相似？若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由

知识考点与解题策略
【解题思路】
相似三角形存在性问题解题的一般步骤：
1. 找等角：寻找两个三角形中相等的定角，通常定角为直角、对顶角、公共角或内错角(同位角)，或通过互余(互补)进行转化等方法得到的等角.
2. 求点坐标：(1)根据两组边成比例列关系式；
(2)根据另一组角相等求坐标.