江苏省扬州市第一中学2023−2024学年高一下学期期中考试 数学试题（含解析）

这是一份江苏省扬州市第一中学2023−2024学年高一下学期期中考试 数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．在中，已知，则等于（ ）
A．B．C．D．
2．若，则（ ）
A．B．C．D．
3．复数，是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A．B．的共轭复数为
C．的实部与虚部之和为1D．在平面内的对应点位于第一象限
4．的值为（ ）
A．8B．C．4D．
5．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若的面积为S，，则外接圆的面积为（ ）
A．B．C．D．
6．已知梯形中，，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcsC－2ccsB＝a，且B＝2C，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰直角三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等边三角形
8．在菱形中，，，，，若，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．计算下列几个式子，结果为的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．向量与向量的夹角为D．在的投影向量是
11．中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形三边求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即．现有△满足，且，请判断下列命题正确的是（ ）
A．△周长为B．
C．△的外接圆半径为D．△中线的长为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知正方形的边长为3，为的中点，则 .
13．若，则 .
14．在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的最大值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知，，是同一平面内的三个向量，其中
(1)若，且，求的坐标；
(2)若，且，求与的夹角
16．m为何实数时，复数满足下列要求：
（1）是纯虚数；
（2）在复平面内对应的点在第二象限；
17．已知，.
(1)求的值；
(2)若，且，求的值.
18．已知向量，，.
(1)若时，求的值；
(2)若，求的值.
19．请欣赏：
上图所示的毕达格拉斯树画是由图（ⅰ）利用几何画板或者动态几何画板Gegebra做出来的图片，其中四边形，，都是正方形.如果改变图（ⅰ）中的大小，会得到更多不同的“树形”.
(1)在图（ⅰ）中，，，且，求；
(2)在图（ⅱ）中，，，设，求的最大值.
参考答案
1．【答案】D
【详解】因为，所以；
因为，所以.
故选：D.
2．【答案】A
【分析】利用二倍角余弦公式和差角余弦公式可得，求解即可.
【详解】由题
，
所以.
故选A.
3．【答案】D
【详解】，
所以：，A选项错误.
，B选项错误.
的实部与虚部之和为2，C选项错误.
对应点为，在第一象限,，D选项正确.
故选：D
4．【答案】C
【详解】.
故选：C.
5．【答案】D
【解析】由余弦定理及三角形面积公式得和，结合条件，可得，求得角，再由正弦定理即求得结果．
【详解】由余弦定理得，，
所以，
又，，
所以有，即，
又，所以，
由正弦定理得，，得.
所以外接圆的面积为．
故选：D．
6．【答案】D
【详解】因为，
所以
又，
所以.
故选：D.
7．【答案】B
【详解】∵2bcsC－2ccsB＝a，∴2sinBcsC－2sinCcsB＝sinA＝sin(B＋C)，即sinBcsC＝3csBsinC，∴tanB＝3tanC，
又B＝2C，∴＝3tanC，得tanC＝，C＝，B＝2C＝，A＝，
故△ABC为直角三角形．
故选B.
8．【答案】D
【详解】
作出图形，建立如图所示的平面直角坐标系，设，因为
因为，所以,即是的中点，
所以
所以，由题知.
故
故选：D
9．【答案】ABD
【详解】对于选项A，，
变形得，故A正确；
对于选项B，原式可化为，故B正确；
对于选项C，原式，故C错误；
对于选项D，原式＝＝tan 60°＝，故D正确；
故选：ABD.
10．【答案】AC
【详解】对于A选项，，则，故，A对；
对于B选项，，故，B错；
对于C选项，设向量、的夹角为，则，
因为，故，C对；
对于D选项，在方向上的投影向量为，D错.
故选：AC.
11．【答案】BC
【详解】由题设及正弦定理知：，令且，
，可得，
所以，则△周长为，A错误；
，又，则，B正确；
△的外接圆半径为，C正确；
如下图，过作，由题设知：，则，
又，可得，故，
所以，D错误.
故选：BC
12．【答案】
【详解】
又，
.
故答案为；.
13．【答案】
【详解】由可以得到，
所以，设，则
则，
所以.
故答案为.
14．【答案】
【详解】由正弦定理结合，得，
则，即，
故，则，故，解得.
由正弦定理，有，
故
，
设，且，则.
又，故，且，故.
故，即，
故，则的最大值为.
故答案为：.
15．【答案】(1)或
(2)
【详解】（1），，
，且，
，解得，
或；
（2），则，
，
，即，即，
，
，
，．
16．【答案】（1）；（2）.
【详解】解：
．
由z是纯虚数，可得，解得，
即时，z是纯虚数．
由，得，
即时，z在复平面内对应的点在第二象限．
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，，
所以，解得，
所以；
（2）因为，且，所以，所以.
所以，
又因为，，所以，所以.
18．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）时，，
因为，
所以，，
．
（2）因为，所以，
所以，，所以，所以，
所以.
所以，
.
19．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当时，得，
则，
在中，由余弦定理得，
，
得．
（2）在中，由余弦定理得，
，
所以，
在中，由正弦定理得，
，
得，
则，
在中，由余弦定理得，
，
因为，
所以当时，取得最大值，其最大值为：．