山东省济南市槐荫区2025年九年级中考一模数学试题（解析版）

这是一份山东省济南市槐荫区2025年九年级中考一模数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列各数中，与互为相反数的是（ ）
A. B. C. D. 20
【答案】A
【解析】A．的相反数是，故此项符合题意；
B．的相反数是，故此项不符合题意；
C． 的相反数是，故此项不符合题意；
D．的相反数是，故此项不符合题意．
故选：A．
2. 未来将是一个可以预见时代．一般指人工智能，它是一门研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的新的技术科学．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A，不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；
B，是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
C，不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意；
D，是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
故选D．
3. 在2024年11月12日珠海航展开幕当天，歼战机亮相进行了飞行表演．歼作为中国自主研发的第五代隐形战斗机，其技术性能和作战能力备受瞩目．它是中国专门为搭载新型航母研发设计的重型舰载战机，其作战半径能达到1350000米，可以实现滑跃起飞和弹射起飞的不同版本打造．数据1350000用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】数据1350000用科学记数法表示为，
故选：．
4. 如图，直线，若，那么的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图：
，，
，，
故选：B．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A、，该选项计算错误；
B、，该选项计算错误；
C、，该选项计算错误；
D、，该选项计算正确；
故选：D
6. 计算的结果是（ ）
A. B. C. 2D. 4
【答案】B
【解析】．
故选：B．
7. 中国古代数学在世界数学史上占有重要地位，其成就辉煌，影响深远．《九章算术》、《周髀算经》、《海岛算经》、《孙子算经》是我国古代数学的重要名著．实验中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《周髀算经》的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】《九章算术》、《周髀算经》、《海岛算经》、《孙子算经》分别用表示，
∴用列表法把所有等可能结果表示出来如下，
共有中等可能结果，其中恰好选中《周髀算经》的结果有种，
∴恰好选中《周髀算经》的概率为，
故选：A ．
8. 将4个数a、b、c、d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义＝ad﹣bc．则方程＝﹣8的根的情况为（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 只有一个实数根
【答案】A
【解析】方程＝﹣8，，即，
，方程＝﹣8有两个不相等的实数根，
故选：A．
9. 如图，矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交，于点M，N，则的长（ ）
A. B. C. D. 8
【答案】B
【解析】∵矩形中，，
∴，，，
∴，
由作图过程知平分，则，
∵，
∴，又，
∴，
∴，则，
∵，∴，
∴，即，∴，
在中，，
故选：B．
10. 如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图像如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：
①AD=BE=5；②；
③当0＜t≤5时，；④当秒时，△ABE∽△QBP；
其中正确的结论是（ ）
A. ①②③B. ②③C. ①③④D. ②④
【答案】C
【解析】根据图（2）可得，当点P到达点E时点Q到达点C，
∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒，
∴BC=BE=5，
∴AD=BE=5，故①小题正确；
又∵从M到N的变化是2，
∴ED=2，
∴AE=AD-ED=5-2=3，
在Rt△ABE中，AB=，
∴cs∠ABE=，故②小题错误；
过点P作PF⊥BC于点F，
∵AD∥BC，∴∠AEB=∠PBF，
∴sin∠PBF=sin∠AEB=，∴PF=PBsin∠PBF=t，
∴当0＜t≤5时，y=BQ•PF=t•t=t2，故③小题正确；
当秒时，点P在CD上，此时，PD=-BE-ED=-5-2=，
PQ=CD-PD=4-=，
∵，，∴，
又∵∠A=∠Q=90°，∴△ABE∽△QBP，故④小题正确．
综上所述，正确的有①③④．
故选：C．
第Ⅱ卷（非选择题共110分）
二、填空题（本大题共5个小题．每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的横线上．）
11. 分解因式：________．
【答案】
【解析】原式；
故答案为：．
12. 《易经》：“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦”．太极图是关于太极思想的图示，里面包含表示一阴一阳的图形，在不考虑颜色的情况下，它是一个中心对称图形．如图，在太极图的大圆形内部随机取一点，则此点取自太极图中黑色部分的概率是______．
【答案】
【解析】∵太极图是中心对称图形，
∴黑色部分与白色部分面积相等，即黑色阴影区域占圆的面积的一半，
∴在太极图中随机取一点，此点取自黑色部分的概率是，
故答案为：.
13. 如图，正五边形内接于半径为3，则阴影部分的面积为______.
【答案】
【解析】正五边形内接于半径为3的，
，
，
故答案为：．
14. 某校科技节上，同学们在操场进行无人机表演，其中甲、乙两架无人机离操场地面的高度（单位：米）与表演时间（单位：秒）的图象如图所示．已知表演开始时甲、乙离地的高度分别是5米、15米，在1分钟的表演过程中甲、乙两架无人机的高度差不超过5米的时间可持续_________秒．

【答案】20
【解析】设甲、乙架无人机所在的位置距离地面的高度y与无人机上升的时间x之间的关系式分别为，
根据图象，将点代入，
可得，解得，；
将点代入，
可得，解得，；
当时，，即，解得：；
当时，，即，解得：；
秒
∴在1分钟的表演过程中甲、乙两架无人机的高度差不超过5米的时间可持续20秒，
故答案为：20．
15. 如图，在正方形中，，点E、F分别在边、上，且，将线段绕点F顺时针旋转得到线段，连接，则线段的最小值为______．
【答案】
【解析】∵正方形，
∴，
以点为原点，所在直线为坐标轴构造平面直角坐标系，过点作，过点作，设，则：，四边形为矩形，
∴，，
∴，
∵旋转，
∴，
又∵
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴点，即：，
∴点在直线上运动，
设直线与轴交于点，与轴交于点，过点作直线，
当时，，当时，，
∴，，
∴，
∴，
∵直线，
∴，
∴，
∵点在直线上运动，
∴当点与点重合时，的值最小为．
三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 计算：．
解：.
17. 解不等式组，并求其整数解；
．
解：由，解得，
由，解得．
所以不等式组解集为，
其整数解为1，2，3．
18. 如图，在菱形中，E，F分别是边上的点，且，连接交于点G．求证：．
证明：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，，
∴，
∴．
19. 如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点到所在直线的距离，；停止位置示意图如图3，此时测得（点，，在同一直线上，且直线与平面平行，图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：，，，）
（1）求的长；
（2）求物体上升的高度（结果精确到）．
解：（1）由题意得，，
∵，，
∴在中，由，得，
∴,
答：；
（2）在中，由勾股定理得，，
在中，，
∴，∴，
由题意得，，
∴，
∴，
答：物体上升的高度约为．
20. 为激励青少年学生爱读书、读好书、善读书，切实增强历史自觉和文化自信，着力培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人．某校开展主题为“乐学悦读，打造未来之星”读书月活动，要求每人读2至5本名著，活动结束后随机抽查了若干名学生每人的读书量，并分为四种类型：A：2本，B：3本，C：4本，D：5本，将各类的人数绘制成如下的扇形统计图和条形统计图（不完整）．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次抽查学生________人，________．将条形统计图补全；
（2）本次抽取学生的读书量的众数是________本，中位数是________本；
（3）学校拟将读书量不低于4本的学生评为“最佳悦读之星”予以表扬，已知该校有2000名学生，请估计该校此次受表扬的学生人数．
解：（1）本次抽查学生人数：(人) ．
因为，所以．
组的学生人数：(人)，
补全条形统计图如下：
（2）这组数据中出现次数最多的数据是，所以众数是本；
将这组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的两个数据是，所以中位数是本．
故答案为：，；
（3）(人)，
答：该校有2000名学生中此次受表扬的学生人数大约有人．
21. 如图，在中，，点是上一点，以为直径的交于点，连接，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，⊙的半径为4，求的长．
（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：．
22. 第九届亚洲冬季运动会于年2月7日于哈尔滨开幕，吉祥物“滨滨”和“妮妮”毛绒玩具在市场出现热销，已知购进“滨滨”比“妮妮”每个便宜元，某商场用元购进“滨滨”的数量是用元购进“妮妮”数量的倍．
（1）求购进一个“滨滨”和一个“妮妮”各需多少元？
（2）为满足顾客需求，商场从厂家一次性购进“滨滨”和“妮妮”共个，要求购进的总费用不超过元，出售时，“滨滨”单价为元，“妮妮”单价为元，当购进“妮妮”多少个时，商场获得的利润最大？最大利润为多少元？
解：（1）设购买一个“滨滨”需要x元，则购买一个“妮妮”需要元，
根据题意得：，
，
，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴（元）．
答：购买一个“滨滨”需要元，一个“妮妮”需要元；
（2）设购买个“妮妮”，则购买个“滨滨”，
根据题意得：，
解得：，
设全部售出后获得的总利润为w元，
，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当时，w取得最大值，最大值为（元）．
答：当购进个“妮妮”时，所获利润最大，最大利润是元．
23. 如图，直线：与反比例函数交于点，，连接，．
（1）求反比例函数及直线的表达式；
（2）求的面积；
（3）在直线上是否存在一点，使得？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点的坐标．
解：（1）点在反比例函数上，
，
反比例函数的解析式为，
又点也在反比例函数上，，
点的坐标为，
把点、的坐标代入，
得到：，解得：，
一次函数的解析式为；
（2）当时，，解得：，
点的坐标为，
，
，
，
；
（3）如下图所示，直线与直线的交点为点，
当时，，
点的坐标为，
设点的坐标为，则，
，
，
，
又，
，
解：或，
点的坐标为或．
24. 在等边中，为中线，D是线段上的动点（不与点M、C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．
（1）如图1，当点A、C、E共线时，连接．
①求证：D是的中点；
②与的位置关系是______，AE与EM的数量关系是______；
（2）如图2，若在线段上存在点F（不与B、M重合）使得C、F两点关于点D中心对称，连接、，线段、存在怎样的关系，请说明理由．
（1）①证明：∵将线段绕点D顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，即D为中点．
②解：∵，，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵等边中，为中线，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过点E作平行线，交于点G，交于点H，
∴，
又∵，
∴为等边三角形，
∴，，
连接，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵为等边三角形，为中线，
∴，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵C，F两点关于D中心对称，
∴，
∴，即，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
即．
综上，，．
25. 如图1，抛物线经过点、，对称轴为直线，直线与x轴所夹锐角为，与y轴交于点E．
（1）求抛物线和直线的表达式；
（2）将抛物线沿二、四象限的角平分线平移，使得平移后的抛物线与直线恰好只有一个交点，求抛物线平移的距离；
（3）如图2，将抛物线沿直线翻折，得到新曲线，与y轴交于M、N两点，请直接写出点坐标．
解：（1）∵抛物线对称轴为直线，经过点，
∴抛物线 经过点，
设抛物线表达式为，
将，，代入表达式，，
∴抛物线为，
∵直线 与轴所夹锐角为，
，
，
设直线表达式为，把，代入，
得，解得，
直线：，
∴抛物线和直线的表达式分别为：和；
（2）①若抛物线向左上方平移，则抛物线与直线始终有两个交点，不合题意；
②若抛物线向右下方平移，
∵二四象限角平分线表达式：，
∴抛物线向右平移单位的同时向下平移单位，
∵原抛物线 为，
∴其顶点为，
∴平移后顶点为，
∴平移后抛物线表达式为，
令，
若平移后抛物线与直线只有一个交点，
则,，
平移的距离为；
（3）设，
则点关于的对称点为，
，
则的横坐标为：，
则的解析式为：，
因为该点在直线上，则；
将代入，
可得：，
解得：或（舍去）；
点坐标为：.