江苏省南京市第一中学2023-2024学年高二下学期2月考试数学试卷（解析）

这是一份江苏省南京市第一中学2023-2024学年高二下学期2月考试数学试卷（解析），共22页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每题只有一个选项符合题意.
1. 若直线与直线垂直，则实数（ ）
A. 0B. 1C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知条件，结合直线垂直的性质，即可求解．
【详解】直线与直线垂直，
则，解得．
故选：．
2. 已知成等差数列，成等比数列，则等于（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，由得出数列的公差，得到，利用等比中项公式和等比数列的性质，求得，代入即可求解.
【详解】因为成等差数列，所以公差，所以，
因为成等比数列，所以，
设该等比数列的公比为，可得，所以，
所以.
故选：C.
3. 已知过圆外一点作圆的两条切线，切点为两点，求所在的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据切线的特征可知所在的直线为圆和以的中点为圆心,以为直径的圆的公共弦所在的直线方程，
【详解】根据题意得所在的直线为圆和以的中点为圆心,以为直径的圆的公共弦所在的直线方程，
因为，所以圆，
两圆相减得所在的直线方程为.
故选：A.
4. 已知曲线C上任意一点P到定点的距离比点P到直线的距离小1，M，N是曲线C上不同的两点，若，则线段MN的中点Q到y轴的距离为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线的定义求出曲线的方程，再根据抛物线的性质计算可得；
【详解】解：依题意曲线上任意一点到定点的距离和点到直线的距离相等，
由抛物线的定义可知：曲线是以为焦点，为准线的抛物线，
所以曲线的方程为．分别设点M、N、Q到准线的距离分别为，，d，
则，所以中点Q到y轴的距离为3，
故选：A．
5. 如图所示的三角形图案是谢尔宾斯基三角形.已知第个图案中黑色与白色三角形的个数之和为，数列满足，那么下面各数中是数列中的项的是（ ）
A. 121B. 122C. 123D. 124
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知，利用构造法以及等比数列求数列的通项，再根据选项进行计算求解.
【详解】因为，所以，
所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，
所以，所以，
对于A，当时，，解得，故A正确；
对于B，当时，，此时，故B错误；
对于C，当时，，此时，故C错误；
对于D，当时，，此时，故D错误.
故选：A.
6. 记函数的导函数为，若为奇函数，且当时恒有成立，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据，构造函数，利用其单调性结合奇函数性质比较.
详解】令，则，
当时恒有，所以，
则在上单调递增，
所以，则，即，选项A错误；
，则，即，选项B正确；
，则，又为奇函数，所以，选项C错误；
由得，选项D错误；
故选：B
7. 已知，分别为双曲线：的左、右焦点，左右顶点分别为，离心率为，点为双曲线C上一点，直线的斜率之和为，的面积为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用离心率定义，斜率公式，三角形面积表示，代入条件即可.
【详解】因为离心率为，则，则，所以双曲线方程为，
设，则①，
因为，所以，
所以②，
又因为的面积为，所以，即，
所以③，由②③得④，
将④③代入①得，，所以.
故选：D.

8. 十八世纪早期，英国数学家泰勒发现了如下公式：
（其中）
现用上述公式求的值，下列选项中与该值最接近的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用已知公式，将公式两边分别求导，结合诱导公式，即可得到，求解即可.
【详解】因为（其中），且，
所以对两边分别求导可得：
.
令x=1可得：.
又，则.
故选：B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.每题有多项符合题意，全对得5分，部分选对得2分，有错选得0分.
9. 已知直线：与圆：相交于，两点，则（ ）
A. 圆心到直线的距离为1B. 圆心到直线的距离为2
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据点到直线的距离公式计算可知A错误，B正确；利用几何法求出弦长可知C错误，D正确．
【详解】因为圆心到直线的距离，所以A错误，B正确．
因为，所以C错误，D正确．
故选：BD
10. 已知双曲线：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点到渐近线的距离为，为上一点，下列说法正确的是（ ）
A. 的离心率为
B. 的最小值为
C. 若，为的左、右顶点，与，不重合，则直线，的斜率之积为
D. 设的左焦点为，若的面积为，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意列关于的等式，从而可得双曲线的方程，计算离心率，的最小值，结合动点满足的方程，列式计算，在焦点三角形中，由双曲线的定义，余弦定理以及三角形面积公式列式即可计算出.
【详解】由已知可得，，所以，
则的方程为，离心率为，A正确；
因为的最小值为，所以B错误；
设，则，，
，所以C正确；
设∠F1PF2=θ，由
可得，得，
则，所以D正确．
故选：ACD
11. 已知无穷数列满足：当为奇数时，an=2n+1；当为偶数时，，则下列结论正确的为（ ）
A. 和均为数列中的项
B. 数列为等差数列
C. 仅有有限个整数使得成立
D. 记数列的前项和为，则恒成立
【答案】BD
【解析】
【分析】分别令、，解出的值，可判断A选项；利用等差数列的定义可判断B选项；解不等式可判断C选项；利用等比数列的求和公式可判断D选项.
【详解】对于A选项，分析可知当为奇数时，an=2n+1为奇数，
当为偶数时，为偶数，
令可得，不合乎题意，
令可得，合乎题意，
所以，不是数列中的项，是数列中的项，A错；
对于B选项，因为，
所以，数列是公差为的等差数列，B对；
对于C选项，若为偶数，由可得，矛盾，
若为奇数，由可得，即，解得，
所有满足条件的奇数都合乎题意，
所以，有无限个整数使得成立，C错；
对于D选项，为偶数，则，且，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，
所以，，D对.
故选：BD.
12. 已知函数，，则下列结论中正确的有（ ）
A. 必有唯一极值点
B. 若，则在上有极小值
C. 若，对有恒成立，则
D. 若存在，使得成立，则
【答案】BC
【解析】
【分析】取，利用导数分析函数的单调性，可判断A选项；当时，利用导数求出函数在上的极小值，可判断B选项；利用参变量分离法可判断CD选项的正误.
【详解】对于A选项，当时，对任意的恒成立，
此时，函数在上单调递增，则函数无极值点，A错；
对于B选项，当时，，则，
令可得，当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，当时，在上有极小值，B对；
对于C选项，当时，有恒成立，即恒成立.
当时，则有，此时，k∈R，
当时，由可得，令，其中，
则，当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，，故.
综上所述，，C对；
对于D选项，若存在，使得，可得，
令，其中，则对任意的恒成立，
所以，函数在上单调递增，所以，，
所以，，解得，D错.
故选：BC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若直线l与曲线和都相切，则l的方程为______.
【答案】或
【解析】
【分析】曲线转化为，或，利用导数几何意义表达出切线斜率，写出切线方程，再利用圆心到直线的距离等于半径，得出方程.
【详解】由题意，，则，或，
设直线在曲线上的切点为，则，
函数的导数为，则直线的斜率，
则直线的方程为，即，
由于直线与圆相切，则，
两边平方并整理得，解得，（舍），
则当直线l与曲线和都相切，方程为；
同理可求当直线l与曲线和都相切，方程为
故答案为：或.
【点睛】本题考查求出曲线切线方程，解题的关键是利用导数表示出斜率，进而得出切线的表达式.
14. 已知点在直线上运动，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆的性质可得，若求的最大值，转化为求的最大值，再根据点关于线对称的性质，数形结合从而得解.
【详解】如图所示，
圆的圆心为，半径为3，
圆的圆心为，半径为1，
可知，
所以，
若求的最大值，转化为求的最大值，
设关于直线的对称点为B，设B坐标为，
则 ，解得，故B，
因为，可得，
当P，B，A三点共线，即P点为时，等号成立，
所以的最大值为.
故答案为：.
15. 如图，已知水平地面上有一半径为3的球，球心为，在平行光线的照射下，其投影的边缘轨迹为椭圆C．如图，椭圆中心为O，球与地面的接触点为E，．若光线与地面所成角为，椭圆的离心率e=__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据平行投影计算出椭圆C的短半轴长b，再求出光线与水平面所成锐角的正弦，进而求得椭圆C的长轴长2a而得解.
【详解】连接OO'，则，因为，如图：
所以，所以
在照射过程中，椭圆的短半轴长b是球的半径R，即，
过球心与椭圆长轴所在直线确定的平面截球面所得大圆及对应光线，如图：
椭圆的长轴长是，过A向做垂线，垂足是B，则，
由题意得：，又，
则，，即，
所以椭圆的离心率为.
故答案为：
16. 等差数列{an}的公差d≠0满足成等比数列，若=1，Sn是{}的前n项和，则的最小值为________．
【答案】4
【解析】
【分析】成等比数列，=1，可得：=，即（1+2d）2=1+12d，d≠0，解得d．可得an，Sn．代入利用分离常数法化简后，利用基本不等式求出式子的最小值．
【详解】∵成等比数列，a1=1，
∴=，
∴（1+2d）2=1+12d，d≠0，
解得d=2．
∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1．
Sn=n+×2=n2．
∴==n+1+﹣2≥2﹣2=4，
当且仅当n+1=时取等号，此时n=2，且取到最小值4，
故答案为4．
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，等比中项的性质，基本不等式求最值，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知函数．
（1）求单调区间及极值；
（2）求在区间上的最大值和最小值．
【答案】（1）递增区间是，递减区间是，极大值，极小值；
（2）最大值为，最小值为1.
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，利用导数求出函数的单调区间、极值作答.
（2）结合（1）中单调性，求出给定区间上最大值作答
【小问1详解】
函数的定义域为R，求导得，
当或时，，当时，，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，函数取得极大值，当时，取得极小值，
所以函数的递增区间是，递减区间是，极大值，极小值.
【小问2详解】
由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，而，
因此，，
所以函数在上的最大值为，最小值为1.
18. 已知数列，满足.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）若等差数列的公差为成等比数列，求数列的前项和.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先对递推式变形得，作差即可得，再利用等差中项证明数列是等差数列；
（2）利用等比中项及等差数列基本量的运算求得，然后利用裂项相消法求和即可.
【小问1详解】
由，得，
所以，两式相减得，
即，所以数列是等差数列.
【小问2详解】
由等差数列的公差为2，得，
因为成等比数列，所以，即，解得，
所以，
所以，
所以.
19. 已知椭圆的焦距为2，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线y=x+m与椭圆交于两点，为坐标原点，且，求实数的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，列出关于的方程组，求得的值，即可求解；
（2）联立方程组，根据，求得，且，得到，结合向量的数量积的运算公式，列出方程，即可求解.
【小问1详解】
解：由椭圆的焦距为，离心率为，
可得，解得，所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
解：联立方程组，整理得，
由，解得.
设，则，
所以，
因为，
所以，
解得，即实数的值为.
20. 过点作抛物线在第一象限部分的切线，切点为A，F为的焦点，为坐标原点，的面积为1．
（1）求的方程；
（2）过点作两条互相垂直的直线和，交于C，D两点，交于P，Q两点，且M，N分别为线段CD和PQ的中点．直线MN是否恒过一个定点？若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由．
【答案】（1）
（2）直线MN恒过定点．
【解析】
【分析】（1）利用导数求解切线方程，即可得切点坐标，由面积公式即可求解，
（2）联立直线与抛物线的方程得韦达定理，结合中点坐标公式可得M，N的坐标，即可由点斜式求解直线的方程，化简即可求解.
【小问1详解】
由题，，
设切点，则切线方程为，,
的坐标代入，得，解得y0=1，由于，所以，
由的面积，解得，
所以的方程为．
【小问2详解】
由题意可知，直线和斜率都存在且均不为0，
设直线的方程为，则直线的方程为，
联立方程组消去并整理得，，
则，
设，，则，，
所以，
因为为CD中点，所以，
同理可得，
所以，直线MN的方程为，
整理得，所以，直线MN恒过定点．
【点睛】圆锥曲线中定点问题的两种解法
（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.
（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
技巧：若直线方程为,则直线过定点;
若直线方程为 (为定值),则直线过定点
21. 已知数列的前项和为，，数列满足，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）设数列的前项和为，若不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；
（2）﹒
【解析】
【小问1详解】
∵
∴当时，，
当时，由，
得，即，
数列是公差为2的等差数列，
由条件得，即数列是公比为2等比数列，
；
【小问2详解】
∵，
则，
，
，
，
恒成立，
则恒成立，
令，则，
，
，
，
故实数的取值范围是﹒
22. 已知函数.
（1）求的极大值；
（2）设、是两个不相等的正数，且，证明：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，即可求得函数的极大值；
（2）由已知条件可得出，设，构造函数，利用导数分析函数在0,1上的单调性，可得出，可推导出，再利用函数在上的单调性可证得结论成立.
【小问1详解】
解：因为的定义域为R，，
当时，f'x>0，此时函数单调递增，
当时，f'x