安徽省安庆市示范高中2024届高三下学期4月联考（三模）数学试卷(含答案)

这是一份安徽省安庆市示范高中2024届高三下学期4月联考（三模）数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知线段AB是圆O的一条长为4的弦,则( )
A.4B.6C.8D.16
2．复数z满足,则( )
A.B.C.D.
3．已知圆锥PO的轴截面是等边三角形,则其外接球与内切球的表面积之比为( )
A.B.C.D.
4．已知一组数据,,…,的平均数为,另一组数据,,…,的平均数为.若数据,,…,,,,…,的平均数为,其中,则m,n的大小关系为( )
A.B.C.D.m,n的大小关系不确定
5．已知抛物线的焦点F到其准线的距离为2,点,是抛物线C上两个不同点,且,则( )
A.B.C.D.3
6．已知函数的图象经过点,则关于x的不等式的解集为( )
A.B.C.D.
7．在正方体中,点E,F分别为棱AB,AD的中点,过点E,F,三点作该正方体的截面,则( )
A.该截面多边形是四边形
B.该截面多边形与棱的交点是棱的一个三等分点
C.平面
D.平面平面
8．若项数均为的两个数列,满足,且集合,则称数列,是一对“n项紧密数列”.设数列,是一对“4项紧密数列”,则这样的“4项紧密数列”有( )对.
A.5B.6C.7D.8
二、多项选择题
9．已知集合,集合,若有且仅有3个不同元素,则实数的值可以为( )
A.0B.1C.2D.3
10．已知函数,则( )
A.函数的最小正周期为
B.函数在上单调递增
C.函数的最大值为
D.若方程在上有且仅有8个不同的实根,则
11．直线l与双曲线的左,右两支分别交于A,B两点,与E的两条渐近线分别交于C,D两点,A,C,D,B从左到右依次排列,则( )
A.线段AB与线段CD的中点必重合
B.
C.线段AC,CD,DB的长度不可能成等差数列
D.线段AC,CD,DB的长度可能成等比数列
三、填空题
12．在的展开式中,不含字母y的项为_________.
13．一个不透明的袋子装有5个完全相同的小球,球上分别标有数字1,2,3,4,4.现甲从中随机摸出一个球记下所标数字后放回,乙再从中随机摸出一个球记下所标数字,若摸出的球上所标数字大即获胜(若所标数字相同则为平局),则在甲获胜的条件下,乙摸到2号球的概率为_________.
14．由函数图象上一点P向圆引两条切线,切点分别为点A,B,连接AB,当直线AB的横截距最大时,直线AB的方程为_________,此时_________.
四、解答题
15．随着生活水平的不断提高,老百姓对身体健康越来越重视,特别认识到“肥胖是祸不是福”.某校生物学社团在对人体的脂肪含量和年龄之间的相关关系研究中,利用简单随机抽样的方法得到40组样本数据,其中表示年龄,表示脂肪含量,并计算得到,作出散点图,发现脂肪含量与年龄具有线性相关关系,并得到其线性回归方程为.
（1）请求出的值,并估计35岁的小赵的脂肪含量约为多少?
（2）小赵将自己实际的脂肪含量与（1）中脂肪含量的估计值进行比较,发现自己的脂肪含量严重超标,于是他打算进行科学健身来降低自己的脂肪含量,来到健身器材销售商场,看中了甲,乙两款健身器材,并通过售货员得到这两款健身器材的使用年限(整年),如下表所示:
如果小赵以使用年限的频率估计概率,请根据以上数据估计,小赵应选择购买哪一款健身器材,才能使用更长久?
16．如图,在四棱锥中,,,,,,,,连接BE,CE,PE.
（1）求证:平面平面PCE;
（2）求直线CE与平面PCD所成角正弦值的大小.
17．已知函数在点处的切线平行于直线.
（1）若对任意的恒成立,求实数m的取值范围;
（2）若是函数的极值点,求证:.
18．已知数列的首项等于3,从第二项起是一个公差为2的等差数列,且,,成等比数列.（1）求数列的前n项的和;
（2）设数列满足且,若数列的前n项的和为,求.
19．已知椭圆,圆.
（1）点B是椭圆的下顶点,点P在椭圆上,点Q在圆上(点P,Q异于点B),连BP,BQ,直线BP与直线BQ的斜率分别记作,,若,试判断直线PQ是否过定点?若过定点,请求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.
（2）椭圆的左,右顶点分别为点,,点E(异于顶点)在椭圆上且位于x轴上方,连,分别交y轴于点M,N,点F在圆上,求证:的充要条件为轴.
参考答案
1．答案：C
解析：由条件知,故选C.
2．答案：D
解析：由条件知,所以,故选D.
3．答案：A
解析：根据条件可知其外接球与内切球的半径之比为,所以其表面积之比为,故选A.
4．答案：B
解析：由题意可知,,,于是,又,所以,所以,两式相减得,所以,故选B.
5．答案：A
解析：由已知得,所以,,根据得即,于是,即,所以,故选A.
6．答案：C
解析：由题意知,解得,所以,其在R上单调递增,且函数为奇函数,,所以不等式可化为,于是,即,解得或,故选C.
7．答案：B
解析：将线段EF向两边延长,分别与棱CB的延长线,棱CD的延长线交于C,H,连,分别与棱,交于P,Q,则可得到截面多边形是五边形,A错误;因,所以,于是截面与棱的交点P是棱的一个三等分点,B正确,因与不垂直,平面,所以与平面不垂直,选项C错误;因平面,所以平面与平面不平行,选项D错误,故选B.
8．答案：B
解析：由条件知,,,,
于是,
又,
所以,
于是“4项紧密数列”有,;,;
,;,;,,共有6对,故选B.
9．答案：AB
解析：由条件知,,要使有且仅有3个不同元素,则,解得,结合备选答案,AB符合,故选AB.
10．答案：ACD
解析：由条件可知,因,又函数与的最小正周期均为,所以函数的最小正周期为,A正确;又,所以函数为偶函数,考虑当时,,所以B错误,C正确,又,,作出函数的大致图象,即可判断D正确,故选ACD.
11．答案：ABD
解析：设直线,,,,,联立得,于是,,联立得,于是,,所以,因此线段AB与线段CD的中点必重合,A正确;设中点为,则,,所以,B正确;假设线段AC,CD,DB的长度成等差数列,则,所以,于是,两边同时平方并整理得,于是,展开整理得,该方程有解,所以存在直线,使得线段AC,CD,DB的长度成等差数列,C错误;同上推理,当线段AC,CD,DB的长度相等时,线段AC,CD,DB的长度成等比数列,D正确,故选ABD.
12．答案：
解析：由条件可知不含字母y的项为.
13．答案：
解析：设事件“甲获胜”为事件A,事件“乙摸到2号球”为事件B,则,,所以,故填.
14．答案：,
解析：设点,则以线段PC为直径的圆的方程为,整理得,与圆相交,得直线,令,则,构造函数,对其求导得,令,则,于是函数在上单调递增,在上单调递减,其最大值为,此时直线AB的方程为,,,,于是.
15．答案：（1）19.317
（2）小赵应购买甲款健身器材才能使用更长久
解析：（1）因线性回归直线方程经过样本中心,
所以将,代人,
得到.
于是,
当时,.
所以的值为,估计35岁的小赵的脂肪含量约为19.317.
（2）以频率估计概率,设甲款健身器材使用年限为X(单位:年),则X的分布列为
于是.
设乙款健身器材使用年限为Y(单位:年),则Y的分布列为
于是.
因,所以小赵应购买甲款健身器材才能使用更长久.
16．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）因,,所以,
又,所以,
根据余弦定理知
,
又,,,所以,,,
于是,所以,
,于是,
因,所以平面PCE,
又平面PBE,所以平面平面PCE.
（2）如图,以点E为原点,分别以ED,EP所在直线为y轴,z轴建立空间直角坐标系.
则,,,
于是,
设平面PCD的法向量为,
又,,
于是,所以不妨取,
设直线CE与平面PCD所成角为,
则,
所以直线CE与平面PCD所成角的正弦值为.
17．答案：（1）
（2）见解析
解析：对函数求导得,
所以,
解得.
（1）由题意可知对任意的恒成立,
即对任意的恒成立,只需,
令,
对其求导得,
所以当时,,函数单调递减;
当时,,函数单调递增.
所以,
于是,因此实数m的取值范围是.
（2）由条件知,对其求导得,
函数在上单调递增,且,
所以存在,使,即,
当时,,函数单调递减;
当时,,函数单调递增,
于是是函数的极值点,
所以,即得证.
18．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）因,,成等比数列,所以,即,
解得,
所以当,时,,
又不符合上式,
所以数列的通项公式为
因此,
当,时,,
又符合上式,
所以当时,.
（2）由（1）知.
令,,
所以,
又,,所以
因此,
所以,
于是
19．答案：（1）直线PQ过定点,定点坐标为
（2）见解析
解析：（1）设,,则,,
丁是,,
因点,,所以,于是,
整理得,
又直线PQ的方程为,
即,
所以直线PQ过定点,定点坐标为.
（2）设,,则,设,,
因,所以直线,所以,
因,所以直线,所以,
于是.
先证充分性:当轴时,,所以,即,于是,
设直线NF交x轴于点D,
因轴,所以,又,,
所以,于是,
不妨设点E在第一象限,点F在第二象限,则,即,
所以直线ND的方程为,
联立得,解得或,
所以,
于是
,所以充分性成立.
再证必要性:当时,即,
整理得,
又,所以,
又,N,E三点共线,所以直线的方程为,
,M,E三分共线,所以直线的方程为,
联立,消去x,得,即,
所以轴,即必要性得证.
甲款使用年限统计表
使用年限
5年
6年
7年
8年
合计
台数
10
40
30
20
100
乙款使用年限统计表
使用年限
5年
6年
7年
8年
合计
台数
30
40
20
10
100
X
5
6
7
8
P
0.1
0.4
0.3
0.2
Y
5
6
7
8
P
0.3
0.4
0.2
0.1