2025年中考数学二次函数压轴题专题练习06角度问题（含解析）

这是一份2025年中考数学二次函数压轴题专题练习06角度问题（含解析），共32页。试卷主要包含了已知两角之比，含特殊角，等角等内容，欢迎下载使用。
一、已知两角之比
例1．
（2024•香坊区三模）
1．在平面直角坐标系中，抛物线分别交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点A的坐标为，点B的坐标为2,0．
AI
(1)求抛物线解析式；
(2)如图1，点Q、点P分别在第一、第二象限内的抛物线上，轴于点D，点F在第四象限内，连接交x轴于点E，连接、，且，若点P的横坐标为t，点Q的横坐标为，，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)如图2，在（2）的条件下，点N在线段上，连接，作平分交线段于点M，连接，若与的度数比为，，求Q点的纵坐标．
二、含特殊角
例2．
2．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为，点B坐标为．
(1)求此抛物线的函数解析式．
(2)点P是直线上方抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线交直线于点D，过点P作y轴的垂线，垂足为点E，请探究是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时P点的坐标；若没有最大值，请说明理由．
(3)点M为该抛物线上的点，当时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标．
对应练习：
（2024春•江北区校级期末）
3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点B4,0，与轴交于点，连接，过点作交轴于点，连接．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图1，点在第一象限内的抛物线上，连接、，当四边形的面积最大时，求出此时点的坐标以及的最大值；
(3)如图2，将抛物线先向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到新抛物线，若新抛物线与轴交于点，连接、，点在新抛物线的对称轴上，满足：，请直接写出点的坐标．
（2024•单县三模）
4．已知抛物线的顶点坐标为，与轴交于点和点，与轴交于点，点P为第二象限内抛物线上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点的坐标为，点为轴负半轴上的一点，，连接，若，请求出点的坐标；
三、等角
例3．（2024•沂源县一模）
5．如图，已知抛物线经过A(，0)，B(，)两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连接CD．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P为该抛物线上一动点（与点B，C不重合），设点P的横坐标为t．
①当点P在直线BC的下方运动时，求的面积的最大值及点P的坐标；
②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC=∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
对应练习：
（2024•莱芜区模拟）
6．抛物线的顶点坐标为，与x轴交于，B两点，与y轴交于点C．
(1)求这条抛物线的函数表达式；
(2)如图，点P在第四象限的抛物线上，连接与相交于点Q，与x轴交于点G，是否存在点P，使．若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
（2024•济南一模）
7．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，其对称轴与线段交于点E，与x轴交于点F．连接．
(1)若，求B点和C点坐标；
(2)若，求m的值；
8．如图①，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，点P是直线下方抛物线上的点，于点D，轴于点F，交线段于点E，
(1)求抛物线的解析式；
(2)当的周长最大时，求P点的坐标；
(3)如图（2），点M是在直线上方的抛物线上一动点，当时，求点M的坐标．
（2020春•云梦县期中）
9．如图，抛物线过点轴上的和点，交轴于点，点是该抛物线上第一象限内的一动点，且．
(1)抛物线的解析式为： ；
(2)若，在对称轴左侧的抛物线上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
（2024春•昆都仑区校级月考）
10．如图，抛物线与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)在抛物线上是否存在点P，使．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．(1)
(2)
(3)9
【分析】（1）把A的坐标，点B的坐标2,0代入解方程组即可解答；
（2）设，则，，根据平行四边形的性质得到，求得，根据三角函数的定义即可解答；
（3）设，则，由与的度数比为得到，求得，设，则，过N作于G，根据全等三角形的性质得到，延长交于点H，过H作于R，则，，求得，根据勾股定理得到，得到，求得，根据勾股定理得到，过点N作交的延长线于T，则，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理得到，求得，得到，得到，求得，代入，得，得到或（舍），于是得到，代入（2）中的结论得，代入即可解得．
【详解】（1）解：把A的坐标与点B的坐标2,0代入可得：
，解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：设，则，，
∵且，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在中，，
∴；
（3）解：∵平分，
∴，
设，
∴，
∵与的度数比为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，如图2：过N作于G，
∵轴于点D，
∴，
∵，，
∴，
∴，
延长交于点H，过H作于R，则，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
过点N作交的延长线于T，则，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
将代入，得，
解得：或（舍），
∴，
把代入（2）中的结论可得，
把代入得，
∴Q点的纵坐标为9．
【点睛】本题属于二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、平行四边形的判断与性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形等知识点，正确地作出辅助线是解题的关键．
2．(1)
(2)有最大值为，
(3)点M的坐标为或
【分析】（1）把点A坐标为，点B坐标为分别代入抛物线，后利用待定系数法确定解析式即可．
（2）先确定直线的解析式为．设，则，则；从而得到，解得即可．
（3）利用平移思想，三角函数，等腰三角形的性质，平行线的性质，分类想想计算即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，点
∴，
∴，
故抛物线的解析式为．
（2）解：有最大值为，且．理由如下：
设直线的解析式为，
将，代入直线的解析式得：
，
解得，
∴直线的解析式为，
设，则，
则，，
∴，
∵点P在直线上方的抛物线上，
∴，
∵，
∴有最大值，且当时，取得最大值，
∴时，；
故．
∴有最大值为，且．
（3）
解：如图，以为对角线作正方形，
∴，
∴直线与抛物线的另一个交点即为M，
如图，过T作x轴的平行线交y轴于Q，过B作于G，则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
由可得，
解得，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
故直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴，，，，正方形．
同理可证，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
故直线的解析式为，
同理可得直线为，
∴，
解得，，
∴，
综上所述，点M的坐标为或．
【点睛】
本题考查了待定系数法求函数解析式，构造二次函数求最值，等腰直角三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，一次函数解析式确定，解方程组，熟练掌握待定系数法，解方程组是解题的关键．
3．(1)
(2)，
(3)，
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）先求出直线为，直线AD为，进而得，过点作轴交于点，设，则，利用面积公式构造二次函数，利用二次函数的性质求解即可；
（3）利用平移性质求得新函数为，对称轴为，进而求得，在轴上取，则，利用待定系数法求得直线为，进而利用证明，从而分当点在的下方和点在的上方时两种情况分类讨论求解即可．
【详解】（1）解：把点和点B4,0代入二次函数得，
，
解得，
∴二次函数为；
（2）解：当x=0时，，
∴，
设直线为，
把，B4,0代入得，
，
解得，
∴直线为，
∵，
∴设直线AD为，
把代入得，
解得，
∴直线AD为，
当x=0时，，
∴
过点作轴交于点，设，则，
，
∴当时，的最大值为，
当x=2时，，
∴，的最大值为；
（3）解：∵，
∴抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位得到新抛物线，得，即，
∴新函数的对称轴为，
当x=0时，，
∴，
在轴上取，则，
设直线为，
把，代入，得
，
解得，
∴直线为，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
当点在的下方时，令交于点，与轴交于点，
∵，
∴，
∵B4,0，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴即，
∴，
设直线为，
把，B4,0代入，得，
，
解得，
∴直线为，
当时，，
∴，
当点在的上方时，
∵，
∴，
∵直线为，
∴设直线为，
把B4,0代入，得，
解得，
∴直线为，
当时，，
∴，
综上可得，．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数，一次函数解析式，二次函数的平移，全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的性质等，熟练掌握二次函数的性质，全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的性质等是解题的关键．
4．(1)；
(2)．
【分析】本题主要考查了二次函数综合、三角形外角的性质．
根据抛物线的顶点坐标为，可得关于、的方程组，解方程组得到、的值，即可求出抛物线的解析式；
根据，可得，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得，从而可得：，可知点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，解方程组求出点的坐标．
【详解】（1）
解：抛物线的顶点坐标为，
，
解得：，
抛物线解析式为；
（2）
解：如下图所示，设直线交轴于点，
，，
，
，
点的坐标为，
设直线的解析式为，
把点、的坐标代入解析式，
可得：，
解得：，
直线的解析式为，
解方程组，
得：，
解得：，，
，，
点在轴左侧，
应舍去，
当时，可得：点的坐标是．
5．（1）；（2）①，P(，)，②存在，P(，)或(0，5)
【分析】（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）①根据S△PBC=PG（xC-xB），即可求解；
②分点P在直线BC下方、上方两种情况，分别求解即可．
【详解】解：（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式得：，解得：，
故抛物线的表达式为：y=x2+6x+5…①，
令y=0，则x=-1或-5，
即点C（-1，0）；
（2）①如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点G，
将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线BC的表达式为：y=x+1…②，
设点G（t，t+1），则点P（t，t2+6t+5），
，
∵−＜0，
∴S△PBC有最大值，当t=-时，其最大值为；
②设直线BP与CD交于点H，
当点P在直线BC下方时，
∵∠PBC=∠BCD，∴点H在BC的中垂线上，
线段BC的中点坐标为（-，-），
过该点与BC垂直的直线的k值为-1，
设BC中垂线的表达式为：y=-x+m，将点（-，-）代入上式并解得：
直线BC中垂线的表达式为：y=-x-4…③，
同理直线CD的表达式为：y=2x+2…④，
联立③④并解得：x=-2，即点H（-2，-2），
同理可得直线BH的表达式为：y=x-1…⑤，
联立①⑤并解得：x=-或-4（舍去-4），
故点P（-，-）；
当点P（P′）在直线BC上方时，
∵∠PBC=∠BCD，∴BP′∥CD，
则直线BP′的表达式为：y=2x+s，将点B坐标代入上式并解得：s=5，
即直线BP′的表达式为：y=2x+5…⑥，
联立①⑥并解得：x=0或-4（舍去-4），
故点P（0，5）；
故点P的坐标为P（-，-）或（0，5）．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、图形的面积计算等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．
6．(1)
(2)存在，
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、解直角三角形等知识点，掌握转化思想是解题的关键．
（1）设这条抛物线的函数表达式为，将点代入求得a的值即可解答；
（2）如图2，过点D作y轴的平行线交过点C与x轴的平行线于点E，则，易得，过点Q作轴于点T，易得，进而得到；过点P作轴交过点D与x轴的平行线于点N，可证，由正切的定义可得；设点，则，然后求出t的值即可解答．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴设抛物线的解析式为，
将点代入，得：，
解得：，
∴，
∴该抛物线的函数表达式为．
（2）解：存在点P，使．理由如下：
如图2，过点D作y轴的平行线交过点C与x轴的平行线于点E，则，即，则，
∴；
过点Q作轴于点T，则，
∴，
若，则，
过点P作轴交过点D与x轴的平行线于点N，
∵轴，轴，
∴，
∴，
在中，，
设点，
则，
解得：（舍去）或，
经检验，是方程的根，
∴．
7．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，平行线分线段成比例定理，解直角三角形等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．
（1）当 时，，令，求得x的值可确定点B的坐标；令可求得点C的坐标；
（2）由题意可得、，进而得到，可推出；连接，然后说明可得，即、；由正切的定义可得，，即，最后求得m的值即可解答．
【详解】（1）解：当 时，，
令，得，解得：，
∵点A在点B的左侧，
∴，
令，得，
∴．
（2）解：当时，，解得：，
∵点A在点B的左侧，且，
∴，
∵当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
如图1中，连接，
∵，
∴，
∴，
∵A、B关于对称轴直线对称，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵，，
∴，解得：或，
经检验，是方程的根，
∵，
∴．
8．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出，由，得到，则，证明，得到，则，即可推出当最大时，的周长最大；求出直线解析式为，设，则，则，则当时，有最大值，即此时的周长最大，此时；
（3）如图所示，设直线交y轴于D，证明，得到，则，同理可得直线解析式为，联立，解得或，则．
【详解】（1）解：把代入中得：，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：在中，当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，轴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴的周长，
∴当最大时，的周长最大，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
设，则，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值，即此时的周长最大，此时；
（3）解：如图所示，设直线交y轴于D，
∵，，
∴，
∴，
∴，
同理可得直线解析式为，
联立，解得或，
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，解直角三角形，待定系数法求函数解析式，一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定等等，数量掌握二次函数的相关知识是解题的关键．
9．(1)；
(2)存在，．
【分析】（1）根据可以求出点的坐标，利用待定系数法可以求出抛物线的解析式；
（2）解方程求出点的坐标，根据，可得：，所以可知，利用可证，可得，得到点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，再与抛物线的解析式联立，解方程组求出点的坐标．
【详解】（1）
解：点的坐标为，
，
又，
，
点的坐标是，
把，两点的坐标代入，
得到：，
解得：，
抛物线的解析式为，
故答案为：；
（2）解：存在，
理由：如下图所示，连接，
，点P在第一象限，
，
当时，可得：，
解得：，，
点的坐标是，
由（1）可知点的坐标为，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
点的纵坐标是，
解方程，
可得：，(舍去)，
点的坐标为，
设与轴交于点，
在和中
，
，
，
，
点的坐标是，
设直线的解析式为，
将点的坐标代入，
得到：，
解得：，
直线的解析是，
联立直线和二次函数解析式可得：，
解得：或(舍去)，点的坐标是．
【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式，二次函数的图象与性质、二次函数与一次函数图象交点问题，全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质、锐角三角函数，解决本题的关键是运用数形结合的思想．
10．(1)
(2)存在，
【分析】（1）结合已知求得，代入即可解答；
（2）由，推出是的平分线，设交x轴于E，过E作于H，得到，根据等腰直角三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，求得，得到，求得直线的解析式为，解方程组即可得到结论．
【详解】（1）解：，
，，
∴代入，得：，
，
抛物线解析式为：；
（2）存在，理由：，
是的平分线，
设交x轴于E，过E作于H，
，
，，
，，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
，
∴设直线的解析式为
∴，解得
直线的解析式为，
令，
解得或(不合题意舍去)，
，
．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形等，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．