山东省郓城第一中学2024-2025学年高一下学期期中考试 数学模拟题(二)（含解析）

这是一份山东省郓城第一中学2024-2025学年高一下学期期中考试 数学模拟题(二)（含解析），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，在△OCB中，A是边BC的中点，D是边OB上靠近点O的三等分点，设OA=a，OB=b，则DC=( )
A. 2a−53b B. 2a+53b
C. 2a−43b D. −2a+43b
2.已知平面向量a，b是单位向量，且|a−b|=1，向量c满足|c−a−b|= 32，则|c|的最大值为( )
A. 2 3+1B. 3+1C. 2 3D. 3 32
3.已知平行四边形ABCD中，AB=1,2，C5,3，则点D的坐标为( )
A. 2,−1B. −4,−1C. 4,1D. 6,5
4.已知复数z满足z1+2i=4−3i(其中i为虚数单位)，则复数z的虚部为( )
A. −2B. −2iC. 1D. i
5.已知复数z=(3i−1)(1−i)i2019(i为虚数单位)，则下列说法正确的是( )
A. z的虚部为4B. 复数z在复平面内对应的点位于第三象限
C. z的共轭复数z−=4−2iD. |z|=2 5
6.如图所示，梯形A′B′C′D′是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，A′D′=2，A′B′=B′C′=1，则平面图形ABCD的面积为( )
A. 1B. 32C. 3 34D. 3
7.如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90∘，∠ADC=135∘，AB=5，CD=2 2，AD=2，则四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积为( )
(60+4 2)π B. (60+8 2)π
C. (56+8 2)π D. (56+4 2)π
8.如图，长方体ABCD−A1B1C1D1的棱所在直线与直线BA1为异面直线的条数是( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知A，B，C，D四点不共线，下列等式能判断ABCD为平行四边形的是( )
A. AB=DC
B. OB−OA=OC−OD(O为平面内任意一点)
C. AB+AD=AC
D. OA+OD=OB+OC(O为平面内任意一点)
10.下列命题中正确的是( )
A. 若z=1− 3i，则|z|=4
B. 若z=i+1，则z⋅z=−2
C. 已知m，n∈R，i是关于x的方程x2+mx+n=0的一个根，则m+n=1
D. 若复数z满足|z−1|=2，则|z+i|的最大值为2+ 2
11.如图所示，在正方体ABCD − A1B1C1D1 中，M，N分别为棱C1 D1 ，C1C的中点，其中正确的结论为( )
A. 直线AM与C1C是相交直线B. 直线AM与BN是平行直线
C. 直线BN与MB1是异面直线D. 直线MN与AC所成的角为60°
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，在四边形ABCD中，sin∠DAC=sinα=13，AB⊥AD，∠D=60°，AB=2，CD= 2 33，则BC= ．
13.已知z1，z2是复数，则下列正确结论的序号是 ．
①若|z1−z2|=0，则z1−=z2−；②若z1=z2−，则z1−=z2；
③若|z1|=|z2|，则z1⋅z1−=z2⋅z2−；④若|z1|=|z2|，则z12=z22．
14.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm，高为2cm，内孔半径为0.5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是 cm3．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)如图，在梯形ABCD中，AB/​/CD，AB=2CD，E，F分别为AB，CE的中点，G是线段BC上的动点．
(1)若CG=13CB，求证：A，F，G三点共线;
(2)若AD=CD=1，∠DAB=π3，求AG⋅EG的最小值．
16.(本小题15分)如图，在四边形ABCD中，已知∠ADC=75°，AD=5，AB=7，∠BDA=60°，∠BCD=135°．
(1)求BD的长；
(2)求CD的长．
17.(本小题15分)已知z是复数，z+2i与z2−i均为实数．
(1)求复数z；
(2)复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
(本小题17分)如图，正方体ABCD−A ′B ′C ′D ′的棱长为a，连接A ′C ′，A ′D，A ′B，BD，BC ′，C ′D，得到一个三棱锥．求：
(1)三棱锥A ′−BC ′D的表面积；
(2)三棱锥A ′−BC ′D的体积．
19.(本小题17分)
如图，在三棱柱A1B1C1−ABC中，E，F，G，H分别为BB1，CC1，A1B1，A1C1的中点．
(1)证明：E，F，G，H四点共面．
(2)证明：EG，FH，AA1三线共点．
高一下学期期中考试模拟题(二)
答题卡
一、选择题
二、填空题
12._______________ 13._______________ 14._______________
三、解答题(请在各试题的答题区内作答)
高一下学期期中考试模拟题(二)
答案和解析
1.【答案】C
【解析】由题意知AC=BA，OD=13OB，
于是OC=OA+AC=OA+BA=OA+(OA−OB)=2a−b，
DC=OC−OD=2a−b−13b=2a−43b．
故选：C．
2.【答案】D
【解析】因为|a−b|=1，所以|a−b|2=1，即a2−2a·b+b2=1，
又|a|=|b|=1，所以2a⋅b=1．
所以|a+b|= (a+b)2= a2+2a⋅b+b2= 3．
因为|c|=|c−a−b+a+b|，
所以|c|≤|c−a−b|+|a+b|= 32+ 3=3 32．
3.【答案】C
【解析】设点D的坐标为x,y，因为四边形ABCD为平行四边形，
所以AB=DC，即1,2=5−x,3−y，则5−x=13−y=2，解得x=4y=1，即D4,1．
故选：C．
4.【答案】A
【解析】∵z=4−3i1+2i，
∴z=4−3i1+2i= 42+−32×1−2i1+2i1−2i=51−2i5=1−2i，
∴复数z的虚部为−2．
故选：A．
5.【答案】D
【解析】∵z=(3i−1)(1−i)i2019=2+4ii4×504+3=2+4i−i=(2+4i)i−i2=−4+2i．
A：z的虚部为2，故A错误；
B：复数z在复平面内对应的点位于第二象限，故B错误；
C：z−=−4−2i，故C错误；
D：z= 22+−42=2 5，故D正确．
故选：D．
6.【答案】D
【解析】在梯形A′B′C′D′中，∠B ′A ′D ′=45∘，则该梯形的高为A′B′sin45∘= 22，
梯形A′B′C′D′的面积为S′=A′D′+B′C′2⋅ 22=3 24，
在斜二测画法中，原图形的面积是对应直观图面积的2 2，
所以平面图形ABCD的面积S=2 2S′=2 2×3 24=3．
故选：D．
7.【答案】A
【解析】四边形ABCD绕AD旋转一周所成的 几何体，如下图：
又AB=5，CE=2，AE=4，DE=2，CD=2 2,
所以，S表面积=S圆台下底面+S圆台侧面+S圆锥侧面
=π×52+π×(2+5)×5+π×2×2 2
=25π+35π+4 2π
=60π+4 2π.
故选A.
8.【答案】C
【解析】根据异面直线的概念可得，与直线BA1为异面直线的棱有：AD，B1C1，CD，C1D1，CC1，DD1，共6条．故选：C．
9.【答案】ABC
【解析】因为A，B，C，D四点不共线，
对于A：AB=DC，
所以AB//DC且AB=DC，
所以ABCD为平行四边形，故A正确；
对于B：因为OB−OA=OC−OD，
所以AB=DC，
所以AB//DC且AB=DC，
所以ABCD为平行四边形，故B正确；
对于C：因为AB+AD=AC，
即AB+AD=AB+BC，
所以AD=BC，
所以AD//BC且AD=BC，
所以ABCD为平行四边形，故C正确；
对于D：因为OA+OD=OB+OC，
所以OA−OB=OC−OD，
所以BA=DC，所以四边形ABDC为平行四边形，故D错误．
故选：ABC．
10.【答案】CD
【解析】A选项：若z=1− 3i，则z= 12+− 32=2，故 A错误；
B选项：若z=i+1，则z⋅z=(i+1)(−i+1)=1−i2=2，故 B错误；
C选项：因为i是关于x的方程x2+mx+n=0的一个根，则−i也是关于x的方程x2+mx+n=0的一个根，
所以i+(−i)=−mi⋅(−i)=n，解得m=0n=1,
则m+n=1，故 C正确；
D选项：设z=x+yi(x∈R,y∈R)，因为|z−1|=|x−1+yi|=2，
所以 (x−1)2+y2=2，即(x−1)+y2=4，其表示圆心为1,0，半径为2的圆．
而|z+i|=|x+(y+1)i|= x2+(y+1)2，其表示圆上的点到点0,−1的距离．
因为圆心1,0到点0,−1的距离为 (0−1)2+(−1−0)2= 2，
所以|z+i|的最大值为2+ 2，故 D正确．
故选：CD．
11.【答案】CD
【解析】∵CC1⊂平面CC1D1D，AM∩平面CC1D1D=M，M∉CC1，
∴直线AM与直线CC1异面，故A不正确，
同理可证：直线AM与直线BN异面，故B不正确；直线BN与直线MB1异面，故C正确，
利用平移法，可得直线MN与AC所成的角即为D1C和AC所成角，即为60°，故D正确，
故选CD．
12.【答案】3
【解析】在△ACD中，sin∠DAC=13，∠D=60°，CD=2 33，
可得ACsin60∘=CDsin∠DAC，
即有AC=CDsin60∘sin∠DAC=2 33× 3213=3，
在△ABC中，AC=3，AB=2，∠CAB=90°−∠DAC，
可得BC2=AC2+AB2−2AC⋅AB⋅cs∠CAB=32+22−2×3×2×13=9，
可得BC=3．
故答案为3．
13.【答案】①②③
【解析】设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i(其中a1，a2，b1，b2∈R)．
由|z1−z2|=0，可得：z1=z2，则z1−=z2−，故①正确；
若z1=z2−，则a1=a2，b1=−b2，则z1−=z2，故②正确；
若|z1|=|z2|，则a12+b12=a22+b22，
又z1⋅z1−=a12+b12，z2⋅z2−=a22+b22，可得：z1⋅z1−=z2⋅z2−，故③正确；
若|z1|=|z2|，令z1=1−i，z2=1+i，则z12=−2i，z22=2i，则z12≠z22，故④错误．
故答案为：①②③．
14.【答案】12 3−π2
【解析】六棱柱的体积为：6×12×2×2×sin60°×2=12 3，
圆柱的体积为：π×(0.5)2×2=π2，
所以此六角螺帽毛坯的体积是：(12 3−π2)cm3，
故答案为：12 3−π2．
15.【答案】解：(1)证明：由题意知AG=BG−BA=23BC−BA，
AF=BF−BA=12(BC+BE)−BA
=12BC+12BE−BA
=12BC+14BA−BA=12BC−34BA，
所以AG=43AF，
又AG与AF有共同起点A，
所以A，F，G三点共线;
(2)在梯形ABCD中，AB/​/CD，AB=2CD，AD=CD=1，∠DAB=π3，
易得BC=1，∠ABC=π3，设BG=λBC(0≤λ≤1)，
所以EG=BG−BE=λBC−12BA，
AG=BG−BA=λBC−BA，
所以EG⋅AG=(λBC−12BA)⋅(λBC−BA)
=λ2BC2−32λBA⋅BC+12BA2
=λ2−32λ+2=(λ−34)2+2316≥2316，
当且仅当λ=34时，等号成立，
所以AG⋅EG的最小值为2316．
【解析】本题考查了平面向量的运算、平面向量共线定理与三点共线问题和向量的数量积，属于中档题．
(1)由向量的运算、平面向量共线定理即可得证；
(2)设BG=λBC(0≤λ≤1)，由向量的运算和向量的数量积以及二次函数性质可得AG⋅EG的最小值．
16.【答案】解：(1)在▵ABD中，AD=5,AB=7,∠BDA=60∘，
由余弦定理可得AB2=AD2+BD2−2AD⋅BD⋅cs∠BDA,
即49=25+BD2−2×5⋅BD⋅cs 60∘，则BD2−5BD−24=0，
解得BD=8(BD=−3舍去)．
(2)在▵BCD中，∠BDC=∠ADC−∠BDA=75∘−60∘=15∘，
又∠BCD=135∘，则∠CBD=180∘−135∘−15∘=30∘．
由(1)得BD=8，由正弦定理得CDsin∠CBD=BDsin∠BCD，即CDsin30∘=8sin135∘，
解得CD=4 2．
【解析】本题考查了正、余弦定理和一元二次方程的解法等知识，属于基础题．
(1)△ABD中由余弦定理建立关于BD的等式，化简得关于BD的一元二次方程即可得到BD的长．
(2)△BCD中利用正弦定理，结合题中数据加以计算即可得到边CD的长．
17.【答案】解：(1)设z=x+yi(x,y∈R)，
则z+2i=x+(y+2)i为实数，
∴y=−2．
∵z2−i=x−2i2−i=(x−2i)(2+i)(2−i)(2+i)
=2x+2+(x−4)i5=2x+25+x−45i为实数，
∴x−45=0，解得x=4．
则z=4−2i；
(2)∵(z+ai)2=(4−2i+ai)2
=(12+4a−a2)+8(a−2)i，
其在复平面上对应的点在第一象限，
∴12+4a−a2>08(a−2)>0，
解得2