广东省2025年第一次普通高中学业水平合格性考试仿真模拟卷01数学（解析版）

这是一份广东省2025年第一次普通高中学业水平合格性考试仿真模拟卷01数学（解析版），共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．集合的真子集的个数是（ ）
A．64B．63C．32D．31
【答案】D
【解析】由，解得，
即，
所以集合的真子集有个.
故选：D.
2．已知实数，满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【解析】由，得，
设，，则，
，
当且仅当，即，，时取等号.
故选：C.
3．把函数图象上所有的点向右平移个单位长度，可以得到函数y＝（ ）的图象
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以把图象上所有的点向右平移个单位长度即可得到函数的图象，故选：D.
4．已知直线a、b与平面、，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
【答案】C
【解析】A选项，缺条件，结论不成立；
B选项，直线与直线可能平行可能异面，结论不成立；
C选项，由直线与平面垂直的定义可知，结论正确
D选项，直线可能与平行，可能在内，也可能与相交，不一定满足垂直，结论不成立.
故选：C.
5．已知一组数据为：，，，，，，，，，，则这组数据（ ）
A．中位数为B．众数为
C．百分位数为3D．平均数为
【答案】C
【解析】将数据从小到大排列为：，，，，，，，，，，共个数，
中位数为，A选项错误，
出现最多的是和，均出现次，故众数为2和3，B选项错误，
，故分位数为，C选项正确，
平均数为，D选项错误；
故选：C.
6．已知函数，若，实数（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【解析】，，解得.
故选：D.
7．直线与函数的图象的交点个数是（ ）
A．B．C．D．无数个
【答案】A
【分析】利用余弦函数的有界性可得结论.
【解析】因为，故直线与函数的图象没有公共点，
故选：A.
8．设平面向量，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，，得，所以.
故选：B.
9．若从1至9的9个整数中随机取2个不同的数，则这2个数的和是3的倍数的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】从1至9的9个整数中随机取2个不同的数，基本事件总数，
这2个数的和为3的倍数包含的基本事件为，，，，，，，，，，，，
共12个，即，
则这2个数的和是3的倍数的概率是.
故选：C.
10．若，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】，即，
，即，
，即，
又，所以，即，
所以.
故选：D.
11．柜子里有3双不同的鞋，从中随机地取出2只，记事件“取出的鞋不成双”，事件“取出的鞋都是一只脚的”，事件“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”.则有（ ）
A．B．与相互独立
C．D．A与互斥
【答案】C
【解析】记三双不同的鞋为：白1，白2，红1，红2，黑1，黑2，
从中随机取出2只共有：
白1白2，白1红1，白1红2，白1黑1，白1黑2，白2红1，白2红2，白2黑1，白2黑2，红1红2，红1黑1，红1黑2，红2黑1，红2黑2，黑1黑2，共15种情况，
事件包含：白1红1，白1红2，白1黑1，白1黑2，白2红1，白2红2，白2黑1，白2黑2，红1黑1，红1黑2，红2黑1，红2黑2，12个基本事假，
事件包含：白1红1，白1黑1，白2红2，白2黑2，红1黑1，红2黑2，6个基本事件，
事件包含：白1红2，白1黑2，白2红1，白2黑1，红1黑2，红2黑1， 6个基本事件，
事件包含：0个基本事件，
显然：，A错误；
，，，，B错误；
对于C：由列举可知，所以，正确；
对于D，由列举可知A与不互斥，故错误.
故选：C.
12．已知函数（其中，为常数，且），若的图象如图所示，则函数的图象是（ ）
B．
C．D．
【答案】A
【解析】由图可得，
则有，且该函数为单调递减函数，
故B、C、D错误，A正确.
故选：A.
二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分.
13．已知复数满足，则 .
【答案】
【解析】由题意：.
所以.
14．已知是定义域为的奇函数，且当时，，则 .
【答案】
【解析】由是定义域为的奇函数，所以，得，
，所以.
15．长方体的所有顶点都在一个球面上，长、宽、高分别为2，1，1，那么这个球的表面积是 ．
【答案】
【解析】由题意，长方体的对角线的长度即外接球的直径，为，
故这个球的表面积是.
16．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴非负半轴重合，且终边经过点，则 ．
【答案】
【解析】根据正切函数的定义知：.
17．已知函数是偶函数，其定义域为，则 .
【答案】
【解析】因为函数是定义域为的偶函数，
所以①，
且，即，解得,
代入①，可得，
所以.
故答案为:.
18．有一批产品，其中一等品10件，二等品25件，次品5件，现用按比例分层随机抽样的方法从这批产品中抽出16件进行质量分析，则抽取的一等品有 件.
【答案】
【解析】抽取的一等品的件数为.
三、解答题：本大题共4小题，第19~21题各10分，第22题12分，共42分.解答需写出文字说明，证明过程和演算步骤.
19．在中，角，，的对应边分别为a，b，c，，且.
(1)求边的长；
(2)求角大小及的面积.
解：（1）由正弦定理，得.
（2）由余弦定理，所以，
.
20．有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4
乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
设甲、乙两名运动员射击平均环数分别记为和，方差分别记为和.
(1)求，，，；
(2)如果你是教练，你如何对这次射击情况作出评价？如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？
解：（1），
，
，
.
（2）由（1）知，甲乙射击的平均成绩一样，但乙比甲射击的成绩更稳定，所以选择乙.
21．某手作特产店拟举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量万份与年促销投入费用万元满足（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知店内生产该产品的固定投入（设备等）为8万元，每生产一万件该产品需要再投入4万元，店家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（每件产品年平均成本按元来计算），按需生产，生产出的产品恰好被全部售出.
(1)将该产品的年利润万元表示为年促销费用万元的函数；
(2)该店家的促销投入费用为多少万元时，利润最大？最大利润是多少？
解：（1）由已知得，当时，，则，得，故.
故每件产品的销售价格为，
故利润.
（2）因为当时，，
所以，
当且仅当，即时等号成立.
即促销投入费用为1万元时，店家获得最大利润9万元.
22．如图，四棱锥中，底面是边长为1的正方形，分别为，的中点，侧面底面，且.
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积.
（1）证明：连接，则是的中点.
因为为的中点，
所以在中，，
又因为且平面，平面，
所以平面.
（2）取的中点，连接，则，
∵，∴，
又平面平面，平面平面，平面，
∴平面.
在中，，
∴.