中考数学压轴题专项训练专题专题08 二次函数中的角度问题 (4大题型)40题专练 学生版+教师版

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通用的解题思路：
1、角的数量关系处理的一般方法如下：
（1）证等角：常运用等腰三角形两底角相等，等角的余角相等，等角的补角相等、全等三角形和相似三角形的对应角相等及两角的锐角三角函数值相等，等等；
（2）证二倍角：常构造辅助圆，利用圆周角定理；
（3）证和差角：常旋转、翻折、平移构造角．
2.特殊角问题处理的一般方法如下：
（1）运用三角函数值；
（2）遇45°构造等腰直角三角形；
（3）遇30°，60°构造等边三角形；
（4）遇90°构造直角三角形．
题型一：角相等问题
对于二次函数中的角相等问题，首选方法是利用等角的三角比解决问题（利用一线三等角模型或者拆分特殊角来发现等角），其次选择利用相似三角形中的比例线段解决问题。
二次函数中的角相等问题比较灵活，在遇到具体问题时具体分析，合理构造等角，解决问题。
1．（2024·山西太原·三模）综合与探究
如图1，经过原点O的抛物线与x轴的另一个交点为A，直线l与抛物线交于A，B两点，已知点B的横坐标为1，点M为抛物线上一动点．

(1)求出A，B两点的坐标及直线l的函数表达式．
(2)如图2，若点M是直线l上方的抛物线上的一个动点，直线交直线l于点C，设点M的横坐标为m，求的最大值．
(3)如图3，连接，抛物线上是否存在一点M，使得，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（23-24九年级下·内蒙古赤峰·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为．

(1)请直接写出、、三点坐标．
(2)如图，点是第四象限内抛物线上的一点，过点作轴的垂线，交直线于点，求线段长度的最大值；
(3)如图，若点在抛物线上且满足，求点的坐标；
3．（23-24九年级下·湖南永州·开学考试）综合与探究．
如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接．
(1)求，，三点的坐标；
(2)若点是轴上一点，当为等腰三角形时，求点的坐标；
(3)点是二次函数图象上的一个动点，请问是否存在点使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（2024·上海嘉定·二模）在平面直角坐标系（如图）中，已知抛物线经过点、两点，与轴的交点为点，对称轴为直线．
(1)求此抛物线的表达式；
(2)已知以点为圆心，半径为的圆记作圆，以点A为圆心的圆记作圆A，如果圆A与圆外切，试判断对称轴直线与圆A的位置关系，请说明理由；
(3)已知点在轴的正半轴上，且在点的上方，如果，请求出点的坐标．
5．（2023·海南·模拟预测）如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．直线与抛物线交于，两点．点是抛物线上一动点．
(1)求该抛物线的表达式及点的坐标；
(2)当点的坐标为时，求四边形的面积；
(3)抛物线上是否存在点，使？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由；
(4)如图2，点、是对称轴上的两个动点，且，点在点的上方，求四边形的周长的最小值．
6．（2024·上海静安·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线关于直线对称，且经过点和点，横坐标为4的点在此抛物线上．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)联结、、，求的值；
(3)如果点P在对称轴右方的抛物线上，且，过点P作轴，垂足为Q，请说明，并求点P的坐标．
7．（2024·广西·一模）如图，已知抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，P是抛物线上一点，连接、．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接，，若，求点P的坐标；
(3)若，直接写出点P的坐标．
8．（2024·山东济南·一模）如图，二次函数 . 的图象与x轴交于A、B两点（点A 在点B的左侧），与y轴交于点 C，顶点为D，其对称轴与线段交于点 E，与x轴交于点 F． 连接．

(1)若 ， 求B 点和C 点坐标；
(2)若 求m的值；
(3)若在第一象限内二次函数 的图象上，始终存在一点P，使得 请结合函数的图象，直接写出m的范围．
9．（2024·广东·一模）综合应用．
如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接．

(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式；
(2)点P是二次函数图象上的一个动点，请问是否存在点P使？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，作出该二次函数图象的对称轴直线l，交x轴于点D．若点M是二次函数图象上一动点，且点M始终位于x轴上方，作直线，，分别交l于点E，F，在点M的运动过程中，的值是否为定值？若是，请直接写出该定值；若不是，请说明理由．
10．（2024·江苏宿迁·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过、、三点，已知，，．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点是抛物线上任意一点，若，求点的坐标；
(3)点是抛物线上任意一点，若以、、为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出点的坐标．
题型二：二倍角关系问题
对于平面直角坐标系中的二倍角问题，往往将其转化成等角问题。对于等角问题，往往有以下解决路径：
等角的构造方法
（1）将等角转化在一个三角形中，利用等腰三角形两边相等，借助距离公式解决；
（2）用等角的三角比相等，构造直角三角形，寻找比例关系；；
（3）利用角的和差关系，寻找等角，而等角存在两个相似三角形中，往往是子母三角形，利用比例线段构建数量关系；
（4）利用角平分线的相关性质定理。
二倍角的构造方法
如图，已知，我们可以利用等腰三角形和外角定理去构造，在BC边上找一点D，使得BD=AD，则.
这样我们就构造出了二倍角，接下来利用三角函数（一般用正切）计算就可以了
1．（2024·陕西西安·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于，两点，点的坐标是，点的坐标是，与轴交于点，是抛物线上一动点，且位于第二象限，过点作轴，垂足为，线段与直线相交于点

(1)求该抛物线的解析式；
(2)连接，是否存在点，使得？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2024·河南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A，B两点，点A的坐标是，点B的坐标是，与y轴交于点C，P是抛物线上一动点，且位于第二象限，过点P作轴，垂足为D，线段与直线相交于点E．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)连接，是否存在点P，使得？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2023·江苏无锡·中考真题）已知二次函数的图像与轴交于点，且经过点和点．
(1)请直接写出，的值；
(2)直线交轴于点，点是二次函数图像上位于直线下方的动点，过点作直线的垂线，垂足为．
①求的最大值；
②若中有一个内角是的两倍，求点的横坐标．
4．（2024·西藏·二模）已知抛物线与x轴交于点和点B，对称轴为直线，抛物线与y轴交于C点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图（甲），P是抛物线第一象限内的任一点，过点P作轴于D，直线与交于点E，当是以为底的等腰三角形时，求P点的坐标；
(3)如图（乙），若点M是抛物线上任意一点，且满足，求M的坐标．
题型三：两角和与差问题
1．（2024·山西临汾·一模）综合与探究
如图，抛物线的图像与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点，作直线．
(1)求抛物线表达式及所在直线的函数表达式；
(2)若点P是第一象限内抛物线上的一个动点，连接，求面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)若点M是抛物线上的点，且，请直接写出点M的坐标．
2．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图，平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点；
(1)如图1，求的长度．
(2)如图2，点为第一象限抛物线上一点，连接，取上一点，以为底向下作等腰，设点横坐标为，试用含的代数式表示的值为______（直接填空）．
(3)如图3，在（2）的条件下，点为第一象限抛物线上一点，连接交于点，连接、且，连接并延长与交于点，当时，求点横坐标．
3．（2024·江苏扬州·一模）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知抛物线的顶点坐标为，与x轴分别交于点A，B．连接，点D是线段上方抛物线上的一动点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，在点D运动过程中，连接，求面积的最大值；
(3)如图2，在点D运动过程中，连接交于点E，点F在线段上，连接，若，求点F横坐标的最大值．
4．（2024·山东泰安·一模）如图，抛物线的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，作直线．
(1)求抛物线表达式及所在直线的函数表达式；
(2)若点是抛物线上在第三象限的一个点，且，求出点的坐标；
(3)若点是抛物线上的一个动点，连接，，当面积是面积的一半时，请直接写出点的横坐标．
5．（2022·湖北黄石·中考真题）如图，抛物线与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m．
(1)A，B，C三点的坐标为____________，____________，____________；
(2)连接，交线段于点D，
①当与x轴平行时，求的值；
②当与x轴不平行时，求的最大值；
(3)连接，是否存在点P，使得，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由．
6．（2023·辽宁营口·中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，过点作直线轴，过点作，交直线于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点为第三象限内抛物线上的点，连接和交于点，当时．求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，连接，在直线上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
7．（2023·湖北黄石·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．

(1)求此抛物线的解析式；
(2)已知抛物线上有一点，其中，若，求的值；
(3)若点D，E分别是线段，上的动点，且，求的最小值．
8．（23-24九年级下·重庆北碚·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，点是抛物线上一点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接，点P是直线上方抛物线上一点，过点P作交直线于点D，求的最大值及此时点P的坐标；
(3)连接，过点A作，交于点F，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点Q为新抛物线上一点，直线与射线交于点G，连接．当时，直接写出所有符合条件的点Q的横坐标．
9．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，交轴于点．

(1)______________；
(2)如图1，点在第二象限的抛物线上，连接交轴于点，设点的横坐标为，线段的长为，请直接写出与的函数解析式；
(3)如图2，在（2）的条件下，点在第四象限的抛物线上，点在第一象限的抛物线上，连接交轴于点，若
，求点的坐标并直接写出直线的解析式．
10．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）如图，抛物线分别交轴于点和（在左侧），交轴于点，直线交轴于点，交轴于点，连接，的面积是．
(1)如图1，求的值；
(2)如图2，点为第一象限抛物线上一点，点的横坐标为，连接和，的面积为，求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)如图3，在（2）的条件下，，直线和直线相交于点，为延长线上一点，连接，，点为上一点，连接，交轴于点，，且，在轴负半轴上一点，使，若求点的坐标．
题型四：特殊角问题
1．（2024·安徽芜湖·二模）如图1，抛物线与轴交于点和点（点在原点的左侧，点在原点的右侧），且．在轴上有一动点，过点作直线轴，交抛物线于点．
(1)求点的坐标及抛物线的解析式；
(2)如图2，连接，若，求此时点的坐标；
(3)如图3，连接并延长交轴于点，连接，记的面积为的面积为，若，求此时点的坐标．
2．（2024·广东东莞·一模）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，连接，．

(1)求的面积；
(2)点为轴上一点，是否存在点，使得与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)点为抛物线上一点（点与点不重合），且使得中有一个角是，请直接写出点的坐标．
3．（2024·福建泉州·一模）已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点，顶点D的坐标是．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)经过的直线轴，过点B作于点H．
①求证：A，D，H三点共线；
②M是抛物线上一点，且，求点M的坐标．
4．（2024·广东汕头·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于，B两点，与y轴交于，直线l与y轴交于点D．
(1)求抛物线的函数表达式：
(2)设直线l与抛物线的对称轴的交点为F，若，求直线l的解析式：
(3)若在x轴上存在一点P，使，且，直接写出k的值．
5．（2024·河北邯郸·一模）【建立模型】（1）如图1，点B是线段上的一点，，，，垂足分别为C，B，D，．求证：；
【类比迁移】（2）如图2，一次函数的图象与y轴交于点A、与x轴交于点B，将线段绕点B逆时针旋转得到、直线交x轴于点D．
①点C的坐标为______；
②求直线的解析式；
【拓展延伸】（3）如图3，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，已知点，连接，抛物线上是否存在点M，使得，若存在，直接写出点M的横坐标．
6．（2024·安徽滁州·一模）已知抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点C．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)如图1，已知点P是位于上方的抛物线上的一点，作，垂足为M，求线段长度的最大值；
(3)如图2，已知点Q是第四象限抛物线上一点，，求点Q的坐标．
7．（2023·四川自贡·中考真题）如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．

(1)求抛物线解析式及，两点坐标；
(2)以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标；
(3)该抛物线对称轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
8．（2024·山西大同·一模）综合与探究
如图，抛物线与x轴交于点A和B，点A在点B的左侧，交y轴于点C，作直线．
(1)求点B的坐标及直线的表达式；
(2)当点D在直线下方的抛物线上运动时，连接交于点E，若，求点D的坐标；
(3)抛物线上是否存在点F．使得?若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
9．（2024·山东济南·一模）如图，抛物线（）与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点，过点B作直线轴，过点D作，交直线l于点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为第四象限内抛物线上的点，直线与交于点Q，当时，求点P的坐标；
(3)坐标轴上是否存在点F，使得，若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
10．（2024·山东济南·一模）如图，二次函数 . 的图象与x轴交于A、B两点（点A 在点B的左侧），与y轴交于点 C，顶点为D，其对称轴与线段交于点 E，与x轴交于点 F． 连接．

(1)若 ， 求B 点和C 点坐标；
(2)若 求m的值；
(3)若在第一象限内二次函数 的图象上，始终存在一点P，使得 请结合函数的图象，直接写出m的范围．
11．（2024·山东枣庄·一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，B（点A在B左边），交y轴于C，点是抛物线上一点．
(1)求抛物线的关系式；
(2)在对称轴上找一点M，使的值最小，求点M的坐标；
(3)如图2，抛物线上是否存在点Q，使？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
12．（2024·黑龙江大庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，B与y轴交于点，对称轴为，点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为m，，连接．

(1)求此抛物线的解析式；
(2)当时，求m的值，并直接写出的面积；
(3)设此抛物线在点C与点P之间部分（包括点C和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为，在点C与点Q之间部分（包括点C和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差为．当时，直接写出m的值．
13．（2023·湖南郴州·中考真题）已知抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点是抛物线的对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求的值；
(3)如图2，取线段的中点，在抛物线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
14．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图，抛物线交x轴正半轴于点A，过顶点作轴于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若时，则函数的取值范围是______；
(3)点为右侧第一象限抛物线上一点，过点作轴于点，点为轴正半轴上一点，连接，，延长线交轴于点B，点在轴负半轴上，连接、，若，求直线的解析式．
15．（2024·广东广州·一模）已知二次函数图象与x轴交于点A和点，与y轴交于点．
(1)求点A的坐标；
(2)若点D是直线上方的抛物线上的一点，过点D作轴交射线于点E，过点D作于点F，求的最大值及此时点D坐标；
(3)在（2）的条件下，若点P，Q为x轴下方的抛物线上的两个动点，并且这两个点满足，试求点D到直线的最大距离．
16．（2024·重庆南岸·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线交轴于点，，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，若点M是第四象限内抛物线上一点，轴交于点N，求的最大值；
(3)如图2，在轴上取一点，抛物线沿方向平移个单位得新抛物线，新抛物线与轴交于点，，交轴于点，点在线段上运动，线段关于线段的对称线段所在直线交新抛物线于点，直线与直线所成夹角为，直接写出点的横坐标．