2024-2025学年安徽省安庆市示范高中高二下学期期中联考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年安徽省安庆市示范高中高二下学期期中联考数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若直线y=ax是曲线y=2lnx+1的一条切线，则实数a=
A. e−12B. 2e−12C. e12D. 2e12
2.已知ξ服从正态分布N2,σ2,a∈R，当P(ξ>a)=0.5时，关于x的二项式ax+1x23的展开式的常数项为( )
A. 1B. 4C. 6D. 12
3.已知点M(−1,1,−2)，平面π过原点O，且垂直于向量n=(1,−2,2)，则点M到平面π的距离是( )
A. 7B. 72C. 73D. 73
4.山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外．据统计，烟台苹果(把苹果近似看成球体)的直径X(单位：mm)服从正态分布N80,52，则估计苹果直径在(75,90]内的概率为( )(附：若X∼Nμ,σ2，则P(μ−σ0,b>0)的左、右焦点，A，B为双曲线上关于原点对称的两点，且满足|AB|=2|OF1|，∠ABF1=π12，则双曲线的离心率为( )
A. 2B. 3C. 6D. 4 23
7.给出定义：设f′(x)是函数y=f(x)的导函数，f″(x)是函数y=f′(x)的导函数．若方程f″(x)=0有实数解x=x0，则称(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.经研究发现所有的三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)都有“拐点”，且该“拐点”也是函数y=f(x)的图象的对称中心．若函数f(x)=x3−3x2，则f12023+f22023+f32023+…+f40442023+f40452023=( )
A. −8088B. −8090C. −8092D. −8096
8.如图，在某城市中，M､N两地之间有整齐的方格形道路网，其中A1､A2､A3､A4是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处，今在道路网M､N处的甲､乙两人分别要到N､M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N､M处为止，则下列说法错误的是( )
A. 甲从M必须经过A2到达N处的方法有9种
B. 甲､乙两人相遇的概率为81100
C. 甲乙两人在A2处相遇的概率为81400
D. 甲从M到达N处的方法有20种
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若(2x+1)5=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a5(x+1)5，则( )
A. a0=1B. a2=40
C. a1+a2+a3+a4+a5=2D. a1+a3+a5=122
10.已知实数x，y满足方程x2+y2−4x+1=0，则下列说法正确的是( )
A. y−x的最大值为 6−2B. x2+y2的最大值为7+4 3
C. yx的最大值为​32D. x+y的最大值为 6+2
11.对于函数f(x)=lnxx2，下列说法正确的是( )
A. 函数在x= e处取得极大值12eB. 函数的值域为−∞,12e
C. f(x)有两个不同的零点D. f(2)0
(1)求f(x)的单调区间；
(2)f(x)≥0恒成立，求a的值．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=x−lnx−2．
(1)求出函数f(x)的极值；
(2)若对于任意的x∈(1,+∞)，都有xlnx+x>k2(x−1)，求整数k的最大值．
参考答案
1.B
2.D
3.D
4.D
5.D
6.A
7.B
8.B
9.CD
10.ABD
11.ABD
12.y2−x23=1
13.0或4
14.25/0.4
15.解：依题意，
Sn=an+2an−1可知Sn−1=2an−1(n≥3)，
当n=3时，
由S2=2a2，可知a2=a1=1，
由Sn−1=2an−1，
可得Sn=2an 两式相减可知，
an=2an−2an−1，即an=2an−1(n≥3)，
因此n≥2时，an=a2·2n−2=2n−2，
即an=1, n=12n−2,n≥2；
(2)证明：由(1)可知，S1=1,S2=2，
当n≥3时，
Sn=an+2an−1=2n−2+2·2n−3=2n−1，
S1=1,S2=2，符合题意，
因此Sn=2n−1(∀n∈N∗)，
所以1S1+12S2+13S3+⋯+1nSn
=1+12×2+13×22+⋯+1n⋅2n−1
35，∴x>232即从12月份起成交量开始突破35辆．
17.解：(1)由题意得： ab=2 33 ， 2c=2 7 ， a2+b2=c2 ，
解得： c= 7 ， a=2 ， b= 3 ，
∴ 双曲线C 的标准方程为 y24−x23=1 ．
(2)由题意可知，直线AB 的斜率一定存在，
设直线AB 的方程为 y=kx+4 ， A(x1 ， y1) ， B(x2 ， y2) ，
联立方程组 y=kx+4y24−x23=1 ，消去y 整理得 (3k2−4)x2+24kx+36=0 ，
则 {Δ=(24k)2−4×36(3k2−4)>0x1+x2=−24k3k2−4x1x2=363k2−43k2−4≠0 ，
|AB|= 1+k2⋅ (x1+x2)2−4x1x2
= 1+k2⋅ (−24k3k2−4)2−4⋅363k2−4=12 1+k2⋅ 4+k2|3k2−4|，
原点到直线AB 的距离为 d=4 1+k2 ，
所以 S△AOB=12|AB|d=12×4 1+k2×12 1+k2⋅ 4+k2|3k2−4|=24 4+k2|3k2−4|=24 5 ，
解得 k2=1 或 k2=7645 ，故 k=±1或 k=±2 9515 ，
故直线方程为 y=±x+4 或 y=±2 9515x+4．
18.(1)函数f(x)=2x2−a2lnx−2的定义域为(0,+∞)，求导得函数f′(x)=4x−a2x=(2x+a)(2x−a)x，
因a>0，当00，g′(x)=−2xlnx2，当02时，g′(x)0，则x>1，令f′(x)