广西贵港市港南区2025年中考一模数学试卷（解析版）

这是一份广西贵港市港南区2025年中考一模数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若某件商品销售“盈利14元”记作元，则元表示（ ）
A. 亏损6元B. 亏损20元
C. 盈利6元D. 盈利8元
【答案】A
【解析】若某件商品销售“盈利14元”记作元，则元表示亏损6元，
故选：A．
2. 将数据37000用科学记数法表示为3.7×10n，则n的值为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】37 000=，所以n的值为4．
故选B．
3. 已知点在反比例函数的图象上，则k的值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】点在反比例函数的图象上，
，
故选：A．
4. 下列式子运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A、与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意．
故选：D．
5. 如图，直线和相交于点，，若，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，∴，
∵，，
∴，
故选：B．
6. 若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是，
故选：D．
7. 如图，，为的两条弦，连接，，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据题意，圆周角和圆心角同对着，，
，．
故选：C．
8. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
【答案】A
【解析】△，
方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
9. 点关于轴对称点的坐标为，则点的坐标为：（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】关于轴对称点的坐标为，则点的坐标为：．
故选B．
10. 观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（ ）
A. 角平分线B. 高线C. 中位线D. 中线
【答案】B
【解析】由作图可得：，∴线段一定是的高线；
故选B
11. 在地震救援时，某镇部分村庄需8组战士步行运送物资，要求每组分配的人数相同．若按每组人数比预定人数多分配1人，则总数会超过100人；若按每组人数比预定人数少分配1人，则总数不足90人，设预定每组分配的人数是x，则x应满足的不等式组是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设预定每组分配的人数是x，
由“按每组人数比预定人数多分配1人，则总数会超过100人”可得，
由“按每组人数比预定人数少分配1人，则总数不足90人”可得，
因此x应满足的不等式组是．
故选C．
12. 分别以等边的三个顶点为圆心，边长为半径画弧得到的曲边三角形叫莱洛三角形．如图，等边的边长为2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】过A作于D，
，，
，
，，
的面积为，
∴，，
故选：A．
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分．
13. 若分式的值为，则的值为______．
【答案】
【解析】若分式的值为，
则，且，
解得：，
故答案为：．
14. 已知，利用等式性质可求得的值是______．
【答案】2
【解析】5a+8b＝3b+10，
5a+8b﹣3b＝3b﹣3b+10，
5a+5b＝10，
5（a+b）＝10，
a+b＝2．
故答案为：2．
15. 如图是跷跷板示意图，支柱经过的中点，与地面垂直于点，，当跷跷板的一端着地时，另一端离地面的高度为______．
【答案】60
【解析】如图，过作垂直于地面，
∵O是的中点，垂直于地面，垂直于地面，
∴，，∴，
∴，∴，
∴另一端B离地面的高度为，
故答案为：60．
16. 一副三角板如图放置，将三角板ADE绕点A逆时针旋转，使得三角板ADE的一边所在的直线与BC垂直，则的度数为______.
【答案】15°或60°
【解析】①如下图，当DE⊥BC时，
如下图，∠CFD＝60°，
旋转角为：＝∠CAD＝60°-45°＝15°；
（2）当AD⊥BC时，如下图，
旋转角为：＝∠CAD＝90°-30°＝60°；
三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 小明以如图的方式叠纸杯时发现：叠在一起的纸杯的高度（）与纸杯的个数（个）之间是一次函数关系，有关数据如下表．
（1）求与之间的函数表达式．
（2）小明把杯子叠成如图的一摞，放入高的柜子里（如图）．请帮小明算一算，一摞最多能叠几个杯子，可以竖着一次性放进柜子里？
解：（1）由表格可知，每增加一个纸杯，高度增加，
∴，
即；
（2）当时，，
解得，
∵为整数，
∴的最大值为，
∴一摞最多能叠个杯子，可以竖着一次性放进柜子里．
18. （1）计算：
（2）先化简，再求值：，其中
解：（1）原式；
（2）原式，
当时，原式．
19. 人工智能是当前科技领域的热门话题，具有广泛的应用和巨大的发展潜力．某学校为了解该校学生对人工智能的关注与了解程度，对全校学生进行问卷测试，得分采用百分制，得分越高，则对人工智能的关注与了解程度就越高．现分别从八、九年级学生中随机抽取20名学生的测试得分进行整理和分析（得分用表示，且得分为整数，共分为5组．A组：，B组：，C组：，D组：，E组：），下面给出了部分信息：
八年级被抽取的学生测试得分的所有数据为：
九年级被抽取的学生测试得分中组包含的所有数据为：
八年级、九年级被抽取的学生测试得分统计表

根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中：____________，____________，____________；
（2）根据以上数据，你认为该校八年级、九年级哪个年级的学生对人工智能的关注与了解程度更高?请说明理由（一条理由即可）
（3）在八年级抽取的学生测试成绩得分90及以上的4人中，分别为2名男同学与2名女同学，现从这4名同学中随机选出2名同学参加比赛，请用列表或树状图的方法，求所选2名学生中恰好是1名男同学与1名女同学的概率．
解：（1）八年级被抽取的学生测试得分的所有数据中，84出现5次是出现次数最多的数据，
；
九年级被抽取的学生测试得分组有：（个），组有：（个），组有：（个），
九年级被抽取的学生测试得分的中位数是组的第1、2个的平均数，
组数据从小到大排序后为：
．
九年级被抽取的学生测试得分的中位数是组共有8个数据，
．
故答案为：84，，40；
（2）九年级更高．理由如下：
因为八，九年级成绩的平均数相同，但九年级成绩的中位数大于八年级成绩的中位数，且九年级成绩的众数大于八年级成绩的众数，，
所以九年级的学生对事件的关注与了解程度更高；
（3）画树状图如图：

共有12个等可能结果，所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的结果有8个，
∴所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率为．
20. 某班的同学想测量教学楼的高度，如图，点、、、在同一平面内，大楼前有一段斜坡，已知的长为8米，它的坡度（坡度=垂直高度：水平宽度），在离点30米的处，测得教学楼顶端的仰角为．
（1）求点到的水平距离．
（2）教学楼的高度约为多少米．（结果精确到米）（参考数据：，，，）
解：（1）如图，过B作于E，
∵坡度，
∴设米，则米，
由勾股定理得米，
∵米，
∴，
∴，
∴米；
答：点到的水平距离为米．
（2）由（1）知，米，
在中，，
∴米，
∴（米）．
答：教学楼的高度约为米．
21. 如图，已知的对角线与交于点E，以为直径作，与边交于点F， 点E在上，
（1）求证： 四边形是菱形；
（2）若点G为的中点，连接， 求证：是的切线；
（3）在（2）的条件下，若，求的长．
（1）证明：∵为的直径，
∴
∵四边形是平行四边形，
∴平行四边形是菱形；
（2）证明：如图，连接
∵四边形是菱形
∴，
∴
∴
∴，
∵点G为的中点，
∴，
∵，且点O是直径的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
又是的半径
∴是的切线；
（3）解：∵四边形是菱形，
∴， ，，
中，由勾股定理得，，
∵，∴，
∵，∴，
∴，解得，
∵，且，∴．
22. 中新社上海3月21日电（记者缪璐）21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人10米跳台决赛中，陈芋汐以416.25分的总分夺得冠军，全红婵位列第二，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的270C（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系．如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）近似满足函数关系式．
（1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离与竖直高度的几组数据如下：
根据上述数据，直接写出值为________，直接写出满足的函数关系式：________；
（2）比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，记她训练的入水点的水平距离为，比赛当天入水点的水平距离为，请通过计算比较与的大小；
（3）在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点开始计时，若点到水平面的距离为，则她到水面的距离与时间之间近似满足，如果全红婵在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完成极具难度的270C动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？
解：（1）根据表格得：函数图象过点，
∴，∴，
∴，解得：，
∴；
故答案为：；
（2）对于，
当时，，
解得：，（不合题意，舍去），
∴米，
对于，
当时，，
解得：，（不合题意，舍去），
∴，
∵，∴；
（3），
∴点坐标为，∴，∴，
当时，，
∵，
即她在水面上无法完成此动作，
∴她当天的比赛不能成功完成此动作.
23. 【问题情境】数学课上，王老师出示了这样一个问题：如图1，在矩形中，，是延长线上一点，且，连接，交于点，以为一边在的左下方作正方形，连接．试判断线段与的位置关系．
【探究展示】小明发现，垂直平分，并展示了如下的证明方法：
证明：∵，∴．
∵，∴．
∵四边形是矩形，∴．
∴ ．（平行线分线段成比例）
∵，∴．∴．
即是边上的中线，
又∵，
∴ ．（等腰三角形的“三线合一”）
∴垂直平分．
【反思交流】
（1）请将上述证明过程补充完整；
（2）小颖受到小明的启发，继续进行探究，如图2，连接，以为一边在的左下方作正方形，发现点在线段的垂直平分线上，请你给出证明；
（3）【拓展应用】如图3，连接，以为一边在的右上方作正方形，分别以点，为圆心，为半径作弧，两弧交于点，连接．若，请直接写出的值．
（1）解：；
（2）证明：过点G作于点H，
∵四边形ABCD是矩形，点E在AB的延长线上，
∴，
∴，
∵四边形CEFG为正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴GH垂直平分BC，
∴点G在BC的垂直平分线上，
（3）解：过点F作FP⊥BC于点P，过点E作EN⊥FP于点N，
∴∠BPN＝∠ENP＝∠ENF＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，点E在AB的延长线上，
∴∠CBE＝∠ABC＝90°，
∴四边形BENP为矩形，
∴BP＝EN，∠BEN＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∵四边形CEFG为正方形，
∴EF＝EC，∠CEF＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
∴∠1＝∠3，
∵∠CBE＝∠ENF＝90°，
∴△ENF≌△EBC，
∴NE＝BE，
∴BP＝BE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，
∵AD＝2AB，AB＝BE，
∴BC＝2BP，
∴BP＝PC，
∴FP垂直平分BC，
∴点F在BC边的垂直平分线上，
由题意可知，点M在线段BC的垂直平分线FP上，
∵，
∴如图在直线FP上截取，连接，，则 或 ，
∵四边形BENP为矩形，BP＝BE，
∴四边形BENP为正方形，
∴，
在中，，
∴，
∴在中，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
或在中，，
故m的值为或．纸杯个数（个）
纸杯高度（）
平均数
众数
中位数
八年级
79
a
84
九年级
79
88
b
水平距离
0
3
3.5
4
4.5
竖直高度
10
10
10
6.25