江苏省南京市第一中学2022-2023学年高二下学期期末考试数学试卷

这是一份江苏省南京市第一中学2022-2023学年高二下学期期末考试数学试卷，共24页。试卷主要包含了设，下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年南京一中实验学校高二下期末
一．选择题（共8小题，每题5分，共40分）
1．如图，在三棱柱中，为的中点，若，，，则可表示为　　

A． B． C． D．
2．一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下，根据下表可得回归方程，则实数的值为　　
零件数（个
2
3
4
5
加工时间（分钟）
26

49
54
A．37.3 B．38 C．39.5 D．39
3．国家三孩政策落地后，有一对夫妻生育了三个小孩，他们五人坐成一排，若爸妈坐两边，三个小孩坐在爸妈中间，则所有不同排法的种数为　　
A．6 B．12 C．24 D．48
4．展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为　　
A． B． C．15 D．375
5．某化工厂产生的废气经过过滤后排放，以模型去拟合过滤过程中废气的污染物数量与时间间的一组数据时，为了求出回归方程，设，其变换后得到线性回归方程，则当经过后，预报废气的污染物数量为　　
A． B． C． D．
6．已知椭圆，，为两个焦点，为原点，为椭圆上一点，，则　　
A． B． C． D．
7．北京在2022年成功召开了冬奥会，这是我国在2008年成功举办夏季奥运会之后的又一奥运盛事，是世界唯一的“双奥之城”．我校组织奥运知识竞赛，甲、乙两名同学各自从“冰壶”，“冰球”，“滑冰”，“滑雪”四类冰雪运动知识试题中任意挑选两类试题作答，设事件 “甲乙两人所选试题恰有一类相同”，事件 “甲乙两人所选试题类型完全不同”，事件 “甲乙两人均未选择冰壶类试题”，则下列结论正确的是　　
A．与为对立事件 B．与互斥
C．与相互独立 D．与相互独立
8．已知平面向量，，满足，，，则的最大值为　　
A．0 B． C． D．
二．多选题（共4小题，每题5分，共20分）
9．已知由样本数据点集合，，2，，，求得的回归直线方程为，且，现发现两个数据点和误差较大，去除后重新求得的回归直线的斜率为1.2，则　　
A．变量与具有正相关关系
B．去除后的回归方程为
C．去除后的估计值增加速度变快
D．去除后相应于样本点的残差为0.05
10．设，下列结论正确的是　　
A．
B．
C．
D．当时，除以2000的余数是1
11．如图，平行六面体以顶点为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是，则　　

A．
B．
C．四边形的面积为
D．平行六面体的体积为
12．已知是圆上的动点，直线与交于点，则　　
A． B．直线与圆相切
C．直线与圆截得弦长为 D．长最大值为
三．填空题（共4小题，每题5分，共20分）
13．已知抛物线，则焦点到准线的距离为 　　．
14．已知某农场某植物高度，且，如果这个农场有这种植物10000棵，试估计该农场这种植物高度在区间，上的棵数为　　．
参考数据：若，则，，．
15．现要给1个小品类节目，2个唱歌类节目，2个舞蹈类节目排列演出顺序，要求同类节目不相邻，则不同的排法有 　　种．
16．如图，正方体的棱长为1，，分别为，的中点，是底面上一点．若平面，则长度的最小值是 　　；最大值是 　　．

四．解答题（共6小题，共70分）
17．（10分）已知的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为．
（1）求的值；
（2）求展开式中所有项的系数和与二项式系数和；
（3）将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率．
18．（12分）如图1，在直角梯形中，，，且，现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使，为的中点，如图2．

（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）若，求点到平面的距离．
19．（12分）在平面直角坐标系中，已知圆，且圆被直线截得的弦长为2．
（1）求圆的标准方程；
（2）若圆的切线在轴和轴上的截距相等，求切线的方程；
（3）若圆上存在点，由点向圆引一条切线，切点为，且满足，求实数的取值范围．
20．（12分）2022年10月1日，女篮世界杯落幕，时隔28年，中国队再次获得亚军，追平历史最佳成绩．统计数据显示，中国队主力队员能够胜任小前锋、大前锋和得分后卫三个位置，且出任三个位置的概率分别为，，，同时，当队员出任这三个位置时，球队赢球的概率分别为，，．（队员参加所有比赛均分出胜负）
（1）当队员参加比赛时，求该球队某场比赛获胜的概率；
（2）在赛前的友谊赛中，第一轮积分规则为：胜一场积3分，负一场积分．本轮比赛球队一共进行5场比赛，且至少获胜3场才可晋级第二轮．已知队员每场比赛均上场且球队顺利晋级第二轮，记球队第一轮比赛最终积分为，求的数学期望．
21．（12分）如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，且，为的中点．
（Ⅰ）求平面与平面夹角的余弦值；
（Ⅱ）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由．

22．（12分）已知双曲线的实轴长为，的一条渐近线斜率为，直线交于，两点，点在双曲线上．
（1）若直线过的右焦点，且斜率为，求的面积；
（2）设，为双曲线上异于点的两动点，记直线，的斜率分别为，，若，求证：直线过定点．

2022-2023学年南京一中实验学校高二下期末
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．如图，在三棱柱中，为的中点，若，，，则可表示为　　

A． B． C． D．
【解答】解：根据三棱柱，．
故选：．
2．一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下，根据下表可得回归方程，则实数的值为　　
零件数（个
2
3
4
5
加工时间（分钟）
26

49
54
A．37.3 B．38 C．39.5 D．39
【解答】解：由表格数据可得，，，
回归直线经过中心点，
，解得．
故选：．
3．国家三孩政策落地后，有一对夫妻生育了三个小孩，他们五人坐成一排，若爸妈坐两边，三个小孩坐在爸妈中间，则所有不同排法的种数为　　
A．6 B．12 C．24 D．48
【解答】解：将爸妈安排在两边，有种排法；将三个小孩放在中间，有种排法；则所有不同的排法种数为：种．
故选：．
4．展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为　　
A． B． C．15 D．375
【解答】解：由已知可得，解得，
则二项式的展开式的常数项为，
故选：．
5．某化工厂产生的废气经过过滤后排放，以模型去拟合过滤过程中废气的污染物数量与时间间的一组数据时，为了求出回归方程，设，其变换后得到线性回归方程，则当经过后，预报废气的污染物数量为　　
A． B． C． D．
【解答】解：当时，，
．
故选：．
6．已知椭圆，，为两个焦点，为原点，为椭圆上一点，，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：椭圆，，为两个焦点，，
为原点，为椭圆上一点，，
设，，不妨，
可得，，即，可得，，
，
可得


．
可得．
故选：．
7．北京在2022年成功召开了冬奥会，这是我国在2008年成功举办夏季奥运会之后的又一奥运盛事，是世界唯一的“双奥之城”．我校组织奥运知识竞赛，甲、乙两名同学各自从“冰壶”，“冰球”，“滑冰”，“滑雪”四类冰雪运动知识试题中任意挑选两类试题作答，设事件 “甲乙两人所选试题恰有一类相同”，事件 “甲乙两人所选试题类型完全不同”，事件 “甲乙两人均未选择冰壶类试题”，则下列结论正确的是　　
A．与为对立事件 B．与互斥
C．与相互独立 D．与相互独立
【解答】解：对，因为所有事件包含 “甲乙两人所选试题恰有一类相同”，事件 “甲乙两人所选试题类型完全不同”，也包含“甲乙两人所选试题全相同”，故与为互斥事件，故错误，
对， “甲乙两人所选试题恰有一类相同”与 “甲乙两人均未选择冰壶类试题”可能同时发生，
故与不互斥，故错误，
对，因为事件的概率，事件的概率，
事件的概率，因为，故与不相互独立，故错误，
对，事件的概率，事件的概率，
因为，故与相互独立，故正确．
故选：．
8．已知平面向量，，满足，，，则的最大值为　　
A．0 B． C． D．
【解答】解：设平面向量，的夹角为，，，，
解得．
不妨设，．
，，
化为．
则．
故选：．
二．多选题（共4小题）
9．已知由样本数据点集合，，2，，，求得的回归直线方程为，且，现发现两个数据点和误差较大，去除后重新求得的回归直线的斜率为1.2，则　　
A．变量与具有正相关关系
B．去除后的回归方程为
C．去除后的估计值增加速度变快
D．去除后相应于样本点的残差为0.05
【解答】解：，代入，，因为重新求得的回归直线的斜率为1.2，故正相关，
设新的数据所以横坐标的平均值，则，故，
纵坐标的平均数为，则，，
设新的线性回归方程为，把代入，，
故新的线性回归方程为，
故，正确，
因为斜率为1.2不变，所以的增长速度变慢，错误，
把代入，，，故错误，
故选：．
10．设，下列结论正确的是　　
A．
B．
C．
D．当时，除以2000的余数是1
【解答】解：令，则，即选项正确；
，其展开式的通项公式为，
所以，，
所以，即选项错误；
同理可得，，，，，
所以，即选项正确；
当时，，
其中前6项均可以被2000整除，只有最后一项为1不能被2000整除，所以余数为1，即选项正确．
故选：．
11．如图，平行六面体以顶点为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是，则　　

A．
B．
C．四边形的面积为
D．平行六面体的体积为
【解答】解：，
则，
故，正确；
，，，
故，正确；

连接，，则，，
即，同理，故四边形为矩形，
面积为，错误；

过作面，易知在直线上，过作于，连接，
由，得面，易得，
故，，，
故平行六面体的体积为，
正确．
故选：．


12．已知是圆上的动点，直线与交于点，则　　
A． B．直线与圆相切
C．直线与圆截得弦长为 D．长最大值为
【解答】解：，，故正确；
圆心到的距离，直线与圆相离，故错误；
圆心到的距离，弦长，故正确；

如图为矩形，，，故正确；
故选：．

三．填空题（共4小题）
13．已知抛物线，则焦点到准线的距离为 　　．
【解答】解：抛物线化成标准方程，可得，
抛物线的开口向上，且，可得．
抛物线的焦点坐标为，准线方程为：，
因此抛物线的焦点到准线的距离是，
故答案为：．
14．已知某农场某植物高度，且，如果这个农场有这种植物10000棵，试估计该农场这种植物高度在区间，上的棵数为　1359　．
参考数据：若，则，，．
【解答】解：由，得，
又，，
则
，
估计该农场这种植物高度在区间，上的棵数为．
故答案为：1359．
15．现要给1个小品类节目，2个唱歌类节目，2个舞蹈类节目排列演出顺序，要求同类节目不相邻，则不同的排法有 　48　种．
【解答】解：当1个小品类节目排在第一个位置时，再安排唱歌类节目，当排在第三第五位置时，2个舞蹈类只能排在第二第四位置；当排在第二第四位置时，2个舞蹈类只能排在第三第五位置，所以同类节目不相邻排法有种；
当1个小品类节目排在第二个位置时，再安排唱歌类节目，当排在第一第四位置时，2个舞蹈类只能排在第三第五位置；当排在第三第五位置时，2个舞蹈类只能排在第一第四位置，同类节目不相邻排法有种；
当1个小品类节目排在第三个位置时，再安排唱歌类节目，当排在第一第四位置时，2个舞蹈类只能排在第二第五位置；当排在第一第五位置时，2个舞蹈类只能排在第二第四位置；当排在第二第四位置时，2个舞蹈类只能排在第一第五位置；当排在第二第五位置时，2个舞蹈类只能排在第一第四位置，所以同类节目不相邻排法有种；
当1个小品类节目排在第四个位置时，再安排唱歌类节目，当排在第一第三位置时，2个舞蹈类只能排在第二第五位置；当排在第二第五位置时，2个舞蹈类只能排在第一第三位置，所以同类节目不相邻排法有种；
当1个小品类节目排在第五个位置时，再安排唱歌类节目，当排在第一第三位置时，2个舞蹈类只能排在第二第四位置；当排在第二第四位置时，2个舞蹈类只能排在第一第三位置，所以同类节目不相邻排法有种；则不同的排法有48种．
故答案为：48．
16．如图，正方体的棱长为1，，分别为，的中点，是底面上一点．若平面，则长度的最小值是 　　；最大值是 　　．

【解答】解：取的中点，的中点，连结，，，
由正方体，，分别为，的中点，
由中位线性质可得，
又因为平面，平面，
所以平面，
因为，分别为，的中点，
由中位线性质可得，
同理可知，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面，
又，，平面，
所以平面平面，
因为是底面上一点，且平面，
所以点，
在等腰中，的长度最大时为，
当的长度最小时，为的中点，，
所以．
故答案为：；．

四．解答题（共6小题）
17．已知的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为．
（1）求的值；
（2）求展开式中所有项的系数和与二项式系数和；
（3）将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率．
【解答】解：（1）展开式的通项为，
展开式中第4项的系数为，倒数第4项的系数为，
，即，．
（2）令，可得展开式中所有项的系数和为，
展开式中所有项的二项式系数和为．
（3）展开式共有8项，由（1）可得当为整数，即，2，4，6时为有理项，共4项，
由插空法可得有理项不相邻的概率为．
18．如图1，在直角梯形中，，，且，现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使，为的中点，如图2．

（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）若，求点到平面的距离．
【解答】（1）证明：取中点，连接，．
在中，，分别为，的中点，，且．
由已知，且，，且．
四边形为平行四边形，得．
又平面，且平面，
平面；
（2）证明：在正方形中，，
又，，、平面，
平面，而平面，
平面平面；
（3）解：由（2）知平面平面，且平面平面，
又，平面，得平面平面，且平面平面，
过点作的垂线交于点，则平面，
点到平面的距离等于线段的长度，
在中，，
点到平面的距离等于．

19．在平面直角坐标系中，已知圆，且圆被直线截得的弦长为2．
（1）求圆的标准方程；
（2）若圆的切线在轴和轴上的截距相等，求切线的方程；
（3）若圆上存在点，由点向圆引一条切线，切点为，且满足，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）由题意得，即，
，
，，
圆心到直线的距离，
弦长为2
，

（2）因为直线在轴和轴上的截距相等，
①若直线过原点，则假设直线的方程为即，因为直线与圆相切，


，
直线的方程为或
②若直线不过原点，切线在轴和轴上的截距相等，
则假设直线的方程为，即
因为直线与圆相切，
，
，
或
直线的方程为或
综上可得，直线的方程为或或或
（3）设由，可得，
与相切，且为切点，
，
，
，
，
即，
又在圆上，
两圆有公共点且不能内切
，
恒成立，
，
，
．
20．2022年10月1日，女篮世界杯落幕，时隔28年，中国队再次获得亚军，追平历史最佳成绩．统计数据显示，中国队主力队员能够胜任小前锋、大前锋和得分后卫三个位置，且出任三个位置的概率分别为，，，同时，当队员出任这三个位置时，球队赢球的概率分别为，，．（队员参加所有比赛均分出胜负）
（1）当队员参加比赛时，求该球队某场比赛获胜的概率；
（2）在赛前的友谊赛中，第一轮积分规则为：胜一场积3分，负一场积分．本轮比赛球队一共进行5场比赛，且至少获胜3场才可晋级第二轮．已知队员每场比赛均上场且球队顺利晋级第二轮，记球队第一轮比赛最终积分为，求的数学期望．
【解答】解：（1）根据题意，队员参加比赛时，比赛获胜的概率为；
（2）解：根据题意，可得赢3场，负两场积分7；赢4场负一场积分10；赢5场，积分15分，
所以随机变量的所有可能取值为7，11，15，
记表示第一轮比赛最终积分为，11，，表示“所在的球队顺利晋级第二轮”，
可得，，，则，
所以，
，
，
所以随机变量的分布列如下表：

7
11
15




期望为．
21．如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，且，为的中点．
（Ⅰ）求平面与平面夹角的余弦值；
（Ⅱ）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（Ⅰ）四边形为正方形，则，，
由，，，平面，
平面，，
又由，，，平面，
平面，，
，平面，
由平面，且，
以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图，

则，0，，，2，，，0，，，1，，
，2，，，1，，，2，，
设平面的法向量为，，，
则，取，得，1，，
平面的法向量为，1，，
则，
由平面与平面夹角为锐角，平面与平面夹角的余弦值为；
（Ⅱ）设点，，，可得，，，，0，，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，，，，，
点到平面的距离为，
解得，即或，
，，
当点为线段的靠近点的三等分点时，点到平面的距离为．

22．已知双曲线的实轴长为，的一条渐近线斜率为，直线交于，两点，点在双曲线上．
（1）若直线过的右焦点，且斜率为，求的面积；
（2）设，为双曲线上异于点的两动点，记直线，的斜率分别为，，若，求证：直线过定点．
【解答】解：（1）如图：

双曲线的实轴长为，
，即．又的一条渐近线斜率为，
，，故双曲线．
则其右焦点坐标为，直线过的右焦点，且斜率为，
直线的方程为：，设，，，，
联立得：，
由韦达定理得：，，
，
点到直线的距离为：．
．
（2）证明：如图：

设直线的方程为：，设，，，，
联立得：，
△，即，
，．
而，则，．
，
整理的：，
，
，
，
整理得：，
代入韦达定理得：，
，
整理得：，
即，则或．
当时，直线线的方程为：，过定点；
当时，直线线的方程为：，过定点．
即为，，为双曲线上异于点的两动点，不符合题意．
故直线过的定点为．